经济数学基础第二版)电子教案新teaching_02_04.ppt

2.4.1 函数微分的概念,2.4.2 微分的计算,2.4.3 微分形式的不变性,2.4.4 微分的应用,2.4 函数的微分,若给定函数 在点 处可导,根据导数定义有,.,由定理1.2知， ，,. (2.4.1),其中 是当 时的无穷小量，上式可写作,2.4.1 函数微分的概念,返回,,1/14,(2.4.1)式表明函数的增量可以表示为两项之和．第一项 是 的线性函数，第二项 ， 当 时是比 高阶的无穷小量． 因此，当 很小时，我们称第一项 为 的线性主部， 并叫做函数 的微分．,2.4.1 函数微分的概念,返回,,2/14,定义2.3 设函数 在点 处有导数 ，则称 为 在点 处的微分，记作 ，即,， (2.4.2),此时，称 在点 处是可微的.,例如，函数 在点 处的微分为,．,2.4.1 函数微分的概念,返回,,3/14,函数 在任意点 的微分，叫做函数的微分，记作,． (2.4.3),如果将自变量 当作自己的函数 ，则有,，,说明自变量的微分 就等于它的改变量 ，于是函数的微分可以写成,2.4.1 函数微分的概念,返回,,4/14,， (2.4.4),也就是说，函数的微分 与自变量的微分 之商等于该函数的导数，因此，导数又叫微商．,2.4.1 函数微分的概念,返回,,5/14,解,,；,.,2.4.1 函数微分的概念,返回,,6/14,例1 求函数 在 ， 时的改变总量及微分．,2.4.1 函数微分的概念,返回,,7/13,曲线坐标的改变量,微分的几何意义示意图 动画演示,函数微分的几何意义就是：在曲线上某一点处．当自变量取得改变量 时，曲线在该点处切线纵坐标的改变量．,2.4.1 函数微分的概念,返回,,8/13,例2 求下列函数的微分：,解 (1),所以 ．,2.4.2 微分的计算,返回,,9/13,，,无论 是自变量还是中间变量， 的微分 总可以用 与 的乘积来表示． 函数微分的这个性质叫做微分形式的不变性．,2.4.3 微分的形式的不变性,返回,,10/13,以 为中间变量的复合函数 的微分,利用微分可以进行近似计算.,这个公式可以直接用来计算函数增量的近似值．,由微分的定义知，当 很小时，有近似公式,．,，,，,2.4.4 微分的应用,返回,,11/14,即 ．,这个公式则可以用来计算函数在某一点附近的函数值的近似值．,2.4.4 微分的应用,返回,,12/14,解 令 ， ，因为 相对于 较小，可用上面的近似公式来求值．,2.4.4 微分的应用,返回,,13/14,例3 设某国的国民经济消费模型为,．,其中： 为总消费(单位：十亿元)； 为可支配收入单位：十亿元).当 时，问总消费是多少？,(十亿元)．,2.4.4 微分的应用,返回,,14/14,返 回,。