极点与极线背景下的高考试题.pdf

1 极点与极线背景下的高考试题王文彬 (江西省抚州市第一中学 344000) 极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容， 也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题 中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景. 作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质， 只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律. 1. 从几何角度看极点与极线定义 1 如图 1，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H，连接,EH FG交于N，连接,EG FH交于M，则直线MN为点P对应的极线 . 若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线. 由图 1 同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所 对应的极线 .因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线于点,A B两点，则,PA PB恰为圆锥曲线的两条切线. 定理 1(1)当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线在P点处的切线；(2)当P在外时， 过点P作的两条切线， 设其切点分别为,A B，则点P的极线是直线AB(即切点弦所在的直线)；(3) 当P在内时，过点P任作一割线交于,A B，设在,A B处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q的轨迹 . 定理 2如图 2，设点P关于圆锥曲线的极线为l，过点P任作一割线交于,A B，交l于Q，则PAPBAQBQ①；反之，若有①成立，则称点,P Q调和分割线段AB，或称点P与Q关于调和共轭，或称点P(或点Q)关于圆锥曲线的调和共轭点为点Q(或点P).点P关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线 . 推论 1如图 2，设点P关于圆锥曲线的调和共轭点为点Q，则有211PQPAPB②；反之，若有②成立，则点P与Q关于调和共轭 . 可以证明①与②是等价的. 事实上，由①有11AQBQPQPAPBPQPQPQPAPBPAPBPAPB11()2PQPAPB 211PQPAPB.特别地，我们还有 推论 2如图3，设点P关于有心圆锥曲线(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线的中心，则有2OROP OQ，反之若有此式成立，则点P与Q关于调和共轭 . P E F G H M A N B 图 1 P Q A 图 2 B l 2 证明：设直线PQ与的另一交点为R，则PRPROPOROPORRQR QOROQOROQ，化简即可得2OROP OQ. 反之由此式可推出PRPRRQR Q，即点P与Q关于调和共轭 . 推论 3如图 4，,A B圆锥曲线的一条对称轴l上的两点 (不在上)，若,A B关于调和共轭，过B任作的一条割线，交于,P Q两点，则PABQAB. 证明：因关于直线l对称，故在上存在 ,P Q的对称点,P Q.若P与Q重合，则Q与P也重合，此时,P Q关于l对称，有PABQAB；若P与Q不重合，则Q与P也不重合，由于,A B关于调和共轭，故,A B为上完全四点形PQ QP的对边交点，即Q在PA上，故,AP AQ关于直线l对称，也有PABQAB. 定理 3(配极原则 )点P关于圆锥曲线的极线p经过点Q点Q关于的极线q经过点P；直线p关于的极点P在直线q上直线q关于的极点Q在直线p上. 由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线. 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】 ，其中定理1 的初等证法可参阅文【 2】. 2. 从代数角度看极点与极线定义 2 已知圆锥曲线22:220AxCyDxEyF，则称点00(,)P xy和直线0000:()()0lAx xCy yD xxE yyF是圆锥曲线的一对极点和极线. 事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x替换2x，以0 2xx替换x，以0y y替换2y，以0 2yy替换y即可得到点00(,)P xy的极线方程 . 特别地：(1)对于椭圆22221xyab，与点00(,)P xy对应的极线方程为00 221x xy yab；(2)对于双曲线22221xyab，与点00(,)P xy对应的极线方程为00 221x xy yab；(3)对于抛物线22ypx，与点00(,)P xy对应的极线方程为00()y yp xx. (4)如果圆锥曲线是椭圆22221xyab，当00(,)P xy为其焦点( ,0)F c时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221xyab，当00(,)P xy为其焦点( ,0)F c时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22ypx，当00(,)P xy为其焦点(,0)2pF时，极线P Q R 图 3 R RO P l A 图 4 P RB Q Q R3 恰为抛物线的准线. 3. 从极点与极线角度看圆锥曲线试题【例 1】(2010 江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy中，如图， 已知椭圆1 5922yx的左右顶点为,A B，右焦点为F．设过点( ,)T t m的直线,TA TB与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x yN xy，其中0m，1200yy，．(1)设动点 P 满足422PBPF，求点P的轨迹；(2)设12123xx，，求点T的坐标；(3)设9t，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关） ． 分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于 (3)，当9t时，T点坐标为(9,)m，连MN，设直线AB与MN的交点为K，根据 极点与极线的定义可知，点T对应的极线经过K，又点T对应的极线方程为9195xm y，即15m yx，此直线恒过x轴上的定点K (1,0)，从而直线MN也恒过定点K (1,0). 【例 2】 (2008 安徽卷理 22)设椭圆2222:1(0)xyCabab过点( 2,1)M，且左焦点为1(2,0)F. (1)求椭圆C的方程；(2)当过点(4,1)P的动直线l与椭圆C交于两个不同的点,A B时，段AB上取点Q，满足APQBAQPB，证明点Q总在某定直线上. 分析与解： (1)易求得答案22 142xy. (2)由条件可有PAPBAQBQ，说明点,P Q关于圆锥曲线C调和共轭 .根据定理2，点Q的轨迹就是点P对应的极线，即41142xy，化简得220xy. 故点Q总在定直线220xy上 . 【例 3】( 1995 全国卷理26)已知椭圆22 :12416xyC，直线:1128xyl，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足2OQOPOR，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程 ., 并说明轨迹是什么曲线 .分析与解： 由条件知2OROPOQ可知点,P Q关于圆锥曲线C调和共轭， 而点Q可看作是点P的极线与直线OP的交点 . 设(12 ,88 )Ptt，则与P对应的极线方程为yx O B A 图 5 K ( ,)T t mM N B QxyO P A . 图 6 4 12(88 )12416t xty，化简得(1)2t xty③又直线OP的方程为8812tyxt，化简得223tyxt④解由③④联立方程组得226542 44542txtt txtt，消去t得222346xyxy，可化为22(1)(1)15523xy(, x y不同时为0)，故点Q的轨迹是以(1,1)为中心， 长短轴分别为102和153，且长轴平行于x轴的椭圆，但需去掉坐标原点. 【例 4】(2006 年全国卷II 理 21)已知抛物线24xy的焦点为F，,A B是抛物线上的两动点，且AFFB(0)，过,A B两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P. (1)证明FP AB为定值； (2)设ABP的面积为S，写出( )Sf的表达式，并求S的最小值 . 分析与解： (1)显然，点P的极线为AB，故可设点0(, 1)P x， 再 设1122(,),(,)A xyB xy，,,F A B三 点 对 应 的 极 线 方 程 分 别 为1y，112()x xyy，222()x xyy， 由 于,,A B F三 点 共 线 ， 故 相 应 的 三 极 线 共 点 于0(, 1)P x， 将1y代 入 后 面 两 个 极 线 方 程 得1012022(1)2(1)x xyx xy， 两 式 相 减 得12012()2()xxxyy. 又02121(, 2),(,)FPxABxxyy，故02121()2()0FP ABxxxyy. (2)设AB的方程为1ykx，与抛物线的极线方程002()x xyy对比可知直线AB对应的极点为(2 , 1)Pk，把1ykx代入24xy并由弦长公式得24(1)ABk，所以2212(1)4(1)2ABPSAB FPkk. 显然，当0k时，S取最小值4. 【例 5】(2005 江西卷理22)设抛物线2:C yx的焦点为F，动点P在直线:20lxy上运动，过P作抛物线的两条切线,PA PB，且与抛物线分别相切于,A B两点 . (1)求APB的重心G的轨迹方程； (2)证明PFAPFB. 分析与解： (1)设点001122(,),(,),(,)P xyA x yB xy，A B P O x y 图 8 F A B P O x y 图 9 F l R Q xyO P . 图 7 5 与0 02yyx x对比可知直线:20lxy对应的极点为1(,2)2，P为直线l上的动点，则点P对应的极线AB必恒过点1(,2)2. 设1:2()2AByk x， 可 化 为22 22kykx， 故 直 线AB对 应 的 极 点 为(,2)2 2k kP， 将 直 线AB的 方 程 代 入 抛 物 线 方 程 得2202kxkx， 由 此 得2 121212,(1)44xxk yyk xxkk，APB的重心G的轨迹方程为1222 1222 3322422222 333kkxxkkxkkkyykkk y，消去k即得21(42)3yxx. (2)设22 1122(,),(,)A x xB xx，由 (1)知1212,22kxxk x x，又1(0,)4F，由 (1) 知(,2)2 2k kP，即12 12(,)2xxPx x，所以2 111(,)4FAx x，12 121(,)24xxFPx x，2 221(,)4FBxx. 2212 1121121122222 11111111()()()()244444cos11()()44xxxx xxx xxx xFP FAPFA FPFAFPFP xFPxx.同理121 4cosx xFP FBPFB FPFBFP. 所以有PFAPFB. 参考文献【1】周兴和 . 高等几何 . 科学出版社， 2003.9 【2】李凤华 . 圆锥曲线的极点与极线及其应用. 数学通讯［ J］ ，2012(4) 下半月。