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奇偶性对称性在曲线积分和曲面积分中的应用 ? 杨卫疆 (天津商学院基础部, 天津 300400) 摘 要 在定积分和重积分的计算中, 恰当地利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性, 可以使积分运算大大简化文章把这些方法推广到曲线积分和曲面积分中, 并给出了证明 关键词 奇偶; 对称; 曲线; 曲面; 积分 分类号 A765 Application of Odevity and Symmetry in Curvilinear Integral and Surface Integral Yang Weijiang (Department of Basic Courses,T ianjin U niversity of Commerce,T ianjin300400) Abstract In the calculation of defining and double integral, appropriately making use of the odevity of integrand and the symmetry of integral region can simplify the calculation of inte- gral.This article popularizes these methods in the calculation of curvilinear integral and sur- face integral and gives proof of them as well. Key words odd- even; symmetric curve; surface; integral 在各类《 高等数学》 教材中, 讲授定积分与重积分 时都谈到了应用奇偶性、 对称性可使计算简化, 但在曲 线积分、 曲面积分中却很少谈及。

实际上, 在曲线积分 和曲面积分问题中, 也有相应的问题如果把定积分、 重积分视为线、 面积分的特殊情况, 则奇偶性、 对称性 这些在特定情况下的性质就可以推广到一般的线、 面 积分中 1 定 义 1. 1 区域 ? 的对称性 ( 1) 若( x , y, z) ∈?, 则( x, y, - z) ∈?, 那么 ? 关 于 xoy 面对称 关于 xoz 面、 yoz 面对称类似 ( 2) 若( x , y, z) ∈?, 则( - x , - y, z) ∈?, 那么 ? 关于z 轴对称 关于 x 轴、 y 轴对称类似 ( 3) 若( x, y, z ) ∈? , 则( x, - y, z ) 、 ( x, y, - z ) 和 ( - x, y, z) 均∈?, 那么 ? 关于三个坐标面对称 ( 4) 若( x , y, z) ∈?, 则( - x, - y, - z ) ∈?, 那么 ? 关于原点对称 ( 5) 若( x , y, z) ∈?, 则( x, - y, z) 和( - x, y, z) ∈ ?, 那么 ? 关于 xoz 和 yoz 面对称 1. 2 函数的奇偶性 ( 1) 若 f ( x, y, z) 在 ? 上满足 f ( - x, y, z ) = ? f ( x , y, z) , 称 f 为 ? 上关于 x 的奇、 偶函数。

f 关于 y 或 z 的奇偶性类似 ( 2) 若 f ( x , y, z) 在 ? 上满足 f ( - x, - y, z ) = ? f ( x , y, z) , 称f 为关于 x 与 y 的奇、 偶函数f 关于 x 与 z 或 y 与 z 的奇偶性类似 ( 3) 若 f ( x , y, z) 在 ? 上满足 f ( - x, - y, - z) = ? f ( x, y, z ) , 称 f 为关于 x、 y 和 z 的奇、 偶函数 2 曲面积分中的若干结论 2. 1 若分片光滑的曲面?关于 xoy 面对称, f 在? 天津商学院学报 第 19 卷 第 6 期 1999 年 11 月 JOU RNAL OF TIANJIN U NIVERSITY OF COM MERCEVol. 19 No. 6 Nov. 1999 ?收稿日期: 1998-11-25 上关于 z 为连续的奇、 偶函数, 则 ∫ ∫ ? f ( x , y, z) dS = 0, f 奇 2∫ ∫ ?1 f ( x , y, z) dS, f 偶 其中?1为?在 xoy 面上方一侧的部分区域( z = ± z( x , y) 具有连续的偏导数) 。

证明 ∫ ∫ ? f ( x, y, z ) dS =∫ ∫ ? 1 f ( x, y, z) dS +∫ ∫ ? 2 f ( x , y, z) dS 其中? 1: z = z( x , y) ,?2: z = - z( x , y) , 若 f ( x , y, - z) = f ( x, y , z) 则 ∫ ∫ ?2 f ( x, y, z ) dS =∫ ∫ Dxy f [ x, y, - z( x, y) ] 1+ ( - zx) 2 + ( - zy) 2dx dy =∫ ∫ Dxy f [ x, y, z( x , y) ]1 + z 2 x+ z 2 ydxdy =∫ ∫ ?1 f ( x, y, z ) dS 故 ∫ ∫ ? f ( x, y, z) dS = 2∫ ∫ ?1 f ( x, y, z) dS 同理可证 f 为奇函数的情形 其他同类情况可仿此证 例 1 求 ∫ ∫ ? ( x + y + z ) dS,?为x 2 + y 2 + z 2 = a2上z ≥ h( 0 ≤ h ≤ a) 的部分 解 ∫ ∫ ? f ( x, y, z ) dS =∫ ∫ ? xdS +∫ ∫ ? ydS +∫ ∫ ? zdS 对 ∫ ∫ ? x dS, f = x 关于 x 奇,?关于 yoz 对称。

所以 ∫ ∫ ? xdS = 0, 同理 ∫ ∫ ? ydS = 0 ∴∫ ∫ ? ( x + y + z ) dS =∫ ∫ ? zdS =∫ 2? 0 d ∫ a2- h2 0 a2- r2 ? a 2 a2- r 2rdr = ? a( a 2 - h2) 2. 2 若分片光滑的曲面?关于xoz 、 yoz 面对称, f 在 ?上同时是 x 和 y 的连续的奇、 偶函数, 则: ∫ ∫ ? f ( x, y, z ) dS = 0, f 奇 4∫ ∫ ?1 f ( x, y, z) dS, f 偶 其中? 1为?在 1, 5 卦限的部分区域 证明 ∫ ∫ ? f dS =∫ ∫ ? 1 f dS +∫ ∫ ? 2 f dS +∫ ∫ ? 3 f dS +∫ ∫ ? 4 f dS 其中? 1、?2、?3、?4分别是?在 1, 5; 2, 6; 3, 7和 4, 8 卦限的部分区域 因为?关于 yoz 面对称, 若 f 是 x 的偶函数, 应用结论 1 有: ∫ ∫ ?1 f dS =∫ ∫ ?2 f dS 同样可证 ∫ ∫ ? 2 f dS =∫ ∫ ? 3 f dS ∫ ∫ ? 3 f dS =∫ ∫ ? 4 f dS 故 ∫ ∫ ? f ( x, y, z ) dS = 4∫ ∫ ? 1 f ( x, y, z) dS 奇函数情形同理。

其他同类情况可仿此证 例2 求 ∫ ∫ ? ( x + y) zdS,?为Z= 2- ( x 2 + y 2) 在 Z = - h( h ≥ 0) 上方的部分 解 因f ( x, y, z ) = ( x + y) z 同时关于x 与y 为 奇函数,?关于 xoz 和yoz 面对称, 利用结论 2 有: ∫ ∫ ? ( x + y) zdS = 0 2. 3 若分片光滑的曲面?关于三个坐标面都对称, 连续函数f 关于三个变量同时具有奇、 偶性, 则有: ∫ ∫ ? f ( x , y, z) dS = 0, f 奇 8∫ ∫ ?1 f ( x, y, z) dS, f 偶 ? 1为?第一卦限的部分 证明 利用结论 1 和结论 2 易得结论 例 3 求 ∫ ∫ ? x 2 a 4+ y 2 b 4+ z 2 c 4dS, ?为x 2 a2 + y 2 b2 + z 2 c2 = 1 解 此时满足结论 3的条件, 所以有: I = 8∫ ∫ ? 1 x 2 a4 + y 2 b4 + z 2 c4 dS = 8abc ∫ ? 2 0 d ∫ 1 0( r 2cos2 a2 + ·23· 杨卫疆: 奇偶性对称性在曲线积分和曲面积分中的应用 r 2sin2 b 2+ 1 - r 2 c 2) r 1 - r2dr = 8abc ∫ ? 2 0 d ∫ ? 2 0 ( sin2ucos2 a2 + sin2usin2 b2 + cos2u c 2) sinudu = 4 3 abc( 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 ) 2. 4 若分片光滑的曲面?关于z 轴对称, 连续函数f 同时是 x 和 y 的奇、 偶函数, 则: ∫ ∫ ? f ( x , y, z) dS = 0, f 奇 2∫ ∫ ? 1 f ( x , y, z) dS, f 偶 其中?1为?在平面 x = - y 或x = y 一侧的部 分区域。

证明 ∫ ∫ ? f ( x, y, z ) dS =∫ ∫ ?1 f ( x, y, z) dS +∫ ∫ ?2 f ( x , y, z) dS 若 f 偶, 且?关于 z 轴对称, ( 即( x, y, z ) ∈? 2 ( - x, - y, z) ∈?1) 则 ∫ ∫ ?2 f ( x , y, z) dS x = - x y = - y ∫ ∫ ?1 f ( - x, - y, z ) dS =∫ ∫ ? 1 f ( x , y, z) dS 注意到?1与?2上 ds 相等, 故 ∫ ∫ ? f ( x, y, z ) dS = 2∫ ∫ ? 1 f ( x, y, z) dS 奇函数情形同理与此同类的情况仿此证明 2. 5 若分片光滑的曲面?关于原点对称, f 同时为 x、 y 与 z 的连续奇、 偶函数时, 则有: ∫ ∫ ? f ( x, y, z ) dS = 0, f 奇 2∫ ∫ ?1 f ( x, y, z) dS, f 偶 其中?1为?在原点一侧的部分区域 证明 ∫ ∫ ? f ( x, y, z ) dS =∫ ∫ ?1 f ( x, y, z) dS +∫ ∫ ?2 f ( x , y, z) dS 若 f 偶且关于原点对称, 即( x, y, z ) ∈?2, 则( - x, - y, - z) ∈? 1, 则 ∫ ∫ ? 2 f ( x, y, z ) dS x = - x y = - y z = - z∫ ∫ ? 1 f ( - x, - y, - z ) dS =∫ ∫ ?1 f ( x , y, z) dS ( 注意:? 1与?2上 dS 相等。

) 故 ∫ ∫ ? f ( x, y, z ) dS = 2∫ ∫ ? 1 f ( x, y, z) dS 若 f 奇同理可证 例 4 求 ∫ ∫ ? ( x 2 + y 2 + z 2) dS, ?: 为 z 2 = x 2 + y 2 位于 z = 1, z = - 1 之间的部分 解 此题符合结论 5的要求所以有: ∫ ∫ ? ( x 2 + y 2 + z 2) dS = 2 ∫ 2? 0 d ∫ 1 0( r 2 + r 2) 2 ?rdr = 22 ? 此题也可按结论 2 和结论 4 计算 2. 6 设分片光滑的曲面?关于xoy 面对称, 取外侧, 若连续的R( x, y, z ) 是 z 的奇、 偶函数, 则有: ∫ ∫ ? R( x, y, z ) dxdy = 0, f 偶 2∫ ∫ ? 1 R( x, y, z ) dxdy, f 奇 其中?1为z1= z( x。