高三数学一轮复习二项式定理课时讲课.ppt

1课堂教学1.能用计数原理证明二项式定理．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式．会用二项式定理解决与二项展开式    有关的简单问题．有关的简单问题．2课堂教学3课堂教学 1．二项式定理．二项式定理4课堂教学[思考探究思考探究1]在在(a＋＋b)n与与(b＋＋a)n的展开式中，其通项相同吗？的展开式中，其通项相同吗？提示：提示：从整体上看，从整体上看，(a＋＋b)n与与(b＋＋a)n的展开式是相同的，但的展开式是相同的，但具体到某一项是不同的，如第具体到某一项是不同的，如第r＋＋1项项Tr＋＋1＝＝ an－－rbr，，T′r＋＋1＝＝ bn－－rar.5课堂教学2．二项式系数的性质．二项式系数的性质6课堂教学[思考探究思考探究2] 二项式系数与项的系数有什么区别？二项式系数与项的系数有什么区别？提示：提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指式系数是指 ，它只与各项的项，它只与各项的项数有关，而与数有关，而与a，，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，，b的值有关．的值有关．7课堂教学1.                     的展开式中的展开式中x2的系数为的系数为     (　　　　)      A．．10　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．．5      C.                                                     D．．18课堂教学解析：解析：∵ ∵含含x2的项为的项为 (       )2＝＝ x2 ，，∴ ∴x2的系数为的系数为 .答案：答案：C9课堂教学2．二项式．二项式(a＋＋2b)n展开式中的第二项的系数是展开式中的第二项的系数是8，则它的，则它的       第三项的二项式系数为第三项的二项式系数为     (　　　　)       A．．24                                                B．．18       C．．16                                                D．．6解析：解析：∵ ∵Tr＋＋1＝＝ (2b)r，，∴ ∴T2＝＝ an－－1(2b)＝＝2      an－－1b，，∴ ∴2      ＝＝8，，∴ ∴n＝＝4，，∴ ∴第三项的二项式系数为第三项的二项式系数为 ＝＝6.答案：答案：D10课堂教学3．若．若(x＋＋ )n展开式的二项式系数之和为展开式的二项式系数之和为64，则展开，则展开式的式的        常数项为常数项为         (　　　　)       A．．10        B．．20       C．．30                          D．．120解析：解析：二项式系数之和二项式系数之和2n＝＝64，，则则n＝＝6，，Tr＋＋1＝＝ ·x6－－r·        ＝＝ x6－－2r，，当当6－－2r＝＝0时，即时，即r＝＝3时为常数项，时为常数项，T3＋＋1＝＝ ＝＝20.答案：答案：B11课堂教学解析：解析：∵ ∵Tr＋＋1＝＝ (ax)5－－r(－－1)r，且，且x3的系数为－的系数为－80.4．若．若(ax－－1)5的展开式中的展开式中x3的系数是－的系数是－80，则实数，则实数a的值是的值是        ________．．答案：答案：－－212课堂教学5．若．若(x2＋＋1)(x－－2)9＝＝a0＋＋a1(x－－1)＋＋a2(x－－1)2＋＋…＋＋a11(x－－         1)11，则，则a1＋＋a2＋＋…＋＋a11＝＝________.解析：解析：令令x＝＝2，则有，则有a0＋＋a1＋＋a2＋＋…＋＋a11＝＝(22＋＋1)(2－－2)9＝＝0，，再令再令x＝＝1，则有，则有a0＝＝(12＋＋1)·(－－1)＝－＝－2，，∴ ∴a1＋＋a2＋＋a3＋＋…＋＋a11＝＝2.答案：答案：213课堂教学14课堂教学 在解决二项展开式指定项或特定项的问题时，在解决二项展开式指定项或特定项的问题时，关键是公式关键是公式Tr＋＋1＝＝ an－－rbr(0≤r≤n，，r∈ ∈N*，，n∈ ∈N*)的正确的正确应用．应用．15课堂教学[特别警示特别警示]　　应用二项展开式的通项公式应用二项展开式的通项公式Tr＋＋1＝＝ an－－rbr(r＝＝0,1,2，，…，，n)时，要注意以下几点：时，要注意以下几点：(1)通项公式表示的是第通项公式表示的是第r＋＋1项，而不是第项，而不是第r项；项；(2)通项公式中通项公式中a和和b的位置不能颠倒；的位置不能颠倒；(3)展开式中第展开式中第r＋＋1项的二项式系数项的二项式系数 与第与第r＋＋1项的系数，项的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式或指数的运算要细心，以防出错．先处理符号，对根式或指数的运算要细心，以防出错．16课堂教学 已知在已知在(                  )n的展开式中，第的展开式中，第6项项为常数项．为常数项．(1)求求n；；(2)求含求含x2的项的系数；的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．求展开式中所有的有理项．[思路点拨思路点拨]17课堂教学[课堂笔记课堂笔记]　　(1)通项为通项为Tr＋＋1＝＝＝＝ ，，因为第因为第6项为常数项，所以项为常数项，所以r＝＝5时，有时，有 ＝＝0，，即即n＝＝10.(2)令令 ＝＝2，得，得r＝＝ (n－－6)＝＝ ×(10－－6)＝＝2，，∴ ∴所求的系数为所求的系数为18课堂教学(3)根据通项公式，由题意根据通项公式，由题意令令 ＝＝k(k∈ ∈Z)，则，则10－－2r＝＝3k，即，即r＝＝5－－ k，，∵ ∵r∈ ∈N，，∴ ∴k应为偶数．应为偶数．∴ ∴k可取可取2,0，－，－2，即，即r可取可取2,5,8.所以第所以第3项，第项，第6项与第项与第9项为有理项，它们分别为项为有理项，它们分别为      (－－ )2x2，， ，， x－－2.19课堂教学1.对形如对形如(ax＋＋b)n、、(ax2＋＋bx＋＋c)m、、(a、、b、、c∈ ∈R)的式子求的式子求    其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝＝1即即    可；对可；对(ax＋＋by)n(a，，b∈ ∈R)的式子求其展开式各项系数之的式子求其展开式各项系数之    和，只需令和，只需令x＝＝y＝＝1即可．即可．2．一般地，若．一般地，若f(x)＝＝a0＋＋a1x＋＋a2x2＋＋…＋＋anxn，则，则f(x)展开展开     式中各项系数之和为式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为，奇数项系数之和为a0＋＋a2＋＋a4        ＋＋…＝＝ ，偶数项系数之，偶数项系数之和为和为a1＋＋a3＋＋a5＋＋…    ＝＝         .20课堂教学 在二项式在二项式(2x－－3y)9展开式中，求：展开式中，求：(1)二项式系数之和；二项式系数之和；(2)各项系数之和；各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；所有奇数项系数之和；(4)系数绝对值的和．系数绝对值的和．[思路点拨思路点拨]21课堂教学[课堂笔记课堂笔记]　　设设(2x－－3y)9＝＝a0x9＋＋a1x8y＋＋a2x7y2＋＋…＋＋a9y9.(1)二项式系数之和为二项式系数之和为 ＋＋…＋＋ ＝＝29.(2)各项系数之和为各项系数之和为a0＋＋a1＋＋a2＋＋…＋＋a9，令，令x＝＝1，，y＝＝1，，∴ ∴a0＋＋a1＋＋a2＋＋…＋＋a9＝＝(2－－3)9＝－＝－1.(3)由由(2)知知a0＋＋a1＋＋a2＋＋…＋＋a9＝－＝－1，，令令x＝＝1，，y＝－＝－1，可得：，可得：a0－－a1＋＋a2－－…－－a9＝＝59，将两式相加，可得，将两式相加，可得a0＋＋a2＋＋a4＋＋a6＋＋a8＝＝ ，即为所有奇数项系数，即为所有奇数项系数之和．之和．22课堂教学(4)|a0|＋＋|a1|＋＋|a2|＋＋…＋＋|a9|＝＝a0－－a1＋＋a2－－a3＋＋…－－a9，，令令x＝＝1，，y＝－＝－1，则，则|a0|＋＋|a1|＋＋|a2|＋＋…＋＋|a9|＝＝a0－－a1＋＋a2－－a3＋＋…－－a9＝＝59.23课堂教学1.求二项式系数最大的项：求二项式系数最大的项： 如果如果n是偶数，则中间一项是偶数，则中间一项 的二项式系的二项式系      数最大；数最大；   如果如果n是奇数，则中间两项是奇数，则中间两项   的二项式系数相等且最大；的二项式系数相等且最大；24课堂教学2．求展开式系数最大的项，如求．求展开式系数最大的项，如求(a＋＋bx)n(a，，b∈ ∈R)的展开的展开        式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开        式各项系数分别为式各项系数分别为A1，，A2，，…，，An＋＋1，且第，且第r项系数最大，项系数最大，        应用应用 解出解出r来，即得系数最大的项来，即得系数最大的项．．25课堂教学 已知已知f(x)＝＝(          ＋＋3x2)n展开式中各项的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．求展开式中系数最大的项．[思路点拨思路点拨]26课堂教学[课堂笔记课堂笔记]　　(1)令令x＝＝1，则二项式各项系数和为，则二项式各项系数和为f(1)＝＝(1＋＋3)n＝＝4n，，展开式中各项的二项式系数之和为展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知由题意知4n－－2n＝＝992.∴ ∴(2n)2－－2n－－992＝＝0，，∴ ∴(2n＋＋31)(2n－－32)＝＝0，，∴ ∴2n＝－＝－31(舍舍)或或2n＝＝32，，∴ ∴n＝＝5.27课堂教学由于由于n＝＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是间两项，它们是T3＝＝ (x )3(3x2)2＝＝90x6，，T4＝＝  (x )2(3x2)3＝＝270x .(2)展开式通项为展开式通项为Tr＋＋1＝＝ 3r·x (5＋＋2r)．．假设假设Tr＋＋1项系数最大，则有项系数最大，则有28课堂教学∴ ∴      ≤r≤      ，，∵ ∵r∈ ∈N，，∴ ∴r＝＝4.∴ ∴展开式中系数最大项为展开式中系数最大项为T5＝＝ x (3x2)4＝＝405x .29课堂教学已知已知(      ＋＋x2)2n的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和比(3x－－1)n的展的展开式的二项式系数和大开式的二项式系数和大992，求，求(2x－－ )2n的展开式的展开式中：中：(1)二项式系数最大的项；二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项系数的绝对值最大的项.30课堂教学解：解：根据二项式系数的性质，列方程求解根据二项式系数的性质，列方程求解n.系数绝对值最大系数绝对值最大问题需要列不等式组求解．问题需要列不等式组求解．由题意知，由题意知，22n－－2n＝＝992，即，即(2n－－32)(2n＋＋31)＝＝0.∴ ∴2n＝＝32，解得，解得n＝＝5.(1)由二项式系数的性质知，由二项式系数的性质知，(2x－－ )10的展开式中第的展开式中第6项的二项式系数最大．项的二项式系数最大．即即T6＝＝ ·(2x)5·(－－ )5＝－＝－8 064.31课堂教学(2)设第设第r＋＋1项的系数的绝对值最大，项的系数的绝对值最大，∵ ∵Tr＋＋1＝＝ ·(2x)10－－r·(－－ )r＝＝(－－1)r ·210－－r·x10－－2r，，得得 即即 解得解得 ≤r≤       .∵ ∵r∈ ∈Z，，∴ ∴r＝＝3，故系数的绝对值最大的是第，故系数的绝对值最大的是第4项，项，T4＝－＝－ ·27·x4＝－＝－15 360x4.32课堂教学 以选择题或填空题的形式考查二项展开式的以选择题或填空题的形式考查二项展开式的通项、二项式系数、展开式的系数等知识是高考对本讲通项、二项式系数、展开式的系数等知识是高考对本讲内容的常规考法内容的常规考法.09年北京高考则以选择题的形式考查年北京高考则以选择题的形式考查了二项式定理在求值中的应用，这是一个新的考查方向了二项式定理在求值中的应用，这是一个新的考查方向．．33课堂教学         [考题印证考题印证]         (2009·北京高考北京高考)若若(1＋＋ )5＝＝a＋＋b (a，，b为有理为有理数数)，则，则a＋＋b＝＝ (　　　　)A．．45                                  B．．55C．．70                                  D．．8034课堂教学        【【解析解析】】　由二项式定理得：　由二项式定理得：          (1＋＋ )5＝＝1＋＋ ＋＋ ·(     )2＋＋ ·(     )3＋＋ ·(      )4＋＋ ·(     )5＝＝1＋＋5      ＋＋20＋＋20      ＋＋20＋＋4 ＝＝41＋＋29     ，，          ∴ ∴a＝＝41，，b＝＝29，，a＋＋b＝＝70.【【答案答案】】　　C35课堂教学           [自主体验自主体验] 若对于任意实数若对于任意实数x，有，有x3＝＝a0＋＋a1(x－－2)＋＋a2(x－－2)2＋＋a3(x－－2)3，则向量，则向量m＝＝(a0，，a2)与向量与向量n＝＝(－－3,4)所成角的所成角的余弦值是余弦值是         (　　　　)          A．．0                                                B.          C.                                                       D．．136课堂教学解析：解析：x3＝＝[2＋＋(x－－2)]3，，a0＝＝23＝＝8，，a2＝＝ 2＝＝6.故故m＝＝(8,6)，，m·n＝＝0.答案：答案：A37课堂教学38课堂教学1．．(2009·浙江高考浙江高考)在二项式在二项式(x2－－ )5的展开式中，含的展开式中，含x4的的 项的系数是项的系数是      (　　　　)      A．－．－10                                B．．10      C．－．－5                                    D．．539课堂教学解析：解析：Tr＋＋1＝＝ x2(5－－r)(－－x－－1)r＝＝(－－1)r x10－－3r(r＝＝0,1，，…，，5)，由，由10－－3r＝＝4得得r＝＝2.含含x4的项为的项为T3，其系数为，其系数为 ＝＝10.答案：答案：B40课堂教学2．如果．如果 的展开式中含有非零的展开式中含有非零常数项，则正整常数项，则正整        数数n的最小值为的最小值为     (　　　　)       A．．10  B．．6       C．．5  D．．3解析：解析：∵ ∵Tr＋＋1＝＝ (3x2)n－－r·＝＝(－－1)r·      3n－－r·2r·x2n－－5r，，∴ ∴由题意知由题意知2n－－5r＝＝0，即，即n＝＝ ，，∵ ∵n∈ ∈N*，，r∈ ∈N，，∴ ∴n的最小值为的最小值为5. 答案：答案：C41课堂教学3．．(1－－ )6(1＋＋ )4的展开式中的展开式中x的系数是的系数是 (　　　　)       A．－．－4                             B．－．－3       C．．3                                  D．．4解析：法一：解析：法一：化简原式＝化简原式＝[(1－－ )4(1＋＋ )4]·(1－－ )2＝＝[(1－－ )(1＋＋ )]4·(1－－ )2＝＝(1－－x)4·(1－－ )2＝＝(1－－4x＋＋6x2－－4x3＋＋x4)(1－－2     ＋＋x)故系数为故系数为1－－4＝－＝－3.42课堂教学法二：法二：展开式中含展开式中含x的项为的项为 (－－ )(－－ )＋＋ ＋＋                                ＝＝15x＋＋6x－－24x＝－＝－3x故故x的系数为－的系数为－3.答案：答案：B43课堂教学4．二项式．二项式(2x－－ )6的展开式的常数项是的展开式的常数项是________．．解析：解析：Tr＋＋1＝＝ (2x)6－－r(－－ )r＝＝ 26－－r(－－1)rx6－－2r，由，由6－－2r＝＝0得得r＝＝3，故展开式中的常数项为，故展开式中的常数项为      23(－－1)3＝＝－－160.答案：答案：－－16044课堂教学5．．(2010·安徽师大附中模拟安徽师大附中模拟)a＝＝ (sinx＋＋cosx)dx则二项则二项式式        (a )6展开式中含展开式中含x2项的系数是项的系数是________．．45课堂教学解析：解析：a＝＝ (sinx＋＋cosx)dx＝＝(sinx－－cosx)|＝＝(sinπ－－cosπ)－－(sin0－－cos0)＝＝(0＋＋1)－－(0－－1)＝＝2.又又∵ ∵Tr＋＋1＝＝ (a )6－－r(－－ )r＝＝ a6－－r(－－1)rx＝＝ a6－－r(－－1)rx3－－r.由由3－－r＝＝2，得，得r＝＝1，，∴ ∴x2项的系数为－项的系数为－ a5＝－＝－192.答案：答案：－－19246课堂教学6．设．设(3x－－1)4＝＝a0＋＋a1x＋＋a2x2＋＋a3x3＋＋a4x4.       (1)求求a0＋＋a1＋＋a2＋＋a3＋＋a4；；      (2)求求a0＋＋a2＋＋a4；；      (3)求求a1＋＋a3；；      (4)求求a1＋＋a2＋＋a3＋＋a4；；      (5)求各项二项式系数的和．求各项二项式系数的和．47课堂教学解：解：(1)令令x＝＝1，得，得a0＋＋a1＋＋a2＋＋a3＋＋a4＝＝(3－－1)4＝＝16.(2)令令x＝－＝－1得得a0－－a1＋＋a2－－a3＋＋a4＝＝(－－3－－1)4＝＝256，，而由而由(1)知知a0＋＋a1＋＋a2＋＋a3＋＋a4＝＝(3－－1)4＝＝16，，两式相加，得两式相加，得a0＋＋a2＋＋a4＝＝136.(3)由由(2)得得(a0＋＋a1＋＋a2＋＋a3＋＋a4)－－(a0＋＋a2＋＋a4)＝＝a1＋＋a3＝－＝－120.48课堂教学(4)令令x＝＝0得得a0＝＝(0－－1)4＝＝1，，得得a1＋＋a2＋＋a3＋＋a4＝＝a0＋＋a1＋＋a2＋＋a3＋＋a4－－a0＝＝16－－1＝＝15.(5)各项二项式系数的和为各项二项式系数的和为 ＝＝24＝＝16.49课堂教学。