关于幂的不等式问题.doc

幂平均不等式：2 2122 22 1)...(1...nnaaanaaa注：例如：22222()()()acbdabcd.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1nnnn nnn nnnpp②11111(1)121nnnnnnnnnn pp（2）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则若nnnnnnnnba ba ba babbbbaaaababababaRbbbbRaaaaLLLLLL33221122 32 22 122 32 22 12 332211321321 ))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x xx有12121212()()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或则称 f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论；②一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则( ) ( )0( )( )0( ) ( )0;0( )0( )( )f x g xf xf xf x g xg xg xg x（3）无理不等式：转化为有理不等式求解( )0 ( )( )( )0( )( )f x f xg xg xf xg x  定义域○1  0)(0)()]([)(0)(0)( )()( 2xgxfxgxfxgxf xgxf或  2)]([)(0)(0)( )()( xgxfxgxf xgxf○2○3（4）.指数不等式：转化为代数不等式( )( )( )( )( )(1)( )( );(01)( )( )(0,0)( ) lglgf xg xf xg xf xaaaf xg xaaaf xg xab abf xab（5）对数不等式：转化为代数不等式( )0( )0 log( )log( )(1)( )0;log( )log( )(01)( )0 ( )( )( )( )aaaaf xf x f xg x ag xf xg xag x f xg xf xg x  （6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想；○1○2应用化归思想等价转化○3  )()()()(0)()0)(),((0)()(| )(|)()()(0)()(| )(|xgxfxgxfxgxgxfxgxgxfxgxfxgxgxgxf或或不同时为⑴nnnqapaa12（p、q 为二阶常数）用特证根方法求解.具体步骤：①写出特征方程qPxx2（2x对应2na，x 对应1na），并设二根21, xx②若21xx 可设nn nxcxca2211.，若21xx 可设n nxncca121)(；③由初始值21,aa确定21,cc.⑵rPaann1（P、r 为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数 n 转化为nnnqaPaa12的形式，再用特征根方法求na；④1 21n nPcca（公式法），21,cc由21,aa确定.①转化等差，等比：1)(11PrxxPxPaaxaPxannnn.②选代法：rrPaPrPaannn)(21xPxaPrPPraann n1 11 1)(1)1(LrrPaPnnPr2 11L.③用特征方程求解：  相减，rPaarPaannnn11 1na1111nnnnnnPaaPaPaPaa）（.④由选代法推导结果：PrPPracPcaPracPrcnn n 11111 111 2121）（，，.6. 几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前n项和为nS，在0pd时，有最大值. 如何确定使nS取最大值时的n值，有两种方法：一是求使0, 01pnnaa，成立的n值；二是由ndandSn)2(212利用二次函数的性质求n的值.⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：,... 21) 12,...(413 ,211nn⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21dd ，的最小公倍数.2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证)(11 nn nnaaaa为同一常数。

2)通项公式法3)中项公式法:验证212nnnaaaNnaaannn)(22 1都成立3. 在等差数列｛na｝中,有关 Sn 的最值问题：(1)当1a>0,d0 时，满足 001mm aa的项数 m 使得ms取最小值在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用三）、数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列2.裂项相消法:适用于 1nnaac其中{ na}是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等3.错位相减法:适用于nnba其中{ na}是等差数列， nb是各项不为 0 的等比数列4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.5.常用结论1）: 1+2+3+...+n = 2) 1( nn2） 1+3+5+...+(2n-1) =2n3）2 333) 1(2121 nnnL 4） ) 12)(1(613212222nnnnL 5） 111 ) 1(1 nnnn)211(21 )2(1 nnnn6） )()11(11qpqppqpq⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：①), 2(1为常数dndaann②211nnnaaa(2n)③bknan(kn,为常数).⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：①)0,, 2(1且为常数qnqaann②112 nnnaaa(2n，011nnnaaa)①注①：i. acb ，是 a、b、c 成等比的双非条件，即acb a、b、c等比数列.ii. acb （ac＞0）→为 a、b、c 等比数列的充分不必要.iii. acb→为 a、b、c 等比数列的必要不充分.iv. acb且0fac→为 a、b、c 等比数列的充要.注意：任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有 ac＞0，则等比中项一定有两个.③n ncqa(qc,为非零常数).④正数列{na}成等比的充要条件是数列{nxalog}（1fx）成等比数列.⑷数列{na}的前n项和nS与通项na的关系：   )2() 1(111 nssnasa nnn[注]： ①danddnaan111（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为 0，则是等差数列充分条件）.②等差{na}前 n 项和ndandBnAnSn  22122→2d可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2. ①等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的 k2倍...,,232kkkkkSSSSS；②若等差数列的项数为 2Nnn，则，奇偶ndSS1 nn aa SS偶奇；③若等差数列的项数为Nnn12，则nnanS1212，且naSS偶奇，1nn SS偶奇得到所求项数到代入12 nn. 3. 常用公式：①1+2+3 …+n = 21nn② 61213212222nnnnL ③2213213333 nnnL[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110 n na； 5，55，555，…11095n na.。