数学与应用数学-向量法在中学数学解题中的应用论文.docx

向量法在中学数学解题中的应用摘要 向量在中学数学中占据着极大的比例，它也在历年高考题中频频出现，是架起代数、几何、三角函数之间的桥梁因此，熟练地掌握向量知识并运用向量法来解决难题变得至关重要本文从课程标准对向量的要求的认知出发，先查阅与向量发展有关的文献及资料，对向量学的发展历史进行总结并简单阐述，接着搜集与向量有关的高考题以及常见例题进行分析、钻研，从代数、平面几何、空间几何这三个方面考虑，对利用向量法证明等式与不等式问题、最值问题、立体几何中的平行于垂直关系、空间角的正、余弦值问题展开研究不管在代数方面还是几何中，向量都能作为有力的解题工具，使求解的过程更简便、准确在立体几何中，向量法的优点更加明显，既有利于培养空间思维能力与抽象能力，也提高了它在高中数学常用方法中的地位关键词 向量法 中学数学 问题分析The application of vector method in mathematics problem solvingAbstract Vector occupies a large proportion in middle school mathematics, and it also appears frequently in the college entrance examination over the years. It is a bridge between algebra, geometry and trigonometric function. Therefore, it is very important to master vector knowledge and use vector method to solve the problem. Starting from the recognition of the requirements of the curriculum standard for vector, this paper first looks up the literature and materials related to the development of vector, summarizes and briefly expounds the development history of vector science, then we collect the college entrance examination questions related to vectors and common examples for analysis and research. From the three aspects of algebra, plane geometry and space geometry, we study the problems of proving equality and inequality, maximum value, parallel to vertical relationship in solid geometry, positive and cosine value of space angle by vector method. No matter in algebra or geometry, vector can be used as a powerful tool to solve problems, making the process of solving easier and more accurate. In solid geometry, the advantages of vector method are more obvious, which not only helps to cultivate the ability of spatial thinking and abstraction, but also improves its position in the common methods of high school mathematics.Key words vector methods high school mathematics problem solving目 录引言 11 研究综述 21.1 研究背景 21.2 国内外研究现状 21.3 研究意义 31.4 研究内容以及研究方法 32 理论基础 42.1 向量学的发展历程 42.2 课程标准中对于向量的要求分析 42.3 利用向量法解决数学问题的好处 42.3.1 有利于提高学生理解中学数学与现代数学间联系的能力 42. 3.2 有利于提高学生分析、处理数学问题的能力 42.3.3 有利于提高学生思维扩散的能力 53 向量法在高中数学问题中的一些应用 63.1 向量法在代数问题中的应用 63.1.1 利用向量法解决或证明等式与不等式问题 63.1.2 利用向量法来求解最值问题 73.2 向量法在平面几何问题中的应用 73.2.1 利用向量法解决比值问题 83.2.2 利用向量法求解圆锥曲线中的轨迹问题 93.3 向量法在空间几何中的应用 103.3.1 利用向量法解决立体几何中的平行关系 103.3.2 利用向量法解决立体几何中的垂直关系 113.3.3 利用向量法求解空间角的正、余弦值问题 113.4 向量法在一些综合题中求最值的应用 13结论 15参考文献 16致谢 17引 言中学数学在进行了新课程改革以后，教学理念与教学内容都发生了很大的变化，尤其是在向量这一部分内容上有所体现，由此，向量便成为历年高考数学考查的重点。

向量作为线段的一种，凭借其自身具有方向性的特征，通过构造可以被用于解决很多难题，使它逐渐演变为一种解题手段这一点在立体几何中尤为突出，通过建系根据空间向量的运算性质可以处理很多问题尽管使用向量法解题可以打破常规思路，比传统方法更有效，但在解题时人们还是首选传统方法进行思考，这也导致了向量法得不到普及，不能充分被运用因此，需要提高人们对于利用向量法解题的认知本文就如何使用向量法解决中学数学问题展开讨论与研究，对向量法在中学数学解题中的应用进行了分析1 研究综述1.1 研究背景向量在中学数学课程内容中占据着很重要的比例对于中学生的要求较高，而中学生在向量上的学习存在着很大的缺陷以及差异初中阶段的数学课程学习过程中学生已经接触过向量，在正余弦定理的应用或者是一些简单的代数问题也都有运用到但是在高中阶段正式接触平面向量以及空间向量时，书本也给出了很准确的定义，课标对于平面向量以及空间向量也有很明确的要求 本文主要研究的是向量法在解决中学数学题中有哪些应用，经过与教师探讨发现：中学生对于平面向量的几何意义、代数意义的不理解、不掌握，导致了他们在学习向量这一内容时异常的费劲困难，学生之间的差异也很明显，出现了同一条题目，有的学生看不懂题意，无从下手，有的学生却能游刃有余地解决甚至一题多解。

因此，在数学教学过程中，教师要注重基础内容的讲解要落实到位相对于平面向量，空间向量需要学生具有很好的抽象思维以及空间想象能力对于一些立体几何题，学生用一般的几何知识可以解决，但是对于需要作相关辅助线以及构造其他相应图形的题目，这些是一般学生所想不到的因此，对于缺乏空间思维能力的学生而言，利用向量法来解决这些难题是首选有一些学生知道利用空间向量来做题，由于平面向量的学习基础不踏实，平面向量到空间向量的推广不熟悉，不知道该如何建平面直角坐标系选择基向量进行运算同样的原因，在实际教学中，为了应试，教师往往忽略了将最基本的思想渗透到学生的大脑中，基本定理、概念一带而过，课堂以及课后大部分时间只是让学生练习向量综合题再进行讲解因此，在教学过程中，教师更应该重视基础内容的落实、向量的几何意义和代数意义的研究1.2 国内外研究现状在国内，致力于利用向量来解决中学数学难题的研究有很多，主要分为向量在代数中的应用、在平面几何以及空间几何中的应用这三大类刘爽通过《高中数学解题中向量方法的应用》论述了使用向量法解决问题的必要性以及影响向量法解题的因素[1]p78周敏红在《向量法在中学数学中的应用举例》中，将利用向量法解决问题分为三步，并将几何问题代数化处理[2]p10～12。

郭万惠通过《向量在中学数学解题中的巧用》一文，辅以高考经典例题，着重分析了如何利用向量来解决立体几何题[3]p108～109黄智莉在《向量在数学中的应用》中，强调要牢固掌握向量的基本定理及如何根据题意提取出基向量，并表示出题目中的有关量，从而解决难题[4]p316～317李国平以《运用向量多角度思考一道立体几何题》，讨论了当不能建系时，可利用拆分未知向量为已知向量、基向量法、整体消元法来解决立体几何题[5]p48黄真同在《运用向量法解决高考题中的几何问题》一文中，对立体几何中常见的几种题型进行了分类，以及如何构造相应辅助线和图形[6]p110～112范海梅和贾新平在共同创作的《数形两重性 向量应用广》一文中，对向量法在三角函数、不等式问题、平面几何还有数列中的运用也以分析例题的形式进行研究[7]p54～55丁银凯通过《高中数学例题教学--以“向量的应用”一课为例》，对整节课的教学分析、教学过程以及课后反思详细叙述，指出教师在向量内容的教学时，要注意引导学生学会分析题意抓关键词，让学生经历抽象到实际的过程[8]p38～39+43国外数学教学不断改革变化着，向量在数学中的地位也越来越高通过查阅文献、数学史资料，了解到英、美、日、俄等国，向来是将几何作为一门核心课程单独开课，各个国家在解决几何题这方面都下了很大功夫也总结出了多种方法，但都将向量几何的知识点作为重点去分析。

由此，向量法便成为解决数学难题的突破口美国数学教材注重从日常生活中发现问题，培养学生的综合能力，《发现的几何》一书要求学生使用微机以及配套软件去探索二维几何、三维几何、坐标几何以及向量几何的内容[9]p432日本在高中设有平面几何的选修课，向量已经成为解决几何题的重要工具在一手抓传统几何内容的创新的同时也在加大对向量内容的改革英国并没有将系统的理论的立体几何编入中学教科书中，但是利用向量法来处理线面、面面关系仍有体现不管国内还是国外，利用向量法来解决难题已经成为一种趋势，也是数学研究的重点1.3 研究意义随着数学课程的不断改革，高中数学在理念和内容上都有着非常大的变化，向量在高中数学内容中也越来越关键现阶段《普通高中数学课程标准》要求学生将平面向量和空间向量的知识作为必修内容理解掌握，由此看来，向量在高中数学中的重要性已经不容置疑但是在向量的教学问题解决过程中仍然存在一些问题比如，教师觉得这部分的内容教学并不难，但是少部分学生感觉它很抽象不太容易接收师生都认为，向量一直是解题强有力的工具，由于传统数学知识易发生负迁移，大部分人在做题时首先想到的是用传统方法去解决问题，导致向量法得不到普及，它的作用不能被充分发挥。

因此，有必要对向量法解题在高中数学中的应用进行深入研究、分析，进一步琢磨领会教材1.4 研究内容以及研究方法本文主要使用文献分析法和例题分析法首先搜集、参考与向量有关的文献和例题，并咨询中学教师在向量内容教学的经验，对代数、平面几何与空间几何这三大部分中的一些题型该如何使用向量法来进行求解着重研究，具体包括：利用向量法证明等式与不等式问题、最值问题，求动点轨迹方程以及空间几何中常见的线面、面面关系和正、余弦。