弹性力学03平面题的直角坐标解答.ppt

第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答要点要点—— 用用逆解法逆解法、、半逆解法半逆解法求解平面弹性求解平面弹性力学问题力学问题§3-1 §3-1 逆解法与半逆解法　多项式解答逆解法与半逆解法　多项式解答§3-2 §3-2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲§3-3 §3-3 位移分量的求出位移分量的求出§3-§3-５５ 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力§3-§3-４４ 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷主主 要要 内内 容容l应力函数法求解平面问题的基本步骤应力函数法求解平面问题的基本步骤（常体力情形）（常体力情形）（（1））(2-27)（（2））然后将然后将 代入式（代入式（2-26）求出应力分量：）求出应力分量：先由方程（先由方程（2-27）求出应力函数：）求出应力函数：(2-26)（（3）） 再让再让 满足满足边界条件边界条件和和位移单值条件位移单值条件（多连体问题）多连体问题）2-28)（无体力情形）（无体力情形）l应力函数的求解方法：应力函数的求解方法：（（1）逆解法；）逆解法；（（2）半逆解法。

半逆解法 应力函数应力函数 求解方法求解方法（（1）逆解法）逆解法（（1））先设定各种形式的、满足相容方程（先设定各种形式的、满足相容方程（2-27）的应力函数）的应力函数φ(x,y) ；；（（2））—— 主要适用于主要适用于简单边界条件简单边界条件的问题然后利用应力分量计算式（然后利用应力分量计算式（2-26），求出），求出 ；；（（3））再利用应力边界条件，来考察这些应力函数再利用应力边界条件，来考察这些应力函数φ(x,y) 对应什么对应什么样的边界面力，从而得知所设应力函数样的边界面力，从而得知所设应力函数φ(x,y) 可以求解什么可以求解什么问题2-27)§3-1 §3-1 逆解法和半逆解法　多项式解答逆解法和半逆解法　多项式解答(2-26)（（1））根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量假设部分应力分量 的某种函数形式的某种函数形式 ；；（（2））根据根据 与应力函数与应力函数φ(x,y)的关系及的关系及 ，，求出求出φ(x,y) 的的形式；形式；（（3））最后利用式（最后利用式（2-26）计算出）计算出 并让其满足并让其满足边界条件边界条件和和位移单值条件位移单值条件（多连体问题）。

多连体问题）2）半逆解法）半逆解法(2-27)(2-26) 下面用下面用逆解法逆解法，将应力函数，将应力函数φ(x,y)取为一些取为一些简单的多项式函数简单的多项式函数，，考察能解决什么样的问题考察能解决什么样的问题其中：其中： a、b、c 为任意常数为任意常数检验检验φ(x,y) 是否满足双调和方程：是否满足双调和方程：显然显然φ(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数满足双调和方程，因而可作为应力函数1）） 1. 一次多项式一次多项式（（2））（（3）） 对应的应力分量（设对应的应力分量（设体力为零体力为零）：）：即有：即有：（（1））结论：结论：（（2））一次多项式对应于一次多项式对应于无体力、无面力、无应力无体力、无面力、无应力状态；状态；在应力函数上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响在应力函数上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响 2. 二次多项式二次多项式（（1））其中：其中： a、b、c 为待定系数为待定系数设（设 fx = fy = 0 ））检验检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有（（2））(可可作为应力函数作为应力函数 )（（3）） 由式（由式（2-26）计算应力分量：）计算应力分量：xy2c2c2a2a结论：结论：二次多项式对应于二次多项式对应于均匀应力分布均匀应力分布。

假设：假设：a >0 , b >0, c >0试求图示板的应力函数试求图示板的应力函数例：例：xy 3. 三次多项式三次多项式（（1））其中其中: a、b、c 、d 为待定系数为待定系数检验检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有（（2））(可可作为应力函数作为应力函数 )(设设 fx = fy = 0 )（（3）） 由式（由式（2-26）计算应力分量：）计算应力分量：结论：结论：三次多项式对应于三次多项式对应于线性应力分布线性应力分布xyxy 4. 四次多项式四次多项式（（1））检验检验φ(x,y) 是否满足双调和方程是否满足双调和方程（（2））代代入：入：得得可见，对于函数：可见，对于函数：其待定系数须满足下述关系才能作为应力函数：其待定系数须满足下述关系才能作为应力函数：总结：总结：（多项式应力函数（多项式应力函数 的性质）的性质） （（1）） 多项式次数多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足时，则系数可以任意选取，总可满足 多项式次数多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足时，则系数须满足一定条件，才能满足 。

多项式次数多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多越高，则系数间需满足的条件越多2）） 一次多项式一次多项式，对应于，对应于无体力、无面力、无应力无体力、无面力、无应力状态；在任意应力函数状态；在任意应力函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响二次多项式二次多项式，对应，对应均匀应力均匀应力状态，即全部应力为常量；状态，即全部应力为常量；三次多项式三次多项式，，对应于对应于线性分布应力线性分布应力3）） 可得：可得：则边界受力：则边界受力：可见：可见：—— 对应于梁的对应于梁的纯弯曲问题纯弯曲问题应力分布应力分布常数常数 a 与弯矩与弯矩 M 的关系：的关系：(1)由梁端部的边界条件：由梁端部的边界条件：(2)可见：可见：此结果与材力中结果相同，此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的§3-2 §3-2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲xy1lMM其中：其中：说明：说明：(1) 仅当梁端的法向面力仅当梁端的法向面力线性分布线性分布，，且在端面形心处为零，而切向面且在端面形心处为零，而切向面力亦为零时，结果才是力亦为零时，结果才是精确解精确解。

2) 若按其它形式分布，如：若按其它形式分布，如：则按圣维南原理，此结果则按圣维南原理，此结果仅在两端误差较大，而离仅在两端误差较大，而离端部较远处误差较小为端部较远处误差较小为“圣维南意义下的精确解圣维南意义下的精确解”xy1lMM按按应力求解平面问题，其基本未知量为：应力求解平面问题，其基本未知量为： ，下一步如何，下一步如何由由 求出形变分量、位移分量？求出形变分量、位移分量？问题：问题：位移分量的求解位移分量的求解：：（（1）） 将已求得的应力分量将已求得的应力分量（（2））（（3））代入代入物理方程物理方程，求得应变分量，求得应变分量将应变分量将应变分量代入代入几何方程几何方程，并积分求得位移分量的，并积分求得位移分量的表达式；表达式；由由位移边界条件位移边界条件确定表达式中的常数，得最终结果确定表达式中的常数，得最终结果的表达式；的表达式；§3-3 §3-3 位移分量的求出位移分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由以纯弯曲梁为例，说明如何由 求出形变分量、位移分量？求出形变分量、位移分量？xyl1hMM 1. 形变分量与位移分量形变分量与位移分量由前节由前节可知，其应力分量为：可知，其应力分量为：平面应力情况下的物理方程：平面应力情况下的物理方程：（（1）形变分量）形变分量(a)将式（将式（a））代入得：代入得：(b)（（2）位移分量）位移分量将式（将式（b））代入几何方程得：代入几何方程得：(c)（（2）位移分量）位移分量(c)将式（将式（c））前两式积分，得：前两式积分，得：(d)将式将式 (d) 代入代入 (c) 中第三式，得：中第三式，得：式中：式中：为待定函数。

为待定函数整理得：整理得：（仅为（仅为 x 的函数）的函数） （仅为（仅为 y 的函数）的函数）要使上式成立，须有要使上式成立，须有(e)式中：式中：ω为常数 积分上式，得积分上式，得将上式代入式（将上式代入式（d），），得得(f)（（1））(f)讨论：讨论：式式中：中：u0、v0、ω 由位移边界条件确定由位移边界条件确定当当 x = x0 =常数常数（（2）位移分量）位移分量xyl1hMM——即铅垂方向微段即铅垂方向微段 dy 的转角说明：说明： 同一截面上的各铅垂同一截面上的各铅垂线段转角相同线段转角相同横截面保持平面横截面保持平面—— 材力中纯弯曲材力中纯弯曲“平面假设平面假设”成立成立（（2））将将 v 对对 x 求二阶导数得：求二阶导数得：—— 材料力学中的材料力学中的挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 2. 位移边界条件的利用位移边界条件的利用（（1）两端简支）两端简支(f)其边界条件：其边界条件：将其代入将其代入(f)式，有式，有将其代回将其代回(f)式，有式，有(3-3)梁的挠曲线方程：梁的挠曲线方程：—— 与材力中结果相同与材力中结果相同（（2）悬臂梁）悬臂梁(f)边界条件边界条件h/2h/2由式（由式（f））可知，此边界条件无法满足。

可知，此边界条件无法满足边界条件改写为：边界条件改写为：（中点不动）（中点不动）（轴线在端部不转动）（轴线在端部不转动）代入式（代入式（f），），有有可求得：可求得：(3-4)h/2h/2挠挠曲线方程：曲线方程：与与材料力学中结果相同材料力学中结果相同说明：说明： （（1）） 求求位移的过程：位移的过程：（（a））将应力分量代入物理方程：将应力分量代入物理方程：（（b））再将应变分量代入几何方程积分求位移；再将应变分量代入几何方程积分求位移；（（c））最后利用位移边界条件，确定积分常数最后利用位移边界条件，确定积分常数（（2）） 若为若为平面应变问题，则将材料常数平面应变问题，则将材料常数E、、μ作作相应替换相应替换3）） 若若取固定端边界条件为：取固定端边界条件为：h/2h/2（中点不动）（中点不动）（中点处竖向线段转角为零）（中点处竖向线段转角为零）得到：得到：求得：求得：此结果与前面情形相同此结果与前面情形相同为什么？为什么？））半逆解法思路：半逆解法思路：（（1））根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量假设部分应力分量 的某种函数形式的某种函数形式 ；；（（2））根据根据 与应力函数与应力函数φ(x,y)的关系及的关系及 ，，求出求出φ(x,y) 的的形式；形式；（（3））最后利用式（最后利用式（2-26）计算出）计算出 并让其满足并让其满足边界条件边界条件和和位移单值条件位移单值条件（多连体问题）。

多连体问题）2-27)(2-26)§3-4 §3-4 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷xyllqlql1yzh/2h/2q1. 应力函数的确定应力函数的确定( (半逆解法半逆解法) )(1) 分析：分析：—— 主要由弯矩引起；主要由弯矩引起；—— 主要由剪力引起；主要由剪力引起；——由由 q 引起（挤压应力）引起（挤压应力）又又∵∵ q =常数，图示坐标系和几何对称，常数，图示坐标系和几何对称，∴∴　　不随　　不随 x 变化可设：可设：(2)由由应力分量表达式确定应力函数应力分量表达式确定应力函数 的形式：的形式：积分得：积分得：(a)(b)—— 待定函数待定函数xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)——待定函数待定函数(3)由由 确定确定代入相容方程：代入相容方程：xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特点：方程的特点：关于关于 x 的二次方程，且要求的二次方程，且要求 －－l≤ x ≤ l 内方程均成立内方程均成立由由“高等代数高等代数”理论，须有理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零即：的一、二次的系数、自由项同时为零。

即：对前两个方程积分：对前两个方程积分：(c)此处略去了此处略去了f1(y)中的常数项中的常数项由第三个方程得：由第三个方程得：积分得：积分得：(d)(c)(d)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)将将(c) (d) 代入代入 (b) ，，有有(e)式中含有式中含有9个待定常数个待定常数(e)2. 应力分量的确定应力分量的确定(f)(g)(h)3. 对称条件与边界条件的应用对称条件与边界条件的应用(f)(g)(h)3. 对称条件与边界条件的应用对称条件与边界条件的应用（（1）对称条件的应用：）对称条件的应用：xyllqlql1yzh/2h/2q由由 q 对称、几何对称：对称、几何对称：—— x 的偶函数的偶函数—— x 的奇函数的奇函数由此得：由此得：要使上式对任意的要使上式对任意的 y 成立，须有：成立，须有：xyllqlql1yzh/2h/2q（（2）边界条件的应用：）边界条件的应用：(a) 上下边界（主要边界）：上下边界（主要边界）：由此解得：由此解得：代入应力公式代入应力公式xyllqlql1yzh/2h/2q( i )( j )( k )(b) 左右边界（次要边界）：左右边界（次要边界）：（由于对称，只考虑右边界即可。

由于对称，只考虑右边界即可—— 需借助于圣维南原理需借助于圣维南原理静力等效边界条件：静力等效边界条件：自动满足自动满足 i )( j )( k )xyllqlql1yzh/2h/2q(p)截面上的应力分布：截面上的应力分布：三次抛物线三次抛物线4. 与材料力学结果比较与材料力学结果比较xyllqlql1yzh/2h/2q(p)4. 与材料力学结果比较与材料力学结果比较材力中几个参数材力中几个参数：：截面宽度：截面宽度：b=1 ,截面惯性矩：截面惯性矩：静矩：静矩：弯矩：弯矩：剪力：剪力：将其代入式将其代入式 ( p ) ，，有有（（3-6））xyllqlql1yzh/2h/2q（（3-6））比较得：比较得：（（1））第一项与材力结果相同，为主要项第一项与材力结果相同，为主要项第二项为修正项当第二项为修正项当 h / l<<1 时，时，该项误差很小，可忽略；而当该项误差很小，可忽略；而当 h / l 较大时，必须考虑该修正项较大时，必须考虑该修正项2））为梁各层纤维间的挤压应力，材力中为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑3））与材力结果相同与材力结果相同注意：注意：按按式（式（3-6），仅当梁的），仅当梁的左右边界存在法向面力：左右边界存在法向面力：及抛物线分布的切向面力时，及抛物线分布的切向面力时，才为精确解，否则为才为精确解，否则为“圣维圣维南意义下的精确解南意义下的精确解”。

解题步骤小结：解题步骤小结：（（1））（（2））（（3））根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计对称性等），估计某个应力分量某个应力分量（（ ）的变化形式的变化形式由由 与应力函数与应力函数 的关系式（的关系式（2-26），求得应力），求得应力函数函数 的具体形式（含有待定函数）的具体形式（含有待定函数）4））（（5））将含有待定函数的应力函数将含有待定函数的应力函数 代入相容方程代入相容方程 确定确定 中的待定函数形式（含有待定常数）中的待定函数形式（含有待定常数） 由由 与应力函数与应力函数 的关系式（的关系式（2-26），求得应力），求得应力分量分量 。

由由边界条件确定边界条件确定 中的待定常数中的待定常数用用半逆解法半逆解法求解弹性力学平面问题的求解弹性力学平面问题的基本步骤基本步骤：：补充：补充：应力函数确定的应力函数确定的“材料力学方法材料力学方法”要要 点：点： 利用材料力学中利用材料力学中截面上应力截面上应力与与梁内力梁内力的关系，假设某的关系，假设某个应力分量的函数形式个应力分量的函数形式适用性：适用性：直直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等集中力偶等应力函数常可表示为：应力函数常可表示为： 设法由边界面力先确定设法由边界面力先确定 其中之一，然后将其代入其中之一，然后将其代入 确定另外一个函数确定另外一个函数材力中，截面上材力中，截面上应力分量应力分量与与梁内力梁内力的关系为：的关系为：式中：式中：M(x) —— 弯矩方程；弯矩方程；Q(x) —— 剪力方程剪力方程当有当有横向分布力横向分布力q(x)作用时，纵向纤维间存在挤压应力作用时，纵向纤维间存在挤压应力 ，，同时，横向分布力同时，横向分布力q(x)的挤压作用时，对轴向应力的挤压作用时，对轴向应力 也产生影响。

也产生影响应力分量与梁内力的关系可表示为：应力分量与梁内力的关系可表示为：考虑挤压应力影响导致考虑挤压应力影响导致然后由：然后由：确定应力函数确定应力函数 的具体形式的具体形式例：例：悬臂梁，厚度为单位悬臂梁，厚度为单位1，，τ=常数求：常数求：应力函数应力函数 及梁内应力及梁内应力xyObl解：解：(1) 应力函数的确定应力函数的确定xQM取任意截面，其内力如图：取任意截面，其内力如图：取取 作为分析对象，可假设：作为分析对象，可假设：（（a））—— f(y)为待定函数为待定函数由由 与应力函数与应力函数 的关系，有：的关系，有：（（b））对对 x 积分一次，有：积分一次，有：对对 y 再积分一次，有：再积分一次，有：其中：其中：（（c））xyOblxQM（（c））由由 确定待定函数：确定待定函数：（（d））要使上式对任意的要使上式对任意的x，，y成立，有成立，有（（e））（（f））由由式（式（ e））求得求得（（g））由由式（式（ f）得）得（（h））（（i））积分式（积分式（ h））和（和（i）得）得（（j））（（k））xyOblxQM( l )包含包含9个待定常数，由边界条件确定。

个待定常数，由边界条件确定2) 应力分量的确应力分量的确定定( m )(3) 利用边界条件确定常数利用边界条件确定常数xyOblxQM(3) 利用边界条件确定常数利用边界条件确定常数( o )代入可确定常数为：代入可确定常数为：代入式（代入式（m））得得xyOblxQM注：注：也可也可利用利用 M（（x））= 0，，考虑考虑进行分析此时有：进行分析此时有：为待定函数，由相容方程确定为待定函数，由相容方程确定llqlql1yzh/2h/2q剪力：剪力：可假设剪应力：可假设剪应力：利用利用下列问题的应力分量下列问题的应力分量 形式：形式：例：例：图示矩形截面简支梁图示矩形截面简支梁，，长为长为 l ，，高为高为 h ，，受有受有三角形分布载荷作用，体力不计试求其应力三角形分布载荷作用，体力不计试求其应力分布解：解：（（1）应力函数形式的确定）应力函数形式的确定梁截面上弯矩和剪力为：梁截面上弯矩和剪力为：由由材料力学方法可确定应力分量的材料力学方法可确定应力分量的分离变量分离变量形式：形式： 取应力分量取应力分量 分析，分析， 取应力分量取应力分量 与应力函数的关系：与应力函数的关系：对此式对此式积分：积分：对此式对此式积分：积分：——为待定函数为待定函数（（2）由相容方程确定待定函数）由相容方程确定待定函数代入代入要使上述方程对任意的要使上述方程对任意的 x 成立，有成立，有(a)(b)(c)积分式（积分式（a），），得得将上式代入（将上式代入（b））积分积分，，得得积分式（积分式（c），），得得(d)(e)(f)将求得的将求得的代入应力函数，有代入应力函数，有（（3）计算应力分量）计算应力分量(g)(h)（（4）利用边界条件确定待定常数）利用边界条件确定待定常数上边界上边界：：(i)(j)(k)下边界下边界：：(l)(m)(n)左边界左边界：：右边界右边界：：(o)(p)(q)(r)(s)(t)联立求解式（联立求解式（i））~（（t））,可得具体的可得具体的应力分量应力分量。

注：注：位移边界条件转化为应力边界条件位移边界条件转化为应力边界条件例：例：图示矩形板，长为图示矩形板，长为 l ，，高为高为 h ，，体力不计，试体力不计，试证以下函数是应力函数，并指出能解决什么问证以下函数是应力函数，并指出能解决什么问题式中k为常数xyOlh解：解：(1) 应力分量：应力分量：边界条件：边界条件：显然，上下边界无面力作用显然，上下边界无面力作用上下边界上下边界(2)xyOlh左边界左边界k右边界右边界kkl结论：结论：可解决悬臂梁左端可解决悬臂梁左端受集中力问题受集中力问题§3-5 §3-5 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力要点要点——半逆解法半逆解法（因次或量纲分析法）（因次或量纲分析法）xyO问题的提出：问题的提出：楔形体，下部可无限延伸楔形体，下部可无限延伸侧面受水压作用：侧面受水压作用：（水的容重）；（水的容重）；自重作用：自重作用：（楔形体的容重）；（楔形体的容重）；求：楔形体应力分布规律求：楔形体应力分布规律 1. 应力函数及应力分量应力函数及应力分量(1) 分析分析：：(a) ∵∵ 的量纲为：的量纲为： 的量纲为：的量纲为： ∴∴ 的形式应为：的形式应为：的线性组合。

的线性组合b) 由由 可推得：可推得：应应为为 x、、y 的纯三次函数的纯三次函数显然，上述应力函数满足相容方程显然，上述应力函数满足相容方程xyO(2) 应力分量应力分量考虑到：考虑到：fx = 0，，fy = （（常体力）常体力）(a)2. 边界条件的利用边界条件的利用(1) x=0 （（应力边界）：应力边界）：代入式（代入式（a），），则应力分量为：则应力分量为：xyON(b) (2) （（应力边界）：应力边界）： 其中：其中：将将 (b) 代入，有代入，有代入，可求得：代入，可求得：xyO(b)代入式（代入式（b），），有：有：(3-7)—— 李维（李维（Levy））解答解答沿水平方向的应力分布沿水平方向的应力分布与材力结果比较：与材力结果比较：—— 沿水平方向不变，在材力中无法求得沿水平方向不变，在材力中无法求得—— 沿水平方向线性分布，与材力中沿水平方向线性分布，与材力中偏心受压公式偏心受压公式算得结果相同算得结果相同—— 沿水平方向沿水平方向线性分布线性分布，材力中为，材力中为抛物线分布抛物线分布。

(3-7)—— 李维（李维（Levy））解答解答xyO沿水平方向的应力分布沿水平方向的应力分布结果的适用性：结果的适用性：（（1））当坝的横截面变化时，不再当坝的横截面变化时，不再为为平面应变问题平面应变问题，其结果误，其结果误差较大2）） 假定坝下端无限延伸，可自由假定坝下端无限延伸，可自由变形而实际变形而实际坝高有限坝高有限，底部，底部与基础相连，有与基础相连，有地基约束地基约束，故，故底部处结果误差较大底部处结果误差较大3）） 实际坝顶实际坝顶非尖顶非尖顶，坝顶处有其它载荷，，坝顶处有其它载荷，故故坝顶处结果误差较大坝顶处结果误差较大—— 三角形重力坝的精确分析，常借助于三角形重力坝的精确分析，常借助于有限元数值方法有限元数值方法求解工程应用：工程应用：—— 求使坝体内不出现拉应力的角度求使坝体内不出现拉应力的角度 课堂练习：课堂练习：1. 试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数φ(x，y) 3. z方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力匀压力 p 作用，底部放置在作用，底部放置在绝对刚性绝对刚性与与光滑光滑的基础上，的基础上，如图所示。

不计自重，试确定其应力和位移分量如图所示不计自重，试确定其应力和位移分量2. 试问试问 f(x)、、f1(x) 取何种形式，以下函数能作为应力函数取何种形式，以下函数能作为应力函数φ(x，y) 1. 试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数φ(x，y) 1)(2)(3)解：解：(1)将其代入相容方程，有将其代入相容方程，有满足相容方程，满足相容方程，φ1可作为应力函数可作为应力函数2)将其代入相容方程，有将其代入相容方程，有不满足相容方程，不满足相容方程，φ2不可作为应力函数不可作为应力函数1. 试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数φ(x，y) 1)(2)(3)解：解：(3)将其代入相容方程，有将其代入相容方程，有当当D = 0时，满足相容方程，满足相容方程，φ3可作为应力函数；可作为应力函数；当当D≠0时，不满足相容方程，不满足相容方程，φ3不可作为应力函数不可作为应力函数2. 试问试问 f(x)、、f1(x) 取何种形式，以下函数能作为应力函数取何种形式，以下函数能作为应力函数φ(x，y) 。

解：解：将应力函数代入相容方程，有将应力函数代入相容方程，有上述方程中，要使对任意的上述方程中，要使对任意的 x、、y 成立，有成立，有积分得积分得3. z方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力压力 p 作用，底部放置在作用，底部放置在绝对刚性绝对刚性与与光滑光滑的基础上，如图的基础上，如图所示不计自重，且所示不计自重，且 h >> b试确定其试确定其应力应力和和位移分量位移分量解：解：分析截面分析截面内力：内力：积分得：积分得：代入相容方程，有：代入相容方程，有：要使对任意的要使对任意的 x、、y 成立，有成立，有积分，得：积分，得：1 确定应力函数确定应力函数（1）2 计算应力分量计算应力分量（1）（2）3 由边界条件确定常数由边界条件确定常数左右边界：左右边界：（3）上边界：上边界：（3）（4）（5）（6）（7）代入式（代入式（1）和（）和（4），有：），有：（8）（9）下边界：下边界：—— 满足4 求位移求位移由物理方程，得：由物理方程，得：积分前积分前2式，得：式，得：代入式（代入式（10）中第）中第3式，得：式，得：ω为常数。

为常数对上式积分，得：对上式积分，得：代入式（代入式（11），得：），得：常数常数ω、、u0、v0由位移边界条由位移边界条件确定10）（11）（12）位移边界条件：位移边界条件：求得：求得：代入位移表达式，有：代入位移表达式，有：常数常数ω、、u0、v0由位移边界条件确定由位移边界条件确定12）《《弹性力学平面问题的基本理论弹性力学平面问题的基本理论》》小结小结一、两类平面问题及其特征一、两类平面问题及其特征名名 称称平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题未知量未知量已知量已知量未知量未知量已知量已知量位位 移移应应 变变应应 力力外外 力力几何形状几何形状体力、面力的作用面都平行于体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不变化平面，且沿板厚不变化体力、面力的作用面都平行于体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿平面，且沿 z 向不变化向不变化z 方向的尺寸远方向的尺寸远小小于板面内的尺于板面内的尺寸（等厚度薄平板）寸（等厚度薄平板）z 方向的尺寸远方向的尺寸远大大于于xoy平面平面内的尺寸（等截面长柱体）内的尺寸（等截面长柱体）二、平面问题的基本方程二、平面问题的基本方程（（1）平衡微分方程）平衡微分方程（2-2）（（假定：小变形、连续性）假定：小变形、连续性）（（2）几何方程）几何方程（（2-9））（（假定：小变形、连续性）假定：小变形、连续性）（（3）物理方程）物理方程(2-15)（平面应力）（平面应力）(2-16)（平面应变）（平面应变）（（假定：连续性、线弹性、均匀性、各向同性）假定：连续性、线弹性、均匀性、各向同性）三、平面问题的基本求解方法及基本方程三、平面问题的基本求解方法及基本方程思路：思路：（（1）按位移求解）按位移求解以以位移位移u、、v为基本未知量，在所有基本方程中消去其余为基本未知量，在所有基本方程中消去其余6个量，个量，得到以位移表示的基本方程，从中求出得到以位移表示的基本方程，从中求出 u、、v，，再由几何方程、再由几何方程、物理方程求出其余未知量。

物理方程求出其余未知量基本方程：基本方程：（2-20）用位移表示的用位移表示的平衡微分方程平衡微分方程（2-21）（2-17）用位移表示的用位移表示的应力边界条件应力边界条件位移边界条件位移边界条件（（2）按应力求解）按应力求解思路：思路： 以以应力应力 为基本未知量，为基本未知量， 得到只有得到只有 的的3个个基本方程，从中求出基本方程，从中求出 ，，再由物理方程、几何方程求出再由物理方程、几何方程求出其余未知量其余未知量基本方程：基本方程：（2-2）平衡微分方程平衡微分方程（2-23）相容方程相容方程基本控制方程基本控制方程（平面应力情形）（平面应力情形）（（2-17））（（2-18））位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件边值边值条件条件（（3）两）两类类平面问题物理方程的互相转换：平面问题物理方程的互相转换：平面平面应力应力问题问题平面平面应变应变问题问题平面平面应变应变问题问题平面平面应力应力问题问题（（4）边界条件）边界条件（（2-17））（（2-18））—— 位移边界条件位移边界条件—— 应力边界条件应力边界条件（（5）按应力求解的）按应力求解的应力函数法应力函数法基本方程：基本方程：(2-27)(2-26)（（1）对多连体问题，还须满足位移单值条件。

对多连体问题，还须满足位移单值条件2-17））（（2-18））位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件应力函数表示应力函数表示的相容方程的相容方程应力函数表示应力函数表示的应力分量的应力分量（对（对常常体力情形）体力情形）说明：说明：说明：说明：（（2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法应力函数确定方法：逆解法、半逆解法四、关于平面问题的变形协调方程（相容方程）四、关于平面问题的变形协调方程（相容方程）（2-22）（2-23）（2-24）(平面应力情形平面应力情形)(平面应变情形平面应变情形)（2-25）(2-27)形变表示的形变表示的相容方程相容方程应力表示的应力表示的相容方程相容方程应力函数表示应力函数表示的相容方程的相容方程(基本形式基本形式)(常体力情形常体力情形)适用情形适用情形：： 小变形、任意小变形、任意弹塑性材料弹塑性材料常体力情形常体力情形)五、边界条件与圣维南原理五、边界条件与圣维南原理位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件圣维南圣维南原理的要点：原理的要点：（（1）小部分边界（次要边界）；）小部分边界（次要边界）；（（2）静力等效；）静力等效；（（3）结果影响范围：）结果影响范围：近处有影响，远处影响不大。

近处有影响，远处影响不大圣维南圣维南原理的应用：原理的应用：（（1）面力分布复杂的边界（）面力分布复杂的边界（次要边界次要边界））如：集中力，集中力偶等；如：集中力，集中力偶等；（（2）位移边界（）位移边界（次要边界次要边界）；）；六、其它六、其它（（1）常体力情况下简化）常体力情况下简化将将体力体力转化为等效的转化为等效的面力面力：：（（2）任意斜面的应力、主应力、主方向、最大最小剪应力计算任意斜面的应力、主应力、主方向、最大最小剪应力计算3）任意方向的正应变计算任意方向的正应变计算（（1））（（2））1. 试按材料力学中确定应力的方法，写出图示两梁所有应力分量形式试按材料力学中确定应力的方法，写出图示两梁所有应力分量形式含有待定函数）（含有待定函数）课堂练习：课堂练习：2 . 试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，在试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力靠杆边的外表面处，横截面上的正应力 与剪与剪应力应力 间的关系设杆的横截面形状为狭长矩形，间的关系设杆的横截面形状为狭长矩形，板厚为一个单位。

板厚为一个单位1.图示矩形板长为图示矩形板长为 l ，，高为高为 h ，，体力不计，试证以下函数可作为应力函数，体力不计，试证以下函数可作为应力函数，并指出能解决什么问题式中并指出能解决什么问题式中q为为常数xyOlh作作 业业2. 试问试问 f(x)、、f1(x) 取何种形式，以下函数能作为应力函数取何种形式，以下函数能作为应力函数φ(x，y) 习题：习题：3 -1，，3 –2，，3 –3，，3 -4例：例：试写出图示三角形悬臂梁的边界条件试写出图示三角形悬臂梁的边界条件上边界：上边界：下边界：下边界：N代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有右边界：右边界：由圣维南原理，有由圣维南原理，有。