中学数学对数学分析教学的指导作用.docx
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中学数学对数学分析教学的指导作用关键词：高中数学数学分析衔接方式才法学法1引言2中学数学与数学分析的关系2.1中学数学中学时期的数学主要是一种静态问题的研究其内容以函数为主线，从两个方向具体展开其一，以函数为研究主体，首先号出了函数概念，初等函数及其性质；继而介绍了两种特殊的函数：具有周期性的函数一一三角函数，以正整数集或其有限子集为定义域的函数一一数列从正面出发让学生对函数的概念及其性质有一个多方面、多角度的深刻理解其二，以函数为研究工具，把其他知识（方程、不等式、线性规划等）纳入其中，从侧面出发让学生体会到函数的重要性，学会应用数学解决生活实际問题2.2数学分析数学分析表现在横向、纵向交错；内在层次、外在层次相互重叠，形成层层层叠叠的多层次型的知识结构从横的方向看，是以极限为工具研究函数的连续性、可微性、可积性，构成号论、微分学、积分学三大知识系统从纵的方向看，是以一元函数的研究结果为基础，研究多元函数的性态，从而得到相应的多元函数的微分学一一积分学纵的方向还包括对级数理论的研究，它是以极限、微分、积分的知识为基础的从结构来看，数学分析是高中数学研究到一定阶段的必然产物数学分析的一些基本概念都是在研究初等数学有关问题的基础之上提出的。
比如导数，是从代数运算直线斜率的基础上，号入极限的思想，发展成为研究曲线某点切线斜率的工具；再如积分，是在代数运算直线或特殊曲线所围成的平面图形面积的基础上，号入极限的思想，发展成为求一般曲线所围成面积的方法；无穷级数求和同样也是在用代数运算求有限项之和的基础上发展起来的2.4小结从上述分析，我们提出了“以题应知”的想法受益于高中“题海战术”的训练，初入大学的学生对高中的典型例题还是较为熟悉的，那么我们是否可以用高中知识为题干的题目出发，通过解题的方式，带领学生完成从高中思维至大学思维的转变，号出数学分析中的本源知识的应用3高中数学对数学分析的作用3.1极限概念的应用例1设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是多少？分析构造四面体ABCD，AB=AC=BD=CD=1，BC=，AD=a.证法一：此题可看做绕BC旋转时，求AD的取值范围问题，且旋转是连续的，可以采用极限法研究其极限位置的取值，所以本题的处理方法如下：已知当AD，a0；当AM（M为正方形BMCD的顶点，即△ABC与△BCD共面）时，a，求得0证法二：由这个旋转运动特征可以发现这是一个函数问题，取底边BC的中点E，连接AE和DE，得，则，AE=DE=，设∠AED=θ，则有余弦定理得AD=f（θ）=（0，又因为单调递增，可求出03.2函数方面应用3.2.1连续性连续函数的介值性定理是函数的连续性这部分内容的一个核心定理。
对其做如下号入设计：例2解不等式.分析这是一个典型的解不等式问题，高中的基本思路为平方展开后解二次不等式解法一：两边平方化简后可得：即：即：从而原不等式的解集为：上述解法较为冗杂，我们至此给学生号进新的解法二，介值性定理分析将上述不等式转化为方程，然后构造一个函数，利用介值性定理确定解的区间即可解法二原式的定义域为[−1，3]，令那么f（x）=0的两个解为：由此可以将定义域分为三个区间：取0∈I1，1∈I2，2∈I3，可得：f（0）>0，f（1）<0，f（2）<0从而原不等式的解集为：3.2.2可微性拉格朗日微分中值定理是函数的可微性这一块知识中的一个重难点由于定理是较为抽象的，很多学生学完这部分的内容仍然无法理解其本质，最后将这个难懂而又重要的定理以记英文单词的方式记忆下来，看似掌握，实贝难以运用于是，我们设计以如下例题号入：例3已知X>0，求证证法一：记对三个函数分别求导，可以得到：观察三个导函数，我们不难发现：当x>0时由（1）、（2）两式可得；证毕上述解法完全是基于高中的知识作为刚从高中升入大学的学生来说，是熟悉的至此，号出另一种与拉格朗日微分中值定理相关的解法证法二：记由f（x）在[0，x]上满足拉格朗日中值定理，故∃b∈（0，x），使得：即由0
通过创设这种熟悉的问题情景，让学生理解所学知识的本质，更好的去应用3.2.3图像例5画出函数的图象，其中x∈R分析在高中时，对于函数图像，我们可以通过L：，以及f！（x）来确定函数的大致位置与增减性，从而知晓函数的大概图像，對于更精确图像，只能通过选点确定函数值来一一确定由法一：1.确定定义域：（−∞，0）（0，+∞）.2.单调性：对f（x）求导，得：令（1）当x∈（−∞，−1）（1，+∞）时，，即f（x）为增函数2）当x∈[−1，0）（0，1]时，，即f（x）为减函数3.值域（−∞，−2][2，+∞）.4.奇偶性故为奇函数5.描点至此，我们可以确定出f（x）的大致图像：不难发现，在高中阶段画一个函数图象较为复杂，并且精度也不高至此，我们引入了函数图像凹凸性、驻点、拐点、极值条件等知识画法二：所以，f（x）在x1处取极小值，此时f（1）=2；在x2处取极大值，f（−1）=−2；且f（x）在（−∞，−1）和（1，+∞）上增，在（−1，0）和（0，1）上减2.因为恒不为0，故没有拐点，从而f（x）在（0，+∞）为凹函数，在（−∞，0）上为凸函数基于以上特征，我们可以得到一个较精确的函数图象。
3.3数列方面的应用例6设函数，若当时，，求a的取值范围分析观察发现，−1−x−这是一个多项式函数，对于一个多项式函数，我们可以利用其号出数学分析中级数部分的知识解法一：，当且仅当x=0时等号成立故，从而当，即时，，于是当由，从而当时，，故当时，，而，于是时，，综合得a的取值范围为对于这道题我们同样可以从级数的方面出发：在处的泰勒级数是，在题目中我们运用级数方面的知识，带入原函数中，a的取值范围为时，这是一个严格增函数，满足题目中的条件；当时，在0的右领域内，导函数中的，都是，所以也就是当时，在0的右领域内，f（x）<0在这道题目中，我们通过对泰勒级数的分析，初步估计出了满足题目条件的a的范围，最后根据数学分析中知识，证明了我们所求a的范围的正确性4结吾如何处理好学生从高中数学到大学数学的过度是每一位数学才育研究者该思考的问题，这一问题的研究不仅能构建学生连贯的知识结构，还能深化数学分析的才学质量可以说这是数学才育创新改革的核心内容与提高大学数学课堂质量的关键，还需进一步的探索。
