浅谈stolz定理.pdf

浅谈Stolz定理 (E\F) 2016 年 10 月 1 日 摘要 这是关于Stolz定理的一点整理. 定理1 (0 0型的Stolz定理). 设{an}和{bn}都是无穷小量.其中{an}还是严格单 调减少的数列,又存在（其中l为有限或±∞) lim n→∞ bn+1− bn an+1− an = l 则有 lim n→∞ bn an = l 证:只对有限的l作证明.根据条件对ε 0存在N,使得当n N时成立 | bn+1− bn an+1− an − l | a(n + 1),这样就有 (l − ε)(an− an+1) N时成立 | bn+1− bn an+1− an − l | ε. 取定,并将上述不等式的n换成N,N+1,.,直到n-1,,然后将所有不等式相加， 就得到 (l − ε)(an− aN) bn− bN (l + ε)(an− aN) 于是 | bn− bN an− aN − l | ε. 于是令n → ∞,就得到 lim n→∞ bn an = l Stolz定理在解决极限问题时是比较重要的地位的,下面来看一些例子. 1.I = lim x→∞ 1! + 2! + . + n! n! 解:此题有多种解法,但用Stolz定理最容易，计算如下: I = lim x→∞ 1! + 2! + . + n! n! = lim x→∞ (n + 1)! n! = lim x→∞ n + 1 n = 1. 2.I = lim x→∞ 1 + 1 2 + . + 1 n lnn 3 解:用Stolz定理有 I = lim x→∞ 1 (n+1) ln(n + 1) − lnn = lim x→∞ 1 n+1 ln(1 + 1 n) = 1. 其实,我们可以发现Stolz定理之于数列极限就好比洛必达法则之于函数极限. 。