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第三章第三章 内积空间，正规矩阵与内积空间，正规矩阵与H-阵阵定义：定义： 设设 是实数域是实数域 上的上的 维线性空间，维线性空间，对于对于 中的恣意两个向量中的恣意两个向量 按照某一确按照某一确定法那么对应着一个实数，这个实数称为定法那么对应着一个实数，这个实数称为 与与 的内积，记为的内积，记为 ，并且要求内积满，并且要求内积满足以下运算条件：足以下运算条件：这里这里 是是 中恣意向量，中恣意向量， 为恣意实数为恣意实数，只需当，只需当 时时 ，我们称带有，我们称带有这样内积的这样内积的 维线性空间维线性空间 为欧氏空间为欧氏空间例例 1 在在 中，对于中，对于规定规定容易验证容易验证 是是 上的一个内积，从上的一个内积，从而而 成为一个欧氏空间假设规定成为一个欧氏空间。

假设规定容易验证容易验证 也是也是 上的一个内积上的一个内积，这样，这样 又成为另外一个欧氏空间又成为另外一个欧氏空间例例 2 在在 维线性空间维线性空间 中，规定中，规定容易验证这是容易验证这是 上的一个内积，这样上的一个内积，这样 对于这个内积成为一个欧氏空间对于这个内积成为一个欧氏空间例例 3 性空间性空间 中，规定中，规定容易验证容易验证 是是 上的一个内积，上的一个内积，这样这样 对于这个内积成为一个欧氏空间对于这个内积成为一个欧氏空间定义：定义： 设设 是复数域是复数域 上的上的 维线性空间，维线性空间，对于对于 中的恣意两个向量中的恣意两个向量 按照某一确定按照某一确定法那么对应着一个复数，这个复数称为法那么对应着一个复数，这个复数称为 与与 的内积，记为的内积，记为 ，并且要求内积满足以，并且要求内积满足以下运算条件：下运算条件：这里这里 是是 中恣意向量，中恣意向量， 为恣意复数为恣意复数，只需当，只需当 时时 ，我们称带有，我们称带有这样内积的这样内积的 维线性空间维线性空间 为酉空间。

欧氏为酉空间欧氏空间与酉空间通称为内积空间空间与酉空间通称为内积空间例例 1 设设 是是 维复向量空间，任取维复向量空间，任取规定规定容易验证容易验证 是是 上的一个内积，从上的一个内积，从而而 成为一个酉空间成为一个酉空间例例 2 设设 表示闭区间表示闭区间 上的一切上的一切延续复值函数组成的线性空间，定义延续复值函数组成的线性空间，定义容易验证容易验证 是是 上的一个内上的一个内积，于是积，于是 便成为一个酉空间便成为一个酉空间例例 3 在在 维线性空间维线性空间 中，规定中，规定其中其中 表示表示 中一切元素取共轭复数后再中一切元素取共轭复数后再转置，容易验证转置，容易验证 是是 上的一上的一个内积，从而个内积，从而 连同这个内积一同成为连同这个内积一同成为酉空间。

酉空间内积空间的根本性质：内积空间的根本性质：欧氏空间的性质：欧氏空间的性质：酉空间的性质：酉空间的性质：定义：设定义：设 是是 维酉空间，维酉空间， 为其一组为其一组基底，对于基底，对于 中的恣意两个向量中的恣意两个向量那么那么 与与 的内积的内积令令称称 为基底为基底 的度量矩阵，而且的度量矩阵，而且定义：设定义：设 ，用，用 表示以表示以 的元素的元素的共轭复数为元素组成的矩阵，记的共轭复数为元素组成的矩阵，记那么称那么称 为为 的复共轭转置矩阵不难验的复共轭转置矩阵不难验证复共轭转置矩阵满足以下性质：证复共轭转置矩阵满足以下性质：定义：设定义：设 ,假设假设 ，那么称，那么称 为为Hermite矩阵；假设矩阵；假设 ，那么，那么称称 为反为反Hermite矩阵例例 判别以下矩阵是判别以下矩阵是H-阵还是反阵还是反H-阵。

阵〔〔5〕〕 实对称矩阵实对称矩阵〔〔6〕〕 反实对称矩阵反实对称矩阵〔〔7〕〕 欧氏空间的度量矩阵欧氏空间的度量矩阵〔〔8〕〕 酉空间的度量矩阵酉空间的度量矩阵内积空间的度量内积空间的度量定义：设定义：设 为酉〔欧氏〕空间，向量为酉〔欧氏〕空间，向量 的长度定义为非负实数的长度定义为非负实数例例 在在 中求以下向量的长度中求以下向量的长度解：解： 根据上面的公式可知根据上面的公式可知普通地，我们有普通地，我们有: 对于对于 中的恣意向量中的恣意向量其长度为其长度为这里这里 表示复数表示复数 的模定理：向量长度具有如下性质定理：向量长度具有如下性质 当且仅当当且仅当 时，时， 例例 1：： 性空间性空间 中，证明中，证明例例 2 设设 表示闭区间表示闭区间 上的一切上的一切延续复值函数组成的线性空间，证明：对于延续复值函数组成的线性空间，证明：对于恣意的恣意的 ，我们有，我们有定义：设定义：设 为欧氏空间，两个非零向量为欧氏空间，两个非零向量 的夹角定义为的夹角定义为于是有于是有定理：定理：因此我们引入下面的概念因此我们引入下面的概念;定义：在酉空间定义：在酉空间 中，假设中，假设 ，那，那么称么称 与与 正交。

正交定义：定义： 长度为长度为1的向量称为单位向量，对于任的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量何一个非零的向量 ，向量，向量总是单位向量，称此过程为单位化总是单位向量，称此过程为单位化 规范正交基底与规范正交基底与Schmidt正交化方法正交化方法定义：设定义：设 为一组不含有零向量的向量组，为一组不含有零向量的向量组，假设假设 内的恣意两个向量彼此正交，那么内的恣意两个向量彼此正交，那么称其为正交的向量组称其为正交的向量组定义：假设一个正交向量组中任何一个向量都定义：假设一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，那么称此向量组为规范的正交向是单位向量，那么称此向量组为规范的正交向量组例例 在在 中向量组中向量组与向量组与向量组都是规范正交向量组都是规范正交向量组定义：在定义：在 维内积空间中，由维内积空间中，由 个正交向个正交向量组成的基底称为正交基底；由量组成的基底称为正交基底；由 个规范的个规范的正交向量组成的基底称为规范正交基底正交向量组成的基底称为规范正交基底留意：规范正交基底不独一。

在上面的例题留意：规范正交基底不独一在上面的例题中可以发现这一问题中可以发现这一问题定理：向量组定理：向量组 为正交向量组的充分必要为正交向量组的充分必要条件是条件是 ;向量组向量组 为规范正交向量组的充分必要为规范正交向量组的充分必要条件是条件是定理：正交的向量组是一个线性无关的向量定理：正交的向量组是一个线性无关的向量组反之，由一个线性无关的向量组出发可组反之，由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个规范正以构造一个正交向量组，甚至是一个规范正交向量组交向量组Schmidt正交化与单位化过程正交化与单位化过程: 设设 为为 维内积空间维内积空间 中中的的 个线性无关的向量，利用这个线性无关的向量，利用这 个向量完个向量完全可以构造一个规范正交向量组全可以构造一个规范正交向量组 第一步第一步 正交化正交化容易验证容易验证 是一个正交向量组是一个正交向量组第二步第二步 单位化单位化显然显然 是一个规范的正交向量组。

是一个规范的正交向量组例例 1 运用正交化与单位化过程将向量组运用正交化与单位化过程将向量组化为规范正交向量组化为规范正交向量组解：先正交化解：先正交化 再单位化再单位化 那么那么 即为所求的规范正交向量组即为所求的规范正交向量组例例 2 求下面齐次线性方程组求下面齐次线性方程组其解空间的一个规范正交基底其解空间的一个规范正交基底解：解： 先求出其一个根底解系先求出其一个根底解系下面对下面对 进展正交化与单位化：进展正交化与单位化：即为其解空间的一个规范正交基底即为其解空间的一个规范正交基底 酉变换与正交变换酉变换与正交变换定义：设定义：设 为一个为一个 阶复矩阵，假设其满阶复矩阵，假设其满足足那么称那么称 是酉矩阵，普通记为是酉矩阵，普通记为 设设 为一个为一个 阶实矩阵，假设其满阶实矩阵，假设其满足足那么称那么称 是正交矩阵，普通记为是正交矩阵，普通记为 例：例：是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵〔〔5〕设〕设 且且 ，假设，假设 那么那么 是一个酉矩阵。

通常称为是一个酉矩阵通常称为Householder矩阵 是一个酉矩阵是一个酉矩阵酉矩阵与正交矩阵的性质：酉矩阵与正交矩阵的性质：设设 ，那么，那么设设 ，那么，那么定理：定理： 设设 ，， 是一个酉矩阵的充分是一个酉矩阵的充分必要条件为必要条件为 的的 个列〔或行〕向量组是个列〔或行〕向量组是规范正交向量组规范正交向量组定义：定义： 设设 是一个是一个 维酉空间，维酉空间， 是是 的的一个线性变换，假设对恣意的一个线性变换，假设对恣意的 都都有有那么称那么称 是是 的一个酉变换的一个酉变换定理：设定理：设 是一个是一个 维酉空间，维酉空间， 是是 的的一个线性变换，那么以下陈说等价：一个线性变换，那么以下陈说等价：〔〔1〕〕 是酉变换；是酉变换；〔〔3〕将〕将 的规范正交基底变成规范正交基的规范正交基底变成规范正交基底；底；〔〔4〕酉变换在规范正交基下的矩阵表示为酉〕酉变换在规范正交基下的矩阵表示为酉矩阵。

矩阵留意：关于正交变换也有类似的刻划留意：关于正交变换也有类似的刻划 幂等矩阵幂等矩阵定义：设定义：设 ，假设，假设 满足满足那么称那么称 是一个幂等矩阵是一个幂等矩阵例例是一个分块幂等矩阵是一个分块幂等矩阵 幂等矩阵的一些性质：设幂等矩阵的一些性质：设 是幂等矩阵，那是幂等矩阵，那么有么有〔〔1〕〕 都是幂都是幂等矩阵；等矩阵；〔〔2〕〕〔〔3〕〕 〔〔4〕〕 的充分必要条件是的充分必要条件是〔〔5〕〕定理：设定理：设 是一个秩为是一个秩为 的的 阶矩阵，那阶矩阵，那么么 为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在 使得使得推论：设推论：设 是一个是一个 阶幂等矩阵，那么有阶幂等矩阵，那么有定义：设定义：设 为一个为一个 维规范正维规范正交列向量组，那么称交列向量组，那么称 型矩阵型矩阵 为一个次酉矩阵。

普通地将其记为为一个次酉矩阵普通地将其记为定理：定理： 设设 为一个为一个 阶矩阵，那么阶矩阵，那么 的充分必要条件是存在一个的充分必要条件是存在一个 型次酉矩型次酉矩阵阵 使得使得其中其中 引理：引理： 的充分必要条件是的充分必要条件是证明：设证明：设 ，那么，那么必要性：假设必要性：假设 为一个为一个 维维规范正交列向量组，那么规范正交列向量组，那么充分性：设充分性：设 ，， 那么由那么由 ，可得，可得即这阐明 是一个 维规范正交列向量组。

定理的证明：必要性：因 ，故 有 个线性无关的列向量，将这 个列向量用Schmidt方法得出 个两两正交的单位向量，以这 个向量为列构成一个 型次酉矩阵 留意到 的 个列向量都可以由 的 个列向量线性表出即假设那么可得其中，由于向量组 的秩为 ，所以 的秩为 下面证明 由 可得 ，即留意到 ，所以即由于 ，所以 ，这样得到于是充分性：假设 ，那么Schur引理与正规矩阵引理与正规矩阵定义：设定义：设 ，假设存在，假设存在 ，使得，使得那么称那么称 酉类似酉类似(或正交类似或正交类似)于于 定理定理(Schur引理引理)：任何一个：任何一个 阶复矩阵阶复矩阵 酉酉类似于一个上类似于一个上(下下)三角矩阵。

三角矩阵证明：用数学归纳法证明：用数学归纳法 的阶数为的阶数为1时定理显然时定理显然成立现设成立现设 的阶数为的阶数为 时定理成立，思索时定理成立，思索 的阶数为的阶数为 时的情况时的情况 取取 阶矩阵阶矩阵 的一个特征值的一个特征值 ，对应的单，对应的单位特征向量为位特征向量为 ，构造以，构造以 为第一列的为第一列的 阶阶酉矩阵酉矩阵 ，，由于 构成 的一个规范正交基，故，因此其中 是 阶矩阵，根据归纳假设，存在 阶酉矩阵 满足(上三角矩阵)令那么留意留意: 等号右端的三角矩阵主对角线上的元等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵素为矩阵 的全部特征值的全部特征值.定理定理(Schur不等式不等式): 设设 为矩阵为矩阵 的的特征值特征值, 那么那么例例: 知矩阵知矩阵 试求酉矩阵试求酉矩阵 使得使得 为上三角矩阵为上三角矩阵.解解: 首先求矩阵首先求矩阵 的特征值的特征值所以所以 为矩阵为矩阵 的三重特征值的三重特征值. 当当 时时, 有单位特征向量有单位特征向量再解与其内积为零的方程再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量求得一个单位解向量再解与再解与 内积为零的方程组内积为零的方程组求得一个单位解向量求得一个单位解向量取取计算可得计算可得令令再求矩阵再求矩阵 的特征值的特征值所以所以 为矩阵为矩阵 的二重特征值的二重特征值. 当当 时时, 有单位特征向量有单位特征向量再解与其内积为零的方程再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量求得一个单位解向量取取计算可得计算可得令令于是有于是有那么那么矩阵矩阵 即为所求的酉矩阵即为所求的酉矩阵. 正规矩阵正规矩阵定义定义: 设设 , 假设假设 满足满足那么称矩阵那么称矩阵 为一个正规矩阵为一个正规矩阵.设设 , 假设假设 同样满足同样满足那么称矩阵那么称矩阵 为一个实正规矩阵为一个实正规矩阵.例例: (1) 为实正规矩阵为实正规矩阵  (2)其中其中 是不全为零的实数是不全为零的实数, 容易验证容易验证这是一个实正规矩阵这是一个实正规矩阵. (3)这是一个正规矩阵这是一个正规矩阵. (4) H-阵阵, 反反H-阵阵, 正交矩阵正交矩阵, 酉矩阵酉矩阵, 对角矩阵都是正规矩阵对角矩阵都是正规矩阵.正规矩阵的性质与构造定理正规矩阵的性质与构造定理引理引理 1 : 设设 是一个正规矩阵是一个正规矩阵, 那么与那么与 酉类似的矩阵一定是正规矩阵酉类似的矩阵一定是正规矩阵.引理引理 2 : 设设 是一个正规矩阵是一个正规矩阵, 且又是三且又是三角矩阵角矩阵, 那么那么 必为对角矩阵必为对角矩阵.由上述引理可以得到正规矩阵的构造定理由上述引理可以得到正规矩阵的构造定理定理定理 : 设设 , 那么那么 是正规是正规矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵 使得使得其中其中 是矩阵是矩阵 的特征值的特征值.推论推论 1 : 阶正规矩阵有阶正规矩阵有 个线性无关的个线性无关的特征向量特征向量 . 推论推论 2 : 正规矩阵属于不同特征值的征向量正规矩阵属于不同特征值的征向量 彼此正交彼此正交. 例例 1 : 设设求正交矩阵求正交矩阵 使得使得 为对角矩阵为对角矩阵.解解: 先计算矩阵的特征值先计算矩阵的特征值其特征值为其特征值为对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个根底解系求得其一个根底解系如今将如今将 单位化并正交化单位化并正交化, 得到两个规得到两个规范正交向量范正交向量对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个根底解系求得其一个根底解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量将这三个规范正交向量组成矩阵将这三个规范正交向量组成矩阵那么矩阵那么矩阵 即为所求正交矩阵且有即为所求正交矩阵且有例例 2 : 设设求酉矩阵求酉矩阵 使得使得 为对角矩阵为对角矩阵.解解: 先计算矩阵的特征值先计算矩阵的特征值其特征值为其特征值为对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个根底解系求得其一个根底解系如今将如今将 单位化单位化, 得到一个单位向量得到一个单位向量对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个根底解系求得其一个根底解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个根底解系求得其一个根底解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量将这三个规范正交向量组成矩阵将这三个规范正交向量组成矩阵那么矩阵那么矩阵 即为所求酉矩阵且有即为所求酉矩阵且有例例 3 证明证明: (1) H-矩阵的特征值为实数矩阵的特征值为实数; H-矩阵属矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的于不同特征值的特征向量是正交的. (2) 反反H-矩阵的特征值为零或纯虚数矩阵的特征值为零或纯虚数. (3) 酉矩阵的特征值模长为酉矩阵的特征值模长为1.定理定理: 设设 是正规矩阵是正规矩阵, 那么那么 (1) 是是H-阵的充要条件是阵的充要条件是 的特征值的特征值为实数为实数 .  (2) 是反是反H-阵的充要条件是阵的充要条件是 的特征的特征值的实部为零值的实部为零 . (3) 是是U-阵的充要条件是阵的充要条件是 的特征值的的特征值的模长为模长为1 . 留意留意: 正规矩阵绝不仅此三类正规矩阵绝不仅此三类.例例 4 : 设设 是一个反是一个反H-阵阵, 证明证明:是是U-阵阵.证明证明: 根据根据U-阵的定义阵的定义由于由于 是反是反H-阵阵, 所以所以, 这样这样于是可得于是可得 这阐明这阐明 为酉矩阵为酉矩阵.例例 5 : 设设 是一个是一个 阶阶H-阵且存在自然数阵且存在自然数 使得使得 , 证明证明: .证明证明: 由于由于 是正规矩阵是正规矩阵, 所以存在一个所以存在一个酉矩阵酉矩阵 使得使得于是可得于是可得从而从而这样这样即即 Hermite二次型二次型(Hermite二次齐次多项式二次齐次多项式)Hermite矩阵的根本性质矩阵的根本性质引理引理: 设设 , 那么那么 (1) 都是都是H-阵阵. (2) 是反是反H-阵阵. (3) 假设假设 是是H-阵阵, 那么那么 也是也是H-阵阵, 为恣意正整数为恣意正整数. (4) 假设假设 是可逆的是可逆的H-阵阵, 那么那么 也也是可逆的是可逆的H-阵阵. (5) 假设假设 是是H-阵阵(反反H-阵阵), 那么那么 是反是反H-矩阵矩阵(H-阵阵), 这里这里 为虚数单位为虚数单位. (6) 假设假设 都是都是H-阵阵, 那么那么也是也是H-阵阵, 这里这里 均为实数均为实数. (7) 假设假设 都是都是H-阵阵, 那么那么 也也是是H-阵的充分必要条件是阵的充分必要条件是定理定理: 设设 , 那么那么 (1) 是是H-阵的充分必要条件是对于阵的充分必要条件是对于恣意的恣意的 是实数是实数. (2) 是是H-阵的充分必要条件是对于阵的充分必要条件是对于恣意的恣意的 阶方阵阶方阵 为为H-阵阵.H-阵的构造定理阵的构造定理定理定理: 设设 , 那么那么 是是H-阵的充阵的充分必要条件是存在一个酉矩阵分必要条件是存在一个酉矩阵 使得使得其中其中 , 此定理经常表达此定理经常表达为为: H-阵酉类似于实对角矩阵阵酉类似于实对角矩阵.推论推论: 实对称阵正交类似于实对角矩阵实对称阵正交类似于实对角矩阵. 例例 : 设设 为一个幂等为一个幂等H-阵阵, 那么存在酉那么存在酉矩阵矩阵 使得使得证明证明: 由于由于 为一个为一个H-阵阵, 所以存在酉所以存在酉矩阵矩阵 使得使得又由于又由于 为一个幂等为一个幂等H-阵阵, 从而从而 或或将将1放在一同放在一同, 将将0放在一同放在一同, 那么可找到一那么可找到一个酉矩阵个酉矩阵 使得使得这里这里 为矩阵为矩阵 的秩的秩.Hermite二次型二次型 (Hermite二次齐次多项式二次齐次多项式)定义定义: 由由 个复变量个复变量 , 系系数为复数的二次齐次多项式数为复数的二次齐次多项式称为称为Hermite二次型二次型, 这里这里假设记假设记 那么上面的那么上面的Hermite二次型可以记为二次型可以记为称为称为Hermite二次型对应的矩阵二次型对应的矩阵 , 并称并称 的的秩为秩为Hermite二次型的秩二次型的秩. 对于对于Hermite二次型作可逆的线性交换二次型作可逆的线性交换那么那么这里这里Hermite二次型中最简单的一种是只含有纯二次型中最简单的一种是只含有纯的平方项无交叉项的二次型的平方项无交叉项的二次型我们称这种外形的我们称这种外形的Hermite二次型为规范形二次型为规范形的的Hermite二次型二次型.定理定理: 对于恣意一个对于恣意一个Hermite二次型二次型 必存在酉线性交换必存在酉线性交换可以将可以将Hermite二次型二次型 化为规范形化为规范形其中其中 是是H-矩阵矩阵 的特征值的特征值.进一步进一步, 我们有我们有定理定理: 对于对于Hermite二次型二次型 必存在可逆的线性交换必存在可逆的线性交换可以将可以将Hermite二次型二次型 化为化为其中其中 .我们称上面的规范形为我们称上面的规范形为Hermite二次型二次型的规范形的规范形.例例: 写出下面写出下面Hermite二次型的矩阵表达式二次型的矩阵表达式,并用酉线性交换将其化为规范形并用酉线性交换将其化为规范形.解解:  正定正定Hermite二次型与正定二次型与正定Hermite矩阵矩阵定义定义: 对于给定的对于给定的Hermite二次形二次形假设对于恣意一组不全为零复数假设对于恣意一组不全为零复数 都有都有那么称该那么称该Hermite二次形为正定的二次形为正定的(半正定的半正定的) , 并称相应的并称相应的H-矩阵矩阵 为正定的为正定的(半正定的半正定的) . 例例: 判别以下判别以下Hermite二次形的类别二次形的类别 与正定的实二次形一样与正定的实二次形一样, 关于正定的关于正定的Hermite二次形我们有二次形我们有定理定理: 对于给定的对于给定的Hermite二次形二次形以下表达是等价的以下表达是等价的  (1) 是正定的是正定的 (2) 对于任何对于任何 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 都有都有为正定矩阵为正定矩阵 (3) 的的 个特征值都大于零个特征值都大于零 (4) 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 使得使得 (5) 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 使得使得 (6) 存在正线上三角矩阵存在正线上三角矩阵 使得使得 , 且此分解是独一的且此分解是独一的.例例 1 : 设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 且又是酉矩且又是酉矩阵阵, 那么那么证明证明: 由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵, 所以必存在所以必存在酉矩阵酉矩阵 使得使得由于由于 又是酉矩阵又是酉矩阵, 所以所以这样必有这样必有 , 从而从而例例 2 : 设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 是一是一个反个反H-阵阵, 证明证明: 与与 的特征值实的特征值实部为零部为零. 证明证明: 设设 为矩阵的恣意一个特征值为矩阵的恣意一个特征值, 那那么有么有 . 由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵, 所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵 使得使得将其代入上面的特征多项式有将其代入上面的特征多项式有这阐明这阐明 也是矩阵也是矩阵 的特征值的特征值. 另一另一方面留意矩阵方面留意矩阵 为为H-反阵反阵, 从而从而 实实部为零部为零.同样可以证明另一问同样可以证明另一问. 例例 3 : 设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 是一个是一个反反H-阵阵, 证明证明: 是可逆矩阵是可逆矩阵.证明证明: 由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵, 所以存在可所以存在可逆矩阵逆矩阵 使得使得这阐明这阐明 是可逆的是可逆的. 于是于是另一方面留意矩阵另一方面留意矩阵 依然为正定依然为正定H-阵阵, 而矩阵而矩阵 为为H-反阵反阵, 由上面的例题结论可知由上面的例题结论可知矩阵矩阵 的特征值实部为零的特征值实部为零, 那么矩阵那么矩阵的特征值中不能够有零的特征值中不能够有零, 从而从而定理定理: 对于给定的对于给定的Hermite二次形二次形以下表达是等价的以下表达是等价的: (1) 是半正定的是半正定的(2) 对于任何对于任何 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 都有都有为半正定矩阵为半正定矩阵(3) 的的 个特征值全是非负的个特征值全是非负的 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 使得使得(5) 存在秩为存在秩为 的的 阶矩阵阶矩阵 使得使得定理定理: 设设 是正定是正定(半正定半正定)Hermite矩阵矩阵, 那么存在正定那么存在正定(半正定半正定) Hermite矩阵矩阵 使得使得例例 1 : 设设 是一个半正定的是一个半正定的H-阵且阵且 证明证明: 证明证明: 设设 为为 的全部特征值的全部特征值,由于由于 是半正定的是半正定的, 所以所以 . 于是有于是有 例例 2 : 设设 是一个半正定的是一个半正定的H-阵且阵且 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 证明证明: 证明证明: 由于由于 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 所以存在所以存在可逆矩阵可逆矩阵 使得使得这样有这样有留意矩阵留意矩阵依然是一个半正定的依然是一个半正定的H-阵阵, 有上面的例题可有上面的例题可知知从而从而例例 3 : 证明：证明： 〔〔1〕〕 半正定半正定H-矩阵之和依然是半正定矩阵之和依然是半正定的的; 〔〔2〕〕 半正定半正定H-矩阵与正定矩阵与正定H-阵之和和阵之和和是正定的是正定的; 证明：设证明：设 都是半正定都是半正定H-阵，那么二阵，那么二者之和者之和 依然是一个依然是一个H-阵，其对应的阵，其对应的Hermite二次型为二次型为 其中其中由于由于 都是半正定都是半正定H-矩阵，所以对于矩阵，所以对于恣意一组不全为零的复数恣意一组不全为零的复数我们有我们有这阐明这阐明 为一个半正定为一个半正定H-阵。

阵 类似地，可以证明另外一问类似地，可以证明另外一问例例 4 : 设设 都是都是 阶正定阶正定H-阵，那阵，那么么的根全为正实数的根全为正实数证明：由于证明：由于 是正定的，所以存在可逆矩阵是正定的，所以存在可逆矩阵 使得使得另一方面留意到另一方面留意到 是一个正定是一个正定H-阵，阵，从而有从而有的根全为正实数又由于的根全为正实数又由于故故 的根全为正实数的根全为正实数定理定理 : 设设 是一个〔半〕正定是一个〔半〕正定H-阵，那么阵，那么必存在独一的一个〔半〕正定必存在独一的一个〔半〕正定H-阵阵 ，使得，使得 Hermite矩阵偶在复合同〔复相合〕矩阵偶在复合同〔复相合〕 下的规范形下的规范形例例 ：设：设 均为均为 阶阶Hermite-阵阵,且且又是正定的，证明必存在又是正定的，证明必存在 使得使得与与同时成立，其中同时成立，其中 是与是与 无关无关的实数。

的实数证明：证明： 由于由于 是正定是正定H-阵，所以存在阵，所以存在 使得使得又由于又由于 也是也是H-阵，那么存在阵，那么存在 使得使得其中其中 是是H-阵阵 的的 个实特征值个实特征值 假设记假设记 ，那么有，那么有下面证明下面证明 个实特征值个实特征值 与与 无无关令 ，那么，那么 是特征方程是特征方程的特征根又由于的特征根又由于因此因此 是方程是方程的根它完全是由的根它完全是由 决议的与决议的与 无关无关 由此可以得到下面的由此可以得到下面的H-阵偶规范形定理：阵偶规范形定理：定理：对于给定的两个二次型定理：对于给定的两个二次型其中其中 是正定的，那么存在非退化的线是正定的，那么存在非退化的线性交换性交换可以将可以将 同时化成规范形同时化成规范形其中其中 是方程是方程 的根，而且全为实数。

的根，而且全为实数定义：设定义：设 均为均为 阶阶Hermite-阵阵,且且又是正定的，求又是正定的，求 使得方程使得方程有非零解的充分必要条件是有非零解的充分必要条件是关于关于 的的 次代数方程方程次代数方程方程成立我们称此方程是成立我们称此方程是 相对于相对于 的特征的特征方程它的根方程它的根 称为称为 相对于相对于 的的 广义特征值将广义特征值将 代入到方程代入到方程中所得非零解向量中所得非零解向量 称为与称为与 相对应的广相对应的广义特征向量义特征向量 广义特征值与广义特征向量的性质广义特征值与广义特征向量的性质;命题：命题： 〔〔1〕有〕有 个广义特征值；个广义特征值； 〔〔2〕有〕有 个线性无关的广义特征向量个线性无关的广义特征向量 ，即，即 〔〔3〕这〕这 个广义特征向量可以这样选个广义特征向量可以这样选取，使得其满足取，使得其满足其中其中 为为Kronecker符号。