同济大学《高等数学第五版》习题答案.pdf

习题 11 1. 设 A=(, 5)(5, +), B=10, 3), 写出 AB, AB, AB 及 A(AB)的表达式. 解 AB=(, 3)(5, +), AB=10, 5), AB=(, 10)(5, +), A(AB)=10, 5). 2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (AB)C=AC B C . 证明 因为 x(AB)CxAB xA或xB xAC或xB C xAC B C, 所以 (AB)C=AC B C . 3. 设映射 f : X Y, AX, BX . 证明 (1)f(AB)=f(A)f(B); (2)f(AB)f(A)f(B). 证明 因为 yf(AB)xAB, 使 f(x)=y (因为 xA 或 xB) yf(A)或 yf(B) y f(A)f(B), 所以 f(AB)=f(A)f(B). (2)因为 yf(AB) xAB, 使 f(x)=y(因为 xA 且 xB) yf(A)且 yf(B) y f(A)f(B), 所以 f(AB)f(A)f(B). 4. 设映射f : XY, 若存在一个映射g: YX, 使, , 其中IXIfg=?YIgf=?X、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个xX, 有IX x=x; 对于每一个yY, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: g=f 1. 证明 因为对于任意的yY, 有x=g(y)X, 且f(x)=fg(y)=I y y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射. 又因为对于任意的x1x2, 必有f(x1)f(x2), 否则若f(x1)=f(x2) g f(x1)=gf(x2) x1=x2. 因此 f 既是单射, 又是满射, 即 f 是双射. 对于映射g: YX, 因为对每个yY, 有g(y)=xX, 且满足f(x)=fg(y)=I y y=y, 按逆映射的定义, g是f的逆映射. 5. 设映射 f : XY, AX . 证明: (1)f 1(f(A)A; (2)当f是单射时, 有f 1(f(A)=A . 证明 (1)因为xA f(x)=yf(A) f 1(y)=xf 1(f(A), 所以 f 1(f(A)A. (2)由(1)知f 1(f(A)A. 另一方面, 对于任意的xf 1(f(A)存在yf(A), 使f 1(y)=xf(x)=y . 因为yf(A)且f是单射, 所以xA. 这就证明了f 1(f(A)A. 因此f 1(f(A)=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23 +=xy; 解 由 3x+20 得32x. 函数的定义域为) ,32+. (2)211xy=; 解 由 1x20 得x1. 函数的定义域为(, 1)(1, 1)(1, +). (3)211xxy=; 解 由x0 且 1x20 得函数的定义域D=1, 0)(0, 1. (4)241xy=; 解 由 4x20 得 |x|0 得函数的定义域 D=(1, +). (10)xey1=. 解 由 x0 得函数的定义域 D=(, 0)(0, +). 7. 下列各题中, 函数 f(x)和 g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2) f(x)=x, g(x)=2x; (3)334)(xxxf=,31)(=xxxg. (4)f(x)=1, g(x)=sec2xtan2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同. (2)不同. 因为对应法则不同, x0 时, g(x)=x. (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同. 8. 设0, 1x 20. 因为当x1x2时, 0)1)(1 (112121221121=xxxxxxxxyy, 所以函数xxy=1在区间(, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x1, x2(0, +), 当x1x2时, 有 0ln)()ln()ln(2121221121+=+=xxxxxxxxyy, 所以函数 y=x+ln x 在区间(0, +)内是单调增加的. 10. 设 f(x)为定义在(l, l)内的奇函数, 若 f(x)在(0, l)内单调增加, 证明 f(x)在(l, 0)内也单调增加. 证明 对于x1, x2(l, 0)且x1x2. 因为 f(x)在(0, l)内单调增加且为奇函数, 所以 f(x2)f(x1), f(x2)f(x1), 这就证明了对于x1, x2(l, 0), 有f(x1)0); (4)f(x+a)+f(xa)(a0). 解 (1)由 0 x21 得|x|1, 所以函数f(x2)的定义域为1, 1. (2)由 0sin x1 得 2nx(2n+1) (n=0, 1, 2 ), 所以函数 f(sin x)的定义域为 2n, (2n+1) (n=0, 1, 2 ) . (3)由 0 x+a1 得ax1a, 所以函数 f(x+a)的定义域为a, 1a. (4)由 0 x+a1 且 0 xa1 得: 当210a时, 无解. 因此当210a时函数无意义. 18. 设=0, 040cot0hhS? 确定, 定义域为?40cot00Sh. 20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元. (1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数; (2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？ 解 (1)当0 x100时, p=90. 令0. 01(x0100)=9075, 得x0=1600. 因此当x1600时, p=75. 当100 x1600时, p=90(x100)0. 01=910. 01x. 综合上述结果得到 . =1600 751600100 01. 0911000 90 xxxxp (2). N时, xnnxlimn与其极限之差的绝对值小于正数 , 当 =0.001 时, 求出数N. 解 . 0lim=nnx nnnxn1|2cos| 0|=. 0, 要使|x n0| , 只要n. 取1=N, 则nN, 有|xn0| . 当 =0.001 时, 1=N=1000. 3. 根据数列极限的定义证明: (1)01lim2=nn; (2)231213lim=+nnn; (3)1lim22=+nann (4). 19 999. 0lim= ? ? ?个nn (1)分析 要使n, 即1n. 证明 因为0, 1=N, 当 nN 时, 有 | 01|2n, 所以01lim2=nn. (2)分析 要使+=+nnnn41) 12( 21|231213|, 只须n. 证明 因为0, 41=N, 当 nN 时, 有+|231213|nn, 所以231213lim=+nnn. (3)分析 要使. 证明 因为0, 2aN =, 当nN 时, 有+| 1|22nan, 所以1lim22=+nann. (4)分析 要使|0.99 91|=1101n, 只须1101nn. 证明 因为0, 1lg1 +=N, 当nN 时, 有|0.99 91|0, NN, 当 nN 时, 有, 从而 aunn=lim |aun|un|a|una|0, NN, 当 nN 时, 有0lim=nnyMynN 时, 有 =0, K1, 当 2k2K1时, 有| x2ka |2K2+1 时, 有| x2k+1a |N, 就有|xna | . 因此xna (n ). 习题 13 1. 根据函数极限的定义证明: (1); 8) 13(lim3=xx (2); 12)25(lim2=+xx (3)424lim22=+xxx; (4)21241lim321=+xxx. 证明 (1)分析 |(3x1)8|=|3x9|=3|x3|, 要使|(3x1)8| , 只须31| 3|0, 31=, 当 0|x3|时, 有|(3x1)8| , 所以. 8) 13(lim3=xx (2)分析 |(5x+2)12|=|5x10|=5|x2|, 要使|(5x+2)12| , 只须51| 2|0, 51=, 当 0|x2|时, 有|(5x+2)12| , 所以. 12)25(lim2=+xx (3)分析 | )2(| 2|244)4(2422=+=+=+xxxxxxx, 要使+)4(242xx, 只须0, =, 当 0|x(2)|时, 有+)4(242xx, 所以424lim22=+xxx. (4)分析 | )21(| 2| 221 |212413=+xxxx, 要使+212413xx, 只须21| )21(|0, 21=, 当| )21(|0 x时, 有+212413xx, 所以21241lim321=+xxx. 2. 根据函数极限的定义证明: (1)2121lim33=+xxx; (2)0sinlim=+xxx. 证明 (1)分析 333333| 21212121xxxxxx=+=+, 要使+212133xx, 只须x. 证明 因为 0, 321=X, 当|x|X 时, 有+212133xx, 所以2121lim33=+xxx. (2)分析 xxxxx1|sin|0sin=, 要使0sinxx, 只须x. 证明 因为0, 21=X, 当 xX 时, 有0sinxx, 所以0sinlim=+xxx. 3. 当x2 时, y=x24. 问等于多少, 使当|x2|时, |y4|0. 001？ 解 由于x2, |x2|0, 不妨设|x2|1, 即 1x3. 要使|x24|=|x+2|x2|5|x2|0. 001, 只要0002. 05001. 0| 2|=x, 取=0. 0002, 则当 0|x2|时, 就有|x24|X 时, |y1|0.01? 解 要使01. 034131222x, 397=X. 5. 证明函数 f(x)=|x| 当 x0 时极限为零. 6. 求,)(xxxf= xxx|)(=当 x0 时的左右极限, 并说明它们在 x0 时的极限是否存在. 证明 因为 11limlim)(lim000=xxxxxxf, 11limlim)(lim000=+xxxxxxf, , )(lim)(lim00 xfxfxx+=所以极限存在. )(lim0 xfx 因为 1lim|lim)(lim000=xxxxxxxx, 1lim|lim)(lim000=+xxxxxxxx, , )(lim)(lim00 xxxx+所以极限不存在. )(lim0 xx 7. 证明: 若 x+及 x时, 函数 f(x)的极限都存在且都等于 A, 则. Axfx=)(lim 证明 因为, , 所以0, Axfx=)(limAxfx=+)(lim X10, 使当xX1时, 有|f(x)A|0, 使当xX2时, 有|f(x)A|X时, 有|f(x)A|0, 0, 使当 0|xx0| 时, 有 |f(x)A| . 因此当x0 xx0和x0 xx0+ 时都有 |f(x)A|0, 10, 使当x01xx0时, 有| f(x)A0, 使当x0 xx0+2时, 有| f(x)A| . 取=min1, 2, 则当0|xx0| 时, 有x01xx0及x0 xx0+2 , 从而有 | f(x)A|0 及M0, 使当|x|X 时, |f(x)|0, 当|x|X 时, 有|f(x)A| =1. 所以 |f(x)|=|f(x)A+A|f(x)A|+|A|0 及 M0, 使当|x|X 时, |f(x)|0, = , 当 0|x3|时, 有 =0, = , 当 0|x0|时, 有 =104？ 证明 分析2|11221|+=+=xxxxy, 要使|y|M, 只须Mx2|1, 即21|+0, 21+=M, 使当 0|x0|+21, 所以当 x0 时, 函数xxy21+=是无穷大. 取M=104, 则21014+=. 当2101| 0|04+104. 4. 求下列极限并说明理由: (1)xx。