中考数学总复习《四边形综合探究》专项检测卷(含答案).docx

中考数学总复习《四边形综合探究》专项检测卷(含答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．综合与实践小唯根据学习轴对称的经验，利用矩形纸片折叠对线段之间的关系进行拓展探究．第一步：在矩形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交射线于点F．【观察发现】（1）如图①，连接，则的度数为___________；【拓展探究】第二步：如图②，更换另一张矩形纸片，E仍然是中点，将沿折叠，此时点落在矩形的外部．（2）求线段，，之间的数量关系；【拓展应用】第三步：在探究过程中，小唯画出了延长交直线于点G的图形，当时，测得．（3）请直接写出的长．2．数学兴趣小组的同学们以“图形的折叠”为主题开展探究活动．【操作推断】（1）如图①，点是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接，则_____；【迁移探究】（2）如图②，在（1）的条件下，延长交于点，连接．①_____；②小明用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现．请判断该发现是否正确？并说明理由；【拓展应用】（3）如图③，在矩形纸片中，，，点是边上一动点，沿折叠，使点落在点处，射线交射线于点（点在的延长线上）．当时，直接写出的长．3．问题背景如图1，在中，，，，点、分别是边、上的动点，过点作的垂线，垂足为，连接，．设，两点之间的距离为，、两点之间的距离为初步运用（1）当时， ；思维探究（2）若与全等，则 ；思维拓展（3）如图2，以，为邻边作，当时，是否存在，使得的顶点恰好落在的边上？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．4．综合与实践活动课上，老师让同学们以“折纸作的角”为主题开展数学活动．【操作判断】（1）①如图①，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平在上选一点P，沿折叠，使点A落在上的点M处，把纸片展平，连接．则______．②如图②，在前面操作的基础上，延长与交于点N，则的形状是______．【迁移探究】（2）小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长与交于点Q，连接．如图③，若改变点P在上的位置(点P不与点A，D重合)，判断与的数量关系，并说明理由；【拓展应用】（3）在（2）的探究中，已知正方形的边长为，当P是边的三等分点时，求出的长．5．综合与实践【初步判断】(1)矩形和矩形全等，且按如图1所示的方式摆放，点E在的延长线上，点G在的延长线上，连接，，，连接并延长交于点M，则线段与线段的数量关系为________．【深入探究】(2)将图1中的矩形绕点C逆时针旋转，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2进行证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】(3)在（2）的条件下，取的中点N，连接．若，，请直接写出线段长度的最小值．6．综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，正方形中，点P是边上的一个动点，E是边延长线上一点，连接．过点P作，与的平分线相交于点F，求证：．【问题解决】（1）小圳经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整．在上截取，连接，易得，，______，可得（______），．【问题探究】（2）探究小组经过讨论，发现了图形隐含了很多线段和角的等量关系，如图2，连接，与边相交于点Q，连接，给出下列四个结论，①；②；③；④，正确结论的序号是_______．【拓展延伸】（3）创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展．如图3，过点F作的平行线交直线于点H，以为斜边向右作等腰直角三角形，点M在直线上．①试探究与的数量关系，并说明理由；②若，P在射线上运动，当时直接写出线段的长．7．综合与实践【问题背景】有两个三角形，一个是直角三角形，一个是等边三角形．①，；②等边．两个三角形的点互相重合，可以绕点转动，点是的中点，连接．【解决问题】（1）如图1，当时，若点段上，，则___________．【观察猜想】（2）如图1，直接写出与的数量关系：___________．【类比探究】（3）如图2，当，点段上方时，其他条件不变，延长交于点，探究的度数是否为定值？若是定值，请求出的度数；若不能求出的度数，请说明理由．【拓展提升】（4）若，，当点，，在同一条直线上时，请直接写出线段的长．8．【问题提出】在微专题复习课上，王老师引导同学们以“直角三角板的旋转”为主题开展探究活动：将一大一小两个等腰直角三角板和按图1放置，，点在内，连接并延长到点，使，连接，．探究线段与的关系．【思路探究】“诸葛小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点作交的延长线于点，这样可以将和的关系转化为和的关系；“孔明小组”的解题思路：结合为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点作平行交延长线于点，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系．（1）【推理论证】请你写出线段与的关系并证明（可以用不同于前面的思路）；（2）【能力提升】“创新小组”在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，将绕点在平面内旋转，当，，时，请直接写出线段的长．9．已知：在中，E是边上动点，连接，F为直线上方一点，连接，．问题探究：（1）如图1，当为正方形时，若，请直接写出的值；（2）如图2，当为矩形时，若求的值；应用拓展：（3）如图3，当为菱形时，交于点G，且 求的长．10．综合与实践问题背景如图，在菱形中，连接，，．初步探究（1）菱形的面积为 ．（2）如图1，若E，F分别是，上的动点，且，过点E作，过点F作，垂足分别为点G，点H，求的值．拓展延伸（3）如图2，P是上的动点，连接．①的最小值为 ；②如图3，Q是上的动点，连接，且，求的最小值．        11．综合与探究已知在平行四边形中，点E为边的中点，连接．【动手操作】如图1，将四边形沿折叠，得到四边形，点B的对应点为点F，点C的对应点为点G，连接，如图2所示．【问题解决】（1）请直接写出图（2）中，的形状 ；（2）判断图（2）中和数量关系，并说明理由．【拓展探究】（3）如图3，若平行四边形中．且，当的某一个内角的度数为时，请直接写出的长度．12．如图1，是矩形的对角线，作交于点F，交于点E．(1)求证：；(2)如图2，点G是矩形边上一点，连接，过点D作交于点E，，若，探究的值；(3)【拓展探究】如图3，将上述“矩形”改为“平行四边形”，作交于点E，，，，求的长．13．综合与实践【问题背景】已知，等腰直角三角形，，，点在射线上，连接，以为边作正方形（点在边所在直线的上方）【探索发现】(1)如图①，若点与点重合时，写一个未知角的度数或一条未知线段长___________；【问题探究】(2)如图②，若点是线段中点，求点到直线的距离；【拓展延伸】(3)如图③，连接与交于点，点段延长线上，若点是线段的三等分点，直接写出的长．14．定义：一组邻边相等且有一个内角为直角的凸四边形称为等直四边形．例如，如图 1，在四边形 中， ， ， 则四边形为等直四边形．【特例感知】（1）下列四边形一定是等直四边形的是 ；  （填序号）①平行四边形         ②矩形           ③菱形           ④正方形（2） 如图2， 在等边中，点D为内部一点，且平分， 连接， 将线段绕点D 顺时针旋转得到线段，连接，．求证：四边形是等直四边形．【深入探究】（3）如图3， 在等直四边形中， ， ， 线段的垂直平分线分别交与的角平分线于E， F， 连接，．求证： ．【拓展应用】（4）如图4，已知线段 射线 ， 射线平分， 点C， D分别在射线，上，若 且四边形是等直四边形，则的长为 ． （直接写出结果）参考答案1．（1）90；（2）；（3）4或2【分析】（1）首先得到，，然后结合折叠的性质得到，，证明出，得到，进而求解即可；（2）如解图①，连接，证明出，得到，，求出，然后证明出，得到，然后等量代换求解即可；（3）根据题意分两种情况讨论：①当点落在矩形内部时，②当点落在矩形外部时，然后分别求出，证明出，即可求出．【详解】解：（1）∵E是边的中点，∴．∵四边形是矩形，∴．由折叠得，，，∴，又∵∴；（2）如解图①，连接，∵E是边的中点，∴．∵四边形是矩形，∴，由折叠的性质得，，，∴，，∴，都是直角三角形，在和中，，又∵，∴．∴，∴；（3）分两种情况讨论：①当点落在矩形内部时，如解图②，连接，设，∴．由（1）得，则在中，，，∴解得，即．∵E为的中点，∴∵∴又∵∴∴；②当点落在矩形外部时，如解图③，连接，由（2）知，设，则，解得（负值已舍去），∴．同理可得，综上所述，的长为4或2．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．2．（1）；（2）①；②判断正确，理由见解析；（3）【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质即可解答；（2）①根据正方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，进而完成解答；②根据相似三角形的判定和性质定理即可解答；（3）根据矩形的性质得到，分别运用正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理进行列式，进行计算，解答即可．【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴，∵点P是正方形纸片的边的中点，∴，∵沿折叠，使点A落在点M处，∴，，，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．（2）①∵四边形是正方形，∴，∵点P是正方形纸片的边的中点，∴，∵沿折叠，使点A落在点M处，∴，，，∴，，又∵，∴，∴，∴．故答案为：．②判断正确，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即．（3）∵在矩形纸片中，，，∴∴，∵沿折叠，使点A落在点M处，∴．设与交于E，∴在中，，，∴，∴，∴，解得，∴，，∴，∴，即，解得，【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．3．（1）；（2）或；（3）存在，y【分析】（1）由勾股定理得证得代入计算即可；（2）根据全等三角形的性质分类讨论，①；此时与重合，此时；②，四边形是平行四边形，则，证明，根据相似三角形的性质得出比例式，进而得出的值；（2）①落在上，作，四边形是矩形，知，由在中、、可得 ②落在上，作于点，同上知 在中证得据此求解即可．【详解】解：（1），，，则，，，，，，即，解得，故答案为：．（2）①，此时，如图1，此时与重合，此时；②，此时，如图，四边形是平行四边形，∴∴∴。