高中数学《空间向量及其运算》同步练习1 新人教A版选修2-1.pdf

新课标高二数学同步测试一（2-1第三章3.1）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共 150分；答题时间120分钟.一、选择题：在每小题给铝的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5 分，共 50分.1.在平行六面体ABCDA B C R 中,为 然与加的交点，若 还=a,疝=5,布.则下列向量中与瓦7 7 相等的向量是（）1 1 7 1 1 rA.-C l H-D+C B.C l H-C2 2 2 21 -1 r 1 -1 r C.a b+c D.a b+c2 2 2 22.在下列条件中，使 M与 A、B、C 一定共面的是A.OM=2 O A-O B-O C-1 1 1 ,1 ,B.OM=-O A +-O B +-O C5 3 2C.MA+MB+MCD.OM+OA+OB+OC 03.己知平行六面体 ABCA B C 力 中，AB=4,AD=3,A 4=5,ZBAD=90,ZBAA=ZD AA=6 0 ,则 AC等于()A.85 B.屈 C.572 I).504.与向量2=(1,3,2)平行的一个向量的坐标是()A.(-,1,1)B.-1,-3,2)31 oC.(,1)D.(V2,3,2 V2)2 25.A (-1,-2,6),B (1,2,6)0 为坐标原点，则向 量 方，与 丽 的夹角是()71 37cA.0 B.C.7 T D.2 26.已知空间四边形ABCD中，3=3 丽=3,无=展，点乂在0人上，且 0M=2MA,N为 B C中点，则 MN()A.匕2+匕2 3 2B.一 与+匕+匕3 2 21 -1r 1-C.a+b-c2 2 22-2-1 -D.a+b-c3 3 27.设 A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足A 3 AC=0,A C AZ）=0,A 8 AO=0,则ABCD是A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定8.空间四边形 OAB C 中，OB=OC,ZAOB=ZAOC=60,贝 U cos（苏，前）=二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6 分，共 24分）.A.12n V2D.-2c-4D.09.已知A (1,1,1)、B (2,2,2)、C (3,2,4),则 A ABC的面积为A.MB.273C.V6D.国210.已知 a=b=(2,t,t),则 1 a-M 的最小值为A亚A.B.叵.3A/5D.H5555()()()()11.若 Z=（2,3,-l）,b=（-2,1,3）.则 5 5 为邻边的平行四边形的面积为1 2.已知空间四边形OABC,其对角线为OB、AC,M、N分别是对边OA、BC的中点，点 G段MN上，且 标 =2而，现 用 基 组 彷，无，而 表示向量5 3,有O G-x O A +y O B +z O C ,则 x、y、z 的值分别为1 3.已知点 A(l,-2,11)、B(4,2,3),C(6,-1,4),则AABC 的形状是1 4.已知向量2=(2,3,0),1=(%,0,3),若 3 成 120的角,贝心=.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或螭步骤供76分）.15.（12分）如图，已知正方体48c1。

A B的棱长为 a,M为 BD 的中点，点 N在 A C 上，且IA W I=3IN C I,试求例V的长.73 116.（12分）如图在空间直角坐标系中心2,原电是 a1的中点，点 4 的坐标是（2 20）,点在平面yQz上，且/划 小 90,N比於30.（1）求向量0 2 的生屋：（2）设 向 量 而 和 B C 的夹角为0,求 cos的值图1 7.(1 2分)若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直.1 8.(1 2把 大 棱 锥 俪 力 中，底面4腼是一个平行四边形，A B=2,-1,-4),A D =4,2,0,A P =-1,2,-1).(1)求证：处 L底面相切；(2)求四棱锥 4 第的体积；(3)对于向量4 =汨，,zi,h-x2,y-i,Zii c=x3,m zi,定义一种运算：-.(a X b )c-xxyzz-xiy-iZx-iyxZz-xyzZz-xiyz-i-xsyiZ,试 计 算(AB X AD ),AP 的细值叫；说 明 其 与 四 棱 锥/质 体 积 的 关 系，并 由 此 猜 想 向 量 这 一 运 算(而XZ 5)-AP的绝对值的几何意义.1 9.(1 4 分)如图所示，直三棱柱 4 5-4 3 G 中，CA=CB=,/8。

9 0 ,棱 A At=2,M,N分别是43、4 4的中点.(1)求 B N 的长；(2)求c o s BA,CB 的值;(3)求证：A xBLCM2 0.(1 4分)如 图，已知平行六面体4服4 5 4的底面/及力是菱形且N G C S=N G C加N加庐6 0 .（1）证明：CC，BD；3（2）假 定C D=2,CG=-,记面G加 为面CBD为8,求二面角一加一 的平面角的余2弦值；CD（3）当的值为多少时.，能使4UL平 面G外？请给出证明.C C,参考答案一、1.A；解 析：BM=BB+BM=A A+；(8A+BC)=c +ga+b)-1 -1 -a +A+c.评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本2 2题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2.A；解析：空间的四点P、A、B、C共面只需满足而=x 3 +y而+z反，且x+y+z=l既可.只有选项A.3.B；解析：只需将然=薪+而+启，运用向量的内即运算即可，I布1=J元）.4.C；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式.即b Q,a/b a=Ab.5.C;解析：COS。

萼 功,计算结果为-1.a-b.，1 .2.6.B；解析：显然 A/N =O N-O M =（一一0A.2 37.B；解析：过点A的棱两两垂直，通过设棱反应用余弦定理可得三角形为锐角三角形.8.D：解析：建立一组基向量近,而，瓦，再来处理万I 前的值.9.D；解析：应用向量的运算，显然c o s A B,A C =一 二=s i n ,A B II A C I从而得S =!|港|就|s i n 而,元.21 0.C；-7 y 3 六1 1.6A/5；解析：c o s =-=一一，得 s i n =工，可得结果.ah 7 71 ,1 1 ,1 2.-O A+-O B +-O C ；6 3 3解析：1 1 1 ,2 1 1 2 1 1O G =O M +M G -O A+-M N -O A+-(O N-O M)2 3 2 31 1 2 1 1 ,=-O A+-(O B +O C)OA 2 3 2 21 ,1 1 ,-O A+-O B +-O C6 3 31 3 .直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：I A 8 12TB e5+|a户.1 4 .-739；解析：c o s Wf (0,0,a).由 于 为 6 0 的中点，取 A C 中点0 ,所以(3,0,(-,a).因为2 2 2 2 2A N=3NC,所 以 为 A C 的四等分，从 而 Wa为 O C 的中 点,故 从(区,-a,a).4 4根据空间两点距离公式，可得I M N 1=J吟苧+吟-当2+吟-炉V 2 4 2 4 2 与4.1 6.解：(1)过作E L 6 C,垂足为 ,在 R t Z 8C 中，由/3 屐 90 ,N火比3 0 ,BO2,得 加=L C D=6 ,：.DE=CD s i n 3 0=.1 10月 OB BE=OB-BD c o s 6 0=1-=-2 21 7 31 6 点坐标为(0,即向量0 T X f 的坐标为 0,2 2 2 2 7 3 1 (2)依题意：O A =,0,08=0,1,0,0。

0,1,0,所以 A O =OO-OA =-,l,B C =OC-O8 =0,2,0.设 向 量 标 和5c的夹角为明则cos 0=ADBCgx0 +(l)x 2 +f x 0AD-BC I 73,：T fT n 74(-0 +(-+(力 j 02+22+02=V 1 0.-，-.3.I 1 1 7.证：如图设5 4 =八,5 8=弓,5弓，则S E,S F,S G,S”,S M,S N分 别 为 八，1 *1 一 一 1 -*1 一 一 1 -*-(r2+r3),-(r,+r2),-r3,-(r,+r3),-r2由条件E H=G H=M N得：(上士4二1)2 =(4+/2 -/)2 =(4+弓-2)22 2 2展开得八2 =G 3 =，3.(G 一 )=0 ,:尸 6,q -2 关 6，Z.r,(H)即 S A 1.B C.同理可证 S B _ L A C,S C A B.1 8.(1)证明：A P-A B=-2-2+4=0,：.A PA B.又：A P A =-4+4+0=0,J.A PA.A D.TA B、，是底面力及力上的两条相交直线，./工底面加必(2)解：设4 8与 的 夹 角 为0,则cos 0=ABA。

8-2 _ 3A B-A D 74+1 +16-716+4.V105片;I A B I ,I AD ,sin o I A P 1 =(J105 Vl+4+1 =16(3)解：I (ABX AO)4 2|=|一4一324-8|=48它是四棱锥 力谶体积的3 倍.猜测：I (AB义AOA 4尸 I在几何上可表示以AB.AD,4尸为棱的平行六面体的体积(或以力反AD,4为棱的直四棱柱的体积).评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.1 9.如图，建立空间直角坐标系O-xyz.(1)依题意得 6(0,1,0)、N(l,0,1)：.BN|=7(l-O)2+(O-l)2+(l-O)2=V3.(2)依题意得 4(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B(0,1,2).拓=-1,-1,2),C8=0,1,2,两 CBt=3,BA 1 =V6,I CBt|=V5/.cos=受/%.=，闻.I BA,I -ICB,I 101 1 -1 1(3)证明：依题意，得 G(0,0,2)、材(一，一，2),4 乃=1,1,2,C,M ,2 2 1 1 2 2-1 1 -0.：.A.B C,M -+-+0=0,：.A,B L C,M,：.ABVCxM.11 2 2,1评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.20.(1)证明：设而 工，C D=b,C Ct=c,贝 UlZ|=|。

Bb=C D-C B =b a,BD C C=(6-tz)*c-b c a,c=h c cos60 a c cos60=0,C.GCLBD,(2)解：连 然、B D,设力CH盼连 O G,则NG0C为二面角一劭一 的平面角.1 I 1 1 I .I V CO=-(B C +CD)=-(a+h),ClO=C O-C Ci=-(a+b)-c2 2 2-*-1 -1 -/.CO C,0=(tz+/?)(a+b)c 1 2 2=一(一+2b+b)-a-c-b c4 2 2=(4+2 2 2 c o s 60 +4)2 c o s 601 3 3 2 ,c o s 60 =.42 2 2 2 2则I CO I-A/3,3CO H-2ICOI-ICI 3CD 2(3)解：设-=x,C D=z2,贝!S=一.CCj x8 _ L 平面 44C C,A BDLAxC只须求满足：“丽二 0即可.设 AA 二 a,ADb,DC=c,:AiC=a+b+c,CD=a-c,一一一 一 一 ,-一-4 2AC-CD=(a+b +c)(一c)=Q+Q,h-h c cJ=H 6,r 。