高中数学椭圆超经典知识点+典型例题讲解.doc
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专业整理 学生姓名性别男年级高二学科数学授课教师上课时间2014年12月13日第（ ）次课共（ ）次课课时： 课时教学课题 椭圆教学目标教学重点与难点选修2-1椭圆知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义１．方程化简的结果是 2．若的两个顶点，的周长为，则顶点的轨迹方程是 3.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 注意： 1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
讲练结合二．利用标准方程确定参数1.若方程+=1（1）表示圆，则实数k的取值是 .（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 .（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是 .（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是 .2.椭圆的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,3．椭圆的焦距为，则= 4．椭圆的一个焦点是，那么 讲练结合三．待定系数法求椭圆标准方程1．若椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为 2．焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为 3．焦点在轴上，，椭圆的标准方程为 4. 已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0），求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆的的简单几何性质 （1）对称性 对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
2）范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b3）顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点 ②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0）， A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b） ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2ba和b分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长4）离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作 ②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因 此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆当且仅当 a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2注意： 椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）： （1），，； （2），，； （3）,，；讲练结合四．焦点三角形1．椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，则的周长是 2．设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，则的周长是多少？的面积的最大值是多少？3．设点是椭圆上的一点，是焦点，若是直角，则的面积为 。
变式：已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点． 若，求的面积．五．离心率的有关问题1.椭圆的离心率为，则 2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，则此椭圆的离心率为 3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 4.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率5.在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ． 讲练结合六.最值问题1.椭圆两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为_____，最小值为_____2、椭圆两焦点为F1、F2，A(3，1)点P在椭圆上，则|PF1|+|PA|的最大值为_____，最小值为 ___3、已知椭圆，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 4.设F是椭圆＋=1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P使|PA|+2|PF|最小,求P点坐标 最小值 .知识点四：椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点，，轴长轴长=，短轴长= 离心率准线方程焦半径，，注意：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。
1．如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式此时，椭圆焦点在坐标轴上 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型2．椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上4．方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示椭圆的条件 方程Ax2+By2=C可化为，即， 所以只有A、B、C同号，且A≠B时，方程表示椭圆 当时，椭圆的焦点在x轴上； 当时，椭圆的焦点在y轴上。
5．求椭圆标准方程的常用方法： ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方 程中的参数、、的值其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点，则c相同 与椭圆（a＞b＞0）共焦点的椭圆方程可设为（k＞－b2）此类问题常用待定系数法求解7．判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据： ①若把曲线方程中的x换成―x，方程不变，则曲线关于y轴对称； ②若把曲线方程中的y换成―y，方程不变，则曲线关于x轴对称； ③若把曲线方程中的x、y同时换成―x、―y，方程不变，则曲线关于原点对称8．如何解决与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？ 与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系. 9．如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化离心率，因为c2=a2－b2，a＞c＞0，用a、b表示为，当越小时，椭圆越扁，e越大；当越大，椭圆趋近圆，e越小，并且0＜e＜1。
课后作业1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为( )A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线 2、椭圆左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则CDF1的周长为______ 3已知方程表示椭圆，则k的取值范围是( ) A -1
14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率=___________.15、椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,准线方程为,椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14,则椭圆方程为 ___________________.16.已知P是椭圆上的点,若P到椭圆右准线的距离为8.5,则P到左焦点的距离为_________.17．椭圆内有两点，，P为椭圆上一点，若使最小，则最小值为 。
