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第九章 两因素的方差分析（two-factors analysis of variance）或两种方式分组的方差分析（two-way classification analysis of variance）一、 模型的类型及交互作用的概念在实际工作中，经常会遇到两种或两种以 上的因素，共同影响实验结果的情况例如， 一组病人同时服用两种药物，每一种药物又有 不同的剂量（水平），如A药物有5个水平，B 药物有3个水，共有5×3＝15个剂量水平需要 15名病人参加实验，每人接受一种水平组合， 象这样的分组方式称为交叉（cross）分组上面讲过，因素可分作固定因素和随机因素 在两因素实验中:• 当两个因素都是固定因素时，称为固定模型（fixed model）• 两个因素均为随机因素时，称为随机模型（random model）• 一个因素是固定因素，另一个因素是随机因素时， 称为混合模型（mixed model）这三种模型虽然在计算方法上没有多大不同，但 在检验以及对结果解释上却截然不同尤其是在两 因素之间存在交互作用时，不同类型模型的区别就 更明显为了下面叙述方便，介绍主效应与交互作 用两个基本概念。

由于因素水平的改变而造成因素效应的改 变，称为该因素的主效应（main effect）例 如有下面一组实验，A因素有两个水平，A1和 A2 ；B因素也有两个水平，B1和B2 当A因素 从第一个水平变化到第二个水平时，A因素的 主效应为A2水平的平均效应减去A1水平的平均 效应 A1 A2 B1 B218 2438 44同样，B因素的主效应： 若A、B之间不存在交互作用，则 有时会发现，某一因素在另一因素的不同水 平上所产生的效应不同例如： A1 A2 B1 B218 2830 22A（在B1水平上）＝A2B１－A1B1＝28－18＝10 A（在B2水平上）＝A2B2－A1B2＝22－30＝－8可以明显看出：A的效应依B的水平而不 同这时我们说：在A和B因素见存在交互作 用交互作用的大小可用来估计上例的A、B间的交互作用：AB＝18＋ 22―30―28＝—18有时交互作用相当大，因素 的主效应相对来说变得相当小在上面例子中， A因素的主效应：A＝（28＋22）／2－（18＋30 ）／2＝1，与交互作用的绝对值18相比已经相当 小，这时可认为不存在主效应。

当因素间存在交互作用时，对因素间交互作用的了解比只了解因素的主效应重要得多因此，在两因素方差分析中，分解出因素的交互作用十分必要两因素间是否存在交互作用，有专门的统计判断方法，一般情况下，可以根据专业知识判断另外，做图法也能提供一些帮助将上面两表的数据，可以做以下两图（图2－1） B2B1A1A2B1B2A1A2a. 不存在交互作用b. 存在交互作用图2—1 因素间交互作用的图示当A、B之间不存在交互作用时，从B1变化到B2是不依A水平的不同而变化，所以B1－B1，B2－B2两线平行当存在交互作用时，Ａ的效应依Ｂ的水平而不同，所以B1－B1，B2－B2两线不平行直观图可以帮助判断因素之间是否存在交互作用，但在处理数据时只凭图象是不行的，需要经过严格的数据分析之后，才能最后断定 两因素实验的典型设计是：假定A因素有a水平，B因素有b水平，则每一次重复都包括ab次实验，并设实验重复次数n次，χijk表示A因素的第i水平，B因素第j水平和第k次重复的观察值数据将以下表的形式出现表2－7中A和B可以是固定因素，也可以是随机因素，因而引出三种不同的统计模型表2－7 两因素交互分组实验的一般格式因素B j＝1，2，…，b总计总计B1B2…Bb 因 素 A i ∥ 1， 2， ∶， aA1Χ111Χ112∶Χ11nΧ121Χ122∶Χ12n…Χ1b1Χ1b2∶Χ1bnΧ1··A2Χ211Χ212∶Χ21nΧ221Χ222∶Χ22n…Χ2b1Χ2b2∶Χ2bnΧ2··∶∶∶…∶∶AaΧa11Χa12∶Χa1nΧa21Χa22∶Χa2n…Χab1Χab2∶ΧabnΧa··总计总计Χ·1·Χ·2·…Χ·b·Χ1··表2－7中的各种符号做如下说明：ci··表 示A因素第i水平的所有观察值的和；c·j·表 示B因素第j水平的所有观察值的和；cij·表 示A的第i水平和B的第j水平的所有观察值 的和；c···表示所有观察值的综合。

用公式 表示为： 二、 固定效应模型1. 有重复实验时有重复实验时，观察值可以以下线性统计模型 描述：其中，m是总体效应；a i是A因素第i水平的真正 效应；bj是B因素第j水平的真正效应；（ab）i j 是在ai和bj之间的交互作用的效应；ei j k是随机误 差成份当两因素均为固定因素时，各处理效应 是距总平均效应的离差因此， 交互作用的效应也是固定的， eij是相互独立且服从N（0，s2）的随机变量 （2·24）因实验共有n次重复，所以实验的总次数为abn次 交互分组两因素固定效应模型的方差分 析的零假设为： 方差分析的基本思想仍然是将总平方和分解 于是，总平方和可分解为：由于A因素所 引起的平方和SSA ，B因素所引起的平方和 SSB，A、B交互作用所引起的平方和SSAB及 误差平方和SSe 分别是： 从(2·32)式可以看出，为了得到误差平方和，至少 要重复两次有了误差平方和，才能把误差与交互作用 分解开与每一平方和所相应的自由度为：A a－1B b－1AB交互作用 （a－1）（b－1）误差 ab（n－1）总和 abn－1其中总自由度、A因素自由度和B因素自 由度比较简单，分别为abn－1，a－１和b－1 。

交互作用的自由度，是两个因素全部水平的 组合数减1，再减A、B主效应自由度，即（ab －1）―（a―1）―（b―1）＝（a―1）（ b―1）误差自由度在每一因素组合内是 n－ 1，共有ab种组合，故为ab（n－1）各项的 均方分别为：两因素固定模型方差分析表如下：表2－8 固定模型方差分析表（因素A、B固定型） 变变差来源 平方和 自由度均 方 F 因 素A 因 素B 交互作用 AB 误误 差 SSA SSB SSABSSe ａ－1 ｂ－1(a-1)(b- 1)ab(n-1) MSAMSBMSAB MSe MSA／MSe MSB／MSe MSAB／ MSe总总 和 SSTabn-1实际计算时，可按下述方式进行 其中c2···／abn称为校正项，用C表示 为了得到SSAB需分两步计算首先，由重 复间的平均数，求出次总平方和（subtotal sum of squares）SSST， 这一平方和由三部分构成： 由此可以得出，AB交互作用平方和SSAB， 而 另一种计算交互作用平方和的方法，是通 过计算重复间平方和得到误差平方和，再由总平方和减去A因素、B因素及误 差平方和，剩余的便是交互作用平方。

例2.3 为了从三种不同原料和三种不同发酵 温度中，选出最适的条件，设计了一个两因素 试验并得到以下结果（表2－9）：表2－9 用不同原料与不同温度发酵的酒精产量原料种类类A温 度 B 30℃35℃40℃1234149232547595040433553501113252443383336553847446222618822181430332619在这个试验中，温度和原料均为固定因 素每一处理有4次重复因此可按上面叙述 过的方法分析将表中的每一数字均减去30 ，列成表2－10.1，由表2－10.1中，可以计算 出 及 表2－10.1 发酵实验方差分析计算表 原料 A温度 Bcij1cij2cij3cij4cij·c2ij·∑c2ijk12330354030354030354011-19-241713-221325019-1718298-8583-7-5-4203-122317-4-5-6-12106-162014-1118-47-487630-586164-12324220923045776900336437214096144556711800163027894811231174146∑＝8422838 7366利用χij·列列成表2－10.2。

表2－10.2 发酵实验方差分析表温 度 Bci··c2i·· 30 35 40原 1料 2A 318 -47 - 4876 30 - 5861 54 - 12-77 48 1135929 2304 12769c·j· c2·j· 155 47 - 118 24025 2209 1392484 4015821002由表2－10.2 中可以计算出 列成方差分析表： 表2－11 发酵实验方差分析表 变变差来源 平方和 自由度均 方 F 原料A 温度B AB 误误 差1554.17 3150.58 808.75 1656.502 2427777.09 1575.29 202.19 61.3512.67** 25.68** 3.30*总总 和7170.00 35** a＝0.01 * a＝0.05 原料和温度在α＝0.01水平上拒绝H0；交互 作用在α＝0.05水平上拒绝H0。

因此酒精的产量 不仅与原料与温度有关，而且与两者的交互作用 也有关三、 随机效应模型如果因素A和因素B都是随机因素，则构成 随机效应模型例如，将同一种作物种在不同 地块上，并施以不同数量的农家肥，考查不同 地块和不同施肥量对作物产量的影响不同地 块是随机选出来的，属随机因素农家肥的肥 力水平，是很难人为控制的，即使施用相同的 数量,其效应值也不会完全相同因此，肥料也 书随机因素随机效应模型的每一观察值，可用以下线 性统计模型描述： 零假设分别是： 方差分析的方法与固定模型的分析一样，分别计 算出SST、SSA、SSB和SS e对H03：s2a b＝0的检验统计量应当是（具(a－1) (b－1)，ab(n－1)自由度）： 与F(a－1) (b―1), ab ( n―1), a 做比较，当F＜Fa 时，接 受H03：s2a b＝0的假设；若F＞Fa ，拒绝H03：s2a b＝ 0的假设对H01：s2a＝0的假设，使用统计量（具(a－1)， (a－1) (b－1)自由度） 与F(a－1), (a―1) (b―1), a 做比较，当F＜Fa 时，接受 H01：s2a＝0的假设；若F＞Fa ，拒绝H01：s2a ＝0的 假设。

对H02：s2b＝0的假设，使用统计量（具 (b－1)，(a－1) (b－1)自由度）与F(b－1), (a―1) (b―1), a 做比较，当F＜Fa 时，接受H02：s2b＝0的假设；若F＞Fa ，拒绝H02：s2b ＝0的假设表2－14 随机效应模型方差分析表（因素A、B随机型）变变 差 来 源平方和自由度均 方F因 素 A 因 素 B 交互作用 AB 误误 差SSA SSB SSAB SS ea－1 b－1 (a－1)(b－ 1) ab(n－1)MSA MSB MSAB MS e MSA／MSAB MSB／MSAB MSAB／MS e 总总 和SST。