完整版阿氏圆问题归纳.doc

阿氏圆题型的解题方法和技巧以阿氏圆（阿波罗尼斯圆）为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现， 对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要 •具体内容如下：阿氏圆定理（全称：阿波罗尼斯圆定理），具体的描述：一动点 P到两定点A、B的距离之比等于定比 n（工1），则p点的轨迹，是以定比n内分和外分定线段 AB的两个分点的连线为直径的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现， 该圆称为阿波罗尼斯圆， 简称阿氏圆.定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的 PA+kPB （k丰1）P点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型 •PA+kPB,（k丰1）P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似【问题】在平面直角坐标系 xOy中，在x轴、y轴分别有点C（m, 0） , D（0, n）.点P是平面 内一动点，且 OP=r,求PC+kPD勺最小值.阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹 （圆），以点O为圆心、r为半径画圆；（若圆已经画出则可省#略这一步）第二步 第三步 第四步 第五步 第六步【补充连接动点至圆心O（将系数不为1 计算出所连接的这两条线段 计算这两条线段长度的比 k;在 OD上取点 M,使得 OM:OP=OP:OD=k连接CM与圆O交点即为点P.此时CM即所求的最小值.OP的线段的固定端点与圆心相连接 ），即连接OP ODOD长度；若能直接构造△相似计算的， 直接计算，不能直接构造△相似计算的， 先把k提到1括号外边，将其中一条线段的系数化成 1，再构造△相似进行计算习题【旋转隐圆】如图，在Rt△ ABC中，/ ACB=90 , D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转(旋转过程中始终保持点 M为BD的中点)，若AC=4, BC=3那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是 .21. Rt △ ABC中，/ ACB=90 , AC=4 BC=3 点 DABC内一动点，满足 CD=2 贝U AD+_ BD3的最小值为 .2. 如图，菱形 ABCD的边长为2，锐角大小为 60°,O A与BC相切于点E,在O A上任取一.■3点P,贝U PB+—PD的最小值为 .2【區匱同】 第1题 第2题3. 如图，已知菱形ABCD勺边长为4, / B=60°,圆B的半径为2, P为圆B上一动点，则PD+1-PC的最小值为 .24. 如图，点 A, B在O O上，OA=OB=12,OA_ OB点C是0A的中点，点 D在0B上，OD=10.动1点P在OO上，贝y PC+—PD的最小值为 .2一 一 1 一7. 如图，边长为4的正方形，点 P是正方形内部任意一点，且 BP=2,贝U PD』PC的最小值2为 ; <2 PD+4PC勺最小值为 .8. 在平面直角坐标系 xOy中，A(2 , 0) , B(0,2) , C(4, 0) , D(3, 2) , P是厶AOB外部的第一象限内一动点，且/ BPA=135 ,贝U 2PD+PC勺最小值是 .9.在厶 ABC中，AB=9 BC=84为半径作O C.AC=8,以C为圆心，(1)试判断O C与AB的位置关系，并说明理由；⑵点F是O C上一动点，点 D在AC上且CD=2试说明△ FCCHA ACF；1EF+— FA的最小值.211.(1)如图1，已知正方形 ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，1求PD+丄PC的最小值和2(2)如图2,已知正方形2么PD+— PC的最小值为31PD-丄PC的最大值；2ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点，那2 , PD-—PC的最大值为 .3,PD-1PC的最大值为⑶如图3,已知菱形 ABCD的边长为4,/ B=60°,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个1动点，那么PD+丄PC的最小值为22#2，P为圆上a nB 1c12•问题提出：如图 1，在Rt△ ABC中，/1一动点，连结 AP、BP,求AP+ BP的最小值.2(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP,在CB上取点CD cp 1 pd 1D,使 CD=1,则有——又•••/ PCD2 BCP •••△ PC3A BCP •' ,CP CB 2 BP 21 1• PD=_BP,「. AP+_BP=AP+PD2 21请你完成余下的思考，并直接写出答案： AP+ ' BP的最小值为2⑵自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下,1 AP+BP的最小值为3⑶ 拓展延伸：已知扇形 COD中，/ COD=90 , OC=6 OA=3 0B=5,点P是弧CD上一点，求 2PA+PB的最小值.3#【二次函数结合阿氏圆题型】13.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3 (a丰0)与x轴交于点 A (4, 0)，与y轴交于点B,在 x轴上有一动点E ( m 0)( 0< m< 4),过点E作x轴的垂线交直线 AB于点N,交抛物线 于点P,过点P作PML AB于点M(1)求a的值和直线AB的函数表达式；⑵设厶PMN勺周长为C1,A AEN的周长为C2,若C1 6，求m的值；C2 5⑶如图2,在(2)条件下，将线段 OE绕点O逆时针旋转得到 OE'，旋转角为a( 0°