高中数学数列知识点总结（2022年整理）.pdf

数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 1 1. 等差数列的定义与性质 定义：1nnaad+=（d为常数），()11naand=+ 等差中项：xA y， ，成等差数列2Axy=+ 前n项和()()11122nnaann nSnad+=+ 性质： na是等差数列 （1）若mnpq+=+，则mnpqaaaa+=+； （2） 数列12212,+nnnaaa仍为等差数列，232nnnnnSSSSS，仍为等差数列，公差为dn2； （3）若三个成等差数列，可设为adaad+， ， （4）若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，则2121mmmmaSbT= （5） na为等差数列2nSanbn=+（ab，为常数，是关于n的常数项为 0 的二次函数） nS的最值可求二次函数2nSanbn=+的最值；或者求出 na中的正、负分界项， 即：当100ad，解不等式组100nnaa+可得nS达到最大值时的n值. 当100ad，由100nnaa+可得nS达到最小值时的n值. (6)项数为偶数n2的等差数列 na，有 ),)()()(11122212为中间两项+=+=+=nnnnnnnaaaanaanaanS ndSS=奇偶，1+=nnaaSS偶奇. （7）项数为奇数12 n的等差数列 na，有 )() 12(12为中间项nnnaanS=， naSS=偶奇，1=nnSS偶奇. 数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 2 2. 等比数列的定义与性质 定义：1nnaqa+=（q为常数，0q ），11nnaaq=. 等比中项：xGy、 、成等比数列2Gxy=，或Gxy= . 前n项和：()11(1)1(1)1nnna qSaq=（要注意！） 性质： na是等比数列 （1）若mnpq+=+，则mnpqaaaa= （2）232nnnnnSSSSS，仍为等比数列,公比为nq. 注意注意：由nS求na时应注意什么？ 1n =时，11aS=； 2n 时，1nnnaSS=. 3求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法 如：数列 na，12211125222nnaaan+=+，求na （2）叠乘法 如：数列 na中，1131nnanaan+=+，求na （3）等差型递推公式 由110( )nnaaf naa=，求na，用迭加法 数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 3 练习数列 na中，()111132nnnaaan=+，求na（()1312nna =） （4）等比型递推公式 1nnacad=+（cd、为常数，010ccd，） 可转化为等比数列，设()()111nnnnaxc axacacx+=+=+ 令(1)cxd=，1dxc=，1ndac+是首项为11dacc+，为公比的等比数列 1111nnddaaccc+=+，1111nnddaaccc=+ （5）倒数法 如：11212nnnaaaa+=+，求na 附： 公式法、利用1(2)1(1)nnSSnS nna=、累加法、累乘法.构造等差或等比1nnapaq+=+或1( )nnapaf n+=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法 ) 4. 求数列前 n 项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如： na是公差为d的等差数列，求111nkkka a=+ （2）错位相减法 若 na为等差数列， nb为等比数列，求数列n na b（差比数列）前n项和，可由nnSqS，求nS，其中q为 nb的公比. 数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 4 如：2311234nnSxxxnx= + ()23412341nnnx Sxxxxnxnx=+ ()2111nnnx Sxxxnx= + + 1x 时，()()2111nnnxnxSxx=，1x =时，()11232nn nSn+= + += （3）倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 121121nnnnnnSaaaaSaaaa=+=+相加() ()()12112nnnnSaaaaaa=+ 练习已知22( )1xf xx=+，则 111(1)(2)(3)(4)234fffffff += (附： a.用倒序相加法求数列的前 n 项和 如果一个数列an，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前 n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法” b.用公式法求数列的前 n 项和 对等差数列、等比数列，求前 n 项和 Sn可直接用等差、等比数列的前 n 项和公式进行求解运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算 c.用裂项相消法求数列的前 n 项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n 项和 d.用错位相减法求数列的前 n 项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法， 应用于等比数列与等差数列相乘的形式 即若在数列an bn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和 e.用迭加法求数列的前 n 项和 迭加法主要应用于数列an满足 an+1=an+f(n)，其中 f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成 an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出 an ，从而求出 Sn。

f.用分组求和法求数列的前 n 项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 5 分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并 g.用构造法求数列的前 n 项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前 n 项和。