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完整word版)函数奇偶性的六类经典题型 奇偶性 类型一：判断奇偶性[例1] 判断下列函数奇偶性（1）（且)（2）（3）(4）（5）解：(1）且∴ 奇函数(2），关于原点对称∴ 奇函数    （3)，关于原点对称      ∴ 既奇又偶（4）考虑特殊情况验证:   ；     无意义  ;  ∴ 非奇非偶（5）且,关于原点对称 ∴ 为偶函数类型二：根据奇偶性求解析式1函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时，f（x)＝＋1，则当x<0时,f(x)＝________解析:∵f（x）为奇函数，x〉0时,f(x）＝＋1，∴当x〈0时,－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－（＋1），即x<0时，f(x)＝－(＋1）＝－－1答案:－－12.求函数的解析式（1）为R上奇函数，时，，解：时，   ∴ ∴ （2）为R上偶函数,时，解：时，∴ 类型三：根据奇偶性求参数1.若函数f（x）= xln（x+）为偶函数,则a= 【解题指南】f（x)= xln(x+）为偶函数，即是奇函数，利用确定的值解析】由题知是奇函数，所以=，解得=1.答案：1。

2函数f(x)＝为奇函数,则a＝______.解析：由题意知，g(x)＝（x＋1）(x＋a）为偶函数，∴a＝－1答案：－13.已知f（x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其定义域为［6a－1，a]，则a＋b＝（　　）A.　　　　　　　 　B．－1C．1 D．7解析：选A　因为偶函数的定义域关于原点对称,所以6a－1＋a＝0，所以a＝又f（x)为偶函数，所以3a(－x）2－bx－5a＋b＝3ax2＋bx－5a＋b，解得b＝0,所以a＋b＝.4若函数f(x)＝－|x＋a|为偶函数，则实数a＝______ （特殊值法）解析：由题意知,函数f（x)＝－｜x＋a｜为偶函数，则f（1)＝f（－1)，∴1－｜1＋a｜＝1－｜－1＋a｜，∴a＝0答案：05已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________待定系数法)解析：当x>0时，－x<0,由题意得f（－x）＝－f（x）,所以x2－x＝－ax2－bx，从而a＝－1，b＝1,a＋b＝0.答案：061），为何值时，为奇函数；(2）为何值时,为偶函数答案：（1）（恒等定理）∴ 时,奇函数（2）   ∴    （恒等定理)∴ ∴    7.已知定义域为的函数是奇函数。

Ⅰ）求的值；（特殊值法）(Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立,求的取值范围；解析：(Ⅰ）简 解：取特殊值法因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）= - f（—1)知(Ⅱ)由（Ⅰ）知，易知在上为减函数又因是奇函数，从而不等式： 等价于,因为减函数，由上式推得：．即对一切有：,从而判别式类型四：范围问题1.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a），则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－1）∪(2，＋∞） B．(－1，2）C．(－2，1） D．(－∞，－2)∪（1，＋∞）解析：选C　∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，f（x)＝－x2＋2x作出函数f(x）的大致图象如图中实线所示,结合图象可知f（x）是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.2.定义在R上的奇函数y＝f(x)在（0，＋∞）上递增，且f ＝0，则满足f(x）〉0的x的集合为________．解析：由奇函数y＝f(x）在（0,＋∞）上递增，且f ＝0，得函数y＝f（x)在（－∞，0)上递增，且f ＝0,∴f(x）〉0时，x〉或－〈x<0.即满足f(x）>0的x的集合为.答案：3。

已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时,g（x)＝－ln（1－x），函数f(x）＝若f（2－x2)〉f（x)，则实数x的取值范围是(　　)A．(－∞，1）∪（2，＋∞)　　 　B．(－∞,－2)∪(1，＋∞)C．（1，2） D．（－2,1)解析:选D　设x>0,则－x<0∵x〈0时,g（x)＝－ln（1－x)，∴g（－x）＝－ln(1＋x）．又∵g（x）是奇函数，∴g（x）＝ln(1＋x）(x>0)，∴f(x）＝其图象如图所示．由图象知，函数f(x)在R上是增函数．∵f(2－x2)〉f(x)，∴2－x2>x，即－2

设x＞0，则－x＜0，所以f（x)＝－f(－x）＝－［（－x)2＋3(－x)＋2]＝－x2＋3x－2.所以在［1，3］上,当x＝时，f(x）max＝；当x＝3时,f（x)min＝－2所以m≥且n≤－2.故m－n≥已知f(x)是定义在[－2,2］上的奇函数，且当x∈(0,2]时,f(x）＝2x－1，又已知函数g(x)＝x2－2x＋m如果对于任意的x1∈[－2，2],都存在x2∈[－2，2],使得g（x2）＝f(x1)，那么实数m的取值范围是____________．解析　由题意知，当x∈［－2，2]时，f(x)的值域为［－3,3］．因为对任意的x1∈[－2,2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2）＝f（x1)，所以此时g(x2)的值域要包含[－3,3]．又因为g(x)max＝g（－2），g(x)min＝g（1),所以g（1）≤－3且g(－2）≥3，解得－5≤m≤－2.类型五：奇偶性+周期性1f(x)是定义在R上的奇函数，满足f（x＋2)＝f(x)，当x∈（0，1)时，f(x）＝2x－2，则f（6）的值等于(　　)．A．－ B．－ C. D．－解析：f(6)＝－f（－6）＝－f(log26)＝－f(log26－2）＝－（2log26－2－2)＝－＝，故选C。

2. 定义在R上的偶函数f(x）满足对任意x∈R，都有f（x＋8)＝f(x)＋f（4),且x∈［0,4]时，f（x)＝4－x，则f(2 011)的值为__________．解析:f(4)＝0，∴f（x＋8)＝f（x）,∴T＝8，∴f（2 011）＝f（3)＝4－3＝1类型六：求值1.已知函数f（x)是定义在(－2,2）上的奇函数，当x∈（0,2)时，f(x)＝2x－1，则f的值为（　　）A．－2 B．－ C．2 D.－1解析：当x∈(－2,0）时,－x∈(0,2)，又∵当x∈(0,2)时，f(x)＝2x－1，∴f（－x)＝2－x－1，又因为函数f（x)是定义在(－2，2）上的奇函数，∴f(－x）＝－f(x）＝2－x－1，∴x∈(－2,0)时，f（x）＝1－∵－2＜log2＜0，∴f(log2）＝1－＝－2.故选A答案：A2.已知f（x)为奇函数，g（x）＝f(x)＋9,g（－2)＝3，则f（2）＝__________.解析:根据已知g（－2)＝f（－2）＋9，即3＝－f（2)＋9，即f（2）＝6答案：63.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x）＝x＋ex（e为自然对数的底数）,则f(ln 6）的值为________．由f(x)是奇函数得f（ln 6)＝－f（－ln 6)＝－(－ln 6）－e－ln 6＝ln 6－。

答案：ln 6－4.已知函数存在最大值M和最小值N， 则M＋N的值为__________．5设函数，若函数的最大值是M,最小值是m，则________.分析：本题是一道自编题，学生不假思索就会想到对求导.事实上,理科学生，求导得,无法找到极值点，而文科学生不会对这个函数求导因此，须从考察函数的性质下手，事实上，令，易求得,所以是奇函数,所以的最大值与最小值之和是0，从而的最大值与最小值之和是6 答案是:6.6已知定义域为R的函数 （a、b∈R）有最大值和最小值,且最大值与最小值的和为6，则A. 1 B 2 C. 3 D 4【答案】C【解析】试题分析:由已知，注意到是奇函数，，所以,所以。