高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.4二面角及其度量课堂导学案新.doc

3.2.4 二面角及其度量课堂导学三点剖析一、利用三垂线定理及逆定理作二面角的平面角【例1】 三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=,SB=,求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小.解：∵∠SAB=∠SAC=90°，∴SA⊥面ABC.∴AC为SC在底面ABC上的射影.又∠ACB=90°，∴SC⊥BC.∴∠SCA为二面角S-BC-A的平面角.在Rt△SCB中，SC=.在Rt△SAC中，由AC=2，SC=4，得cos∠SCA=.∴∠SCA=60°.即侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小为60°.温馨提示 本题考查三垂线定理、线面垂直的判定、二面角度数的计算.其解法提供了一个用三垂线定理及其逆定理来作二面角平面角的方法.其作法是：从半平面上一点P作另一个半平面的垂线段PA，A为垂足，由P向棱作垂直相交的直线PB，B为垂足，边AB，则∠PBA为所求二面角的平面角（也可由A作AB与棱垂直，连BP），用这种作法就得寻找题目中有没有半平面的垂线、有没有棱的垂线，看能不能可利用.二、利用定义求二面角平面角【例2】在四面体S-ABC中，已知SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以△BDE与△BDC为面的二面角的大小.分析：求二面角的大小，关键是找出二面角的平面角，利用题设条件，结合线面垂直和线线垂直的有关定理即可确定所求二面角的平面角，并在相应的三角形中求出其大小.解：∵SB=BC且E是SC的中点（如右图），∴SC⊥BE，又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，∴SC⊥平面BDE.∴SC⊥BD.又SA⊥底面ABC，BD面ABC，∴SA⊥BD.而SA∩SC=S，∴BD⊥平面SAC.∵面SAC∩面BDE=DE，∴BD⊥DE，BD⊥DC.∴∠EDC为所求二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC，设SA=a，则AB=a,BC=SB=a,又AB⊥BC，∴AC=a,在Rt△SAC中，tan∠ACS，∴∠ACS=30°.又已知DE⊥SC，∴∠FDC=60°，即所求二面角的大小为60°.温馨提示 求作二面角的平面角的方法较多，本题采用的实质上找到一个与棱BD垂直的平面EDC，而此时正好DE、DC分别在二面角的两个面上,由此根据平面角定义便知，∠EDC为二面角的平面角.三、利用向量求二面角的平面角【例3】 如右图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为m的正方形，侧棱AA1的长为n,且∠A1AB=∠A1AD=120°，求二面角A1-AB-D的余弦值.解：如下图，过A1作A1E⊥BA交BA的延长线于点E，∵ABCD为正方形，∴AD⊥AB，则向量与所成的角的大小即为二面角A1-AB-D的大小.∵,∴=||·||·cos〈,〉+||·| |·cos〈,〉=nm·cos120°+0=mn.∵∠A1AB=120°,∠A1AE=60°,又A1A=n,∴AE=n,A1E=n.∵||=n,||=m,∴cos〈,〉==∴二面角A1-AB-C的余弦值为.温馨提示 将二面角转化为两个面的法向量所成的角或其补角，通过建立空间直角坐标系来解决. 利用两个向量的数量积运算求其夹角.此时要注意平面的法向量有两种指向，应结合图形决定取向，或由图形决定两个法向量所成的角与二面角是相等还是互补.各个击破类题演练 1 如右图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G.求二面角B1-EF-B的大小.解：∵AC⊥BD,EF∥AC,则BG⊥EF,又B1B⊥面 AC,则B1G⊥EF,∠B1GB是二面角B1-EF-B的平面角.BG=BD=a,tan∠B1GB=22.∴二面角B1-EF-B的正切值为.变式提升 1 △ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=120°，求二面角A-BD-C的正切值.解：作OE⊥BD于E,连AE,由三垂线定理可得BD⊥AE.∴∠AEO就是二面角A-BD-C的平面角的补角.在Rt△ABO中,∵∠ABO=60°,∴AO=AB·sin60°=AB,OB=AB,在Rt△BOE中,∵∠EBO=60°，∴OE=OB·sin60°=AB.在Rt△AOE中,tan∠AEO==2.∴二面角A-BD-C的正切值为-2.类题演练 2 已知∠AOB=90°,过点O引∠AOB所在平面的斜线OC与OA、OB分别成45°、60°的角，求二面角A-OCB的大小.解：在OC上任取一点D,在面COB内作DE⊥OC,在面AOC内作DF⊥OC交OA于F,则∠EDF为二面角A-OC-B的平面角,连结EF,设OD=a,∵∠DOF=45°,DF=a,OF=a,又∠DOE=60°,∴DE=a,OE=2a.∴EF=a,cos∠EDF=.∴二面角A-OC-B的大小为π-arccos.变式提升 2 过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB=α，求二面角B-PC-D的大小.解:∵PA⊥平面ABCD,BD⊥AC,∴BD⊥PC.在平面PBC内作BE⊥PC于E,连结DE,得PC⊥平面BED,从而DE⊥PC,即∠BED是二面角B-PC-D的平面角.在Rt△PAB中,由PA=AB=a，得PB=a.∵PA⊥平面ABCD,BC⊥AB,∴BC⊥PB,∴PC==a.在Rt△PBC中，BE=a.同理DE=a.在△BDE中,cos∠BED==-.则二面角B-PC-D为120°.类题演练 3 如右图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=2，AA1=2，∠ACB=90°,M是AA1的中点，N是BC1中点.求二面角B-C1M-A1的大小.解:三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,∴CC1⊥BC,又∠ACB=90°,∴BC⊥平面A1MC1,=(-2,0,0),设垂直于平面BMC1的向量n=(a,b,1),=(-2,0,2),=(-2,2,),∴n·=0,n·=0,即解得a=,b=.∴n=(,,1).cos〈,n〉==,即二面角B-C1M-A1的大小为π-arccos.变式提升3 如右图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形.(1)求证：AD⊥BC；（2）求二面角B-AC-D的大小.答案：(1)证明:作AH⊥面BCD于H,连BH、CH、DH,则四边形BHCD是正方形,且AH=1,以D为原点,以DB为x轴,DC为y轴建立空间直角坐标系如右图,则B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1).=(-1,1,0),=(1,1,1),∴·=0,则BC⊥AD.(2)解:设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),则由n1⊥知n1·=-x+y=0;同理由n1⊥知n1·=x+z=0.可取n1=(1,1,-1).同理,可求得平面ACD的一个法向量为n2=(1,0,-1).由图可以看出,二面角B-AC-D的大小应等于〈n1,n2〉,则cos〈n1,n2〉= =,即所求二面角的大小是arccos.7。