简单的线性规划求最优解.doc

教你如何做出最佳选择——简单的线性规划求最优解性约束条件下，求线性目标函数最值问题，称为“线性规划”目标函数z = f （x, y）取得最值时，变量x, y的对应解（x, y）称为最优解若x, y g Z时，z取得最值，称（x, y）为最优整数解，简称整解点（x, y）的横、纵坐标都是整数， 称为整点求最优整解问题出现在高中数学新教材中，常见的实际应用题型有两种，（1） 给出一定数量的人力、物力资源，问怎样安排能使完成的任务量最大，收益最大； （2）给出一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务投入的人力、物力最 小因为研究的对象是人、物等个体，故x,y往往是整数，较x,y不是整数时求 解困难，所以这是一个应用数学知识解决实际问题的新难点，加之教材介绍较为 笼统简略，对教师和学生的理解掌握造成了一定的困难，针对这一问题，总结两 种寻找最优整解的方法与大家探讨这两种求解方法分别是：调整优值法（简称调值法）、枚举整点法（简称枚举 法）调值法是先求非整点最优解，再借助不定方程，调整最优解，最后筛选出 最优解；枚举法，因为取得最值的整点分布在可行域内，可从x,y中选取系数的 绝对值较大的一个对其逐一取值，以此为标准分类讨论，取得另一变量的最值， 代入目标函数，比较函数值大小，找到最优解。

下面通过几个典型例题，介绍一下这几种方法的具体运用例 1（调整优值法）要将两种大小不同的钢板截成 A、 B、 C 三种规格，每张 钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型 钢板类亦A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解析：设需要第一种钢板x张，第二种钢板y张，钢板总数z张，则2 x + y > 15目标函数 z = x + yx + 2 y > 18x + 3 y > 27x e N, y e N作出可行域如图所示，作出直线x + y = 0作出一组平行直线x + y = t （其中t为参数）2s+y=15 s+2y=18其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x + 3y二27和直线15的交点a（¥，39）57直线方程为x+y二丁x，y 必须都是整数，所以，可由于£和39都不是整数，而最优解（x, y ）中,行域内点a（¥，3|）不是最优解经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），且与原点距离最近 的直线是x + y = 12。

经过的整点是 B（3， 9）和 C（4， 8），它们是最优解故要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两 种，第一种截法是截第一种钢板 3 张、第二种钢板 9 张；第二种截法是截第一种 钢板 4 张、第二种钢板 8 张两种方法都最少要截两种钢板共 12 张点评：在解线性规划问题时，常有一些实际问题需要变量取整数解时才有实 际意义，而当可行域中的最优解不是整数解时，需作出可行域的整点作出判断 当直接观察比较困难时，应对可能的情况进行检验线性规划整数解问题的一般 处理方法是：若区域“顶点”处恰为整点，那么它的最优解在“顶点”处取得（在 包括边界的情况下）；若区域的“顶点”不是整数点也不包括边界时，可以先算 出目标函数 z 的值，在可行域内适当放缩目标函数的值，使他为整数，且与 z 最接近，在 这条对应的直线，取可行域内的整点如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止这种方法称为调整优值法也可以通过画出网格，平移直线，运用图解法求得例 2(枚举法) 某人有楼房一栋，室内面积共 180 m2 ,拟分隔成两类房间作为 旅游客房，大房间每间面积为 18 m2 ，可住游客 5 名，每名游客每天住宿费为 40 元，小房间每间面积为 15 m2 ，可住旅客 3 名，每名游客每天住宿费为 50 元， 装修大房间每间需 1000 元，装修小房间每间需 600 元，如果他只能筹款 8000元 用于装修，且假设游客能住满客房，它隔出大房间和小房间各多少间会获得最大 收益？最大收益是多少？解：设隔出大、小房间分别为X间，y间，收益为f元,16x + 5 y ? 6015 x + 3 y ? 40则 f = 200x + 150y，其中 x, y 满足i(x3 0y 3 0如图所示，由图解法易得f = 200x + 150y，过点響，爭壬时，目标函数f取得最 大值。

但x, y必须是整数，还需在可行区域内找出使目标函数f取得最大值的整 点显然目标函数 f 取得最大值的整点一定是分布在可行区域的右上侧，则利用枚举法即可求出整点最优值这些整点有： (0, 12), (1, 10),(2, 9), (3, 8), (4, 6),(5, 5), (6, 3), (7,1 ), (8, 0),分别代入f = 200x + 150y逐一验证，当取整点(0, 12)或(3, 8)时，获得最大收益所以获得最大收益有两种方案：I•只隔出小房间12间II.隔出大房间3间，小房间8间，最大收益均为1800元注：如果把装修考虑在内，则选择第一方案好枚举整点法的主要步骤是验算-筛选，而优值调整法更注重推理计算它们的共同步骤是： 1. 建模(审题、设元、列式)， 2.求解(画图、移线、求解)3.检验（还原）总之，对于线性规划实际应用题，应采用数形结合的思想来分析、解答，各种方法各有利弊，在使用时要根据题设条件选用适当的方法解答。