湖南省岳阳市达标名校2025年高二数学第一学期期末考试试题含解析.doc

湖南省岳阳市达标名校2025年高二数学第一学期期末考试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内写在试题卷、草稿纸上均无效2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（）.A. B.C. D.2．已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为，则双曲线的离心率为A.或 B.或C.或 D.或3．若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.4．若且，则下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.5．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.6．点M在圆上，点N在直线上，则|MN|的最小值是（）A. B.C. D.17．在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（）A.不存在点使得异面直线与所成角为90°B.存在点使得异面直线与所成角为45°C.存在点使得二面角的平面角为45°D.当时，平面截正方体所得的截面面积为8．已知椭圆的右焦点为，则正数的值是（ ）A.3 B.4C.9 D.219．三个实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A. B.C.或 D.或10．直线的倾斜角为（　　）A.150° B.120°C.60° D.30°11．和的等差中项与等比中项分别为（）A.， B.2，C.， D.1，12．在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（ ）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．命题“”的否定为_____________.14．教育部门对某校学生的阅读素养进行调研，在该校随机抽取了100 名学生进 行百分制检测，现将所得的成绩按照 ，分成 6 组，并根据所得数据作出了频率分布直方图 (如图所示)，则成绩在这组的学生人数是________.15．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为___________.16．若函数在x=1处的切线与直线y=kx平行，则实数k=___________.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）如图，四边形是一块边长为4km正方形地域，地域内有一条河流，其经过的路线是以中点为顶点且开口向右的抛物线的一部分（河流宽度忽略不计），某公司准备投资一个大型矩形游乐场.（1）设，矩形游乐园的面积为，求与之间的函数关系；（2）试求游乐园面积的最大值.18．（12分）已知，命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立；（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若为真命题，求a的取值范围19．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）88.28.48.68.89销量y（件）908483807568（1）求回归直线方程中的实数；（2）根据回归方程预测当单价为10元时的销量.20．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，直线BC与平面PCD所成角的正弦值为.（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，且过点（1）求椭圆C的方程；（2）已知过的直线l交椭圆C于A、B两点，试探究在平面内是否存在定点Q，使得是一个确定的常数？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由22．（10分）已知圆，直线的斜率为2，且过点（1）判断与的位置关系；（2）若圆，求圆与圆的公共弦长参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、A【解析】设双曲线的左焦点为，连接、，求得、，利用双曲线的定义可得出关于、的等式，即可求得双曲线的离心率.【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，如下图所示：由题意可知，点为的中点，也为的中点，且，则四边形为矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性质可得，故为等边三角形，故，所以，，由双曲线的定义可得，所以，.故选：A.2、B【解析】分双曲线的焦点在轴上和在轴上两种情况讨论，求出的值，利用可求得双曲线的离心率的值.【详解】若焦点在轴上，则有，则双曲线的离心率为；若焦点在轴上，则有，则，则双曲线的离心率为.综上所述，双曲线的离心率为或.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，在双曲线的焦点位置不确定的情况下，要对双曲线的焦点位置进行分类讨论，考查计算能力，属于基础题.3、B【解析】由题意可知且，构造函数，可得出，由函数的单调性可得出，利用导数求出函数的最小值，可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为，则且，由已知可得，构造函数，其中，，所以，函数为上的增函数，由已知，所以，，可得，构造函数，其中，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则，所以，，解得.故选：B.4、D【解析】根据不等式的性质即可判断.【详解】对于A，若，则不等式不成立；对于B，若，则不等式不成立；对于C，若均为负值，则不等式不成立；对于D，不等号的两边同乘负值，不等号的方向改变，故正确；故选：D【点睛】本题主要考查不等式的性质，需熟练掌握性质，属于基础题.5、B【解析】求出的值，可得出双曲线的渐近线方程.【详解】由已知可得，因此，该双曲线的渐近线方程为.故选：B.6、C【解析】根据题意可知圆心，又由于线外一点到已知直线的垂线段最短，结合点到直线的距离公式，即可求出结果.【详解】由题意可知，圆心，半径为，所以圆心到的距离为，所以的最小值为.故选：C.7、D【解析】由正方体的性质可将异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，而当为的中点时，可得，可判断A；与或重合时，直线与所成的角最小可判断B；当与重合时，二面角的平面角最小，通过计算可判断C；过作，交于，交于点，由题意可得四边形即为平面截正方体所得的截面，且四边形是等腰梯形，然后利用已知数据计算即可判断D.【详解】异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，当为中点时，，此时与所成的角为90°，所以A错误；当与或重合时，直线与所成角最小，为60°，所以B错误；当与重合时，二面角的平面角最小，，所以，所以C错误；对于D，过作，交于，交于点，因为，所以、分别是、的中点，又，所以，四边形即为平面截正方体所得的截面，因为，且，所以四边形是等腰梯形，作交于点，所以，，所以梯形的面积为，所以D正确.故选：D.8、A【解析】由直接可得.【详解】由题知，所以，因为，所以.故选：A9、D【解析】根据三个实数构成一个等比数列，解得，然后分，讨论求解.【详解】因为三个实数构成一个等比数列，所以，解得，当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆，所以，所以，当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，所以，所以，故选：D10、D【解析】由斜率得倾斜角【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为30°.故选：D11、C【解析】根据等差中项和等比中项的概念分别求值即可.【详解】和的等差中项为，和的等比中项为.故选：C.12、B【解析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.【详解】因为，则，解得.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、【解析】根据特称命题的否定是全称命题，可得结果.【详解】由特称命题否定是全称命题，故条件不变，否定结论所以“”的否定为“”故答案为：【点睛】本题主要考查特称命题的否定是全称命题，属基础题.14、20【解析】根据频率分布直方图求出成绩在这组的频率，从而可得出答案.【详解】解：由频率分布直方图可知，成绩在这组的频率为，所以成绩在这组的学生人数为（人）.故答案为：20.15、【解析】先求出直线经过的定点，再求出圆心到定点的距离，数形结合即得解.【详解】由题得，所以直线经过定点，圆的圆心为，半径为.圆心到定点的距离为，当时，取得最小值，且最小值为.故答案为：816、2【解析】由题可求函数的导数，再利用导数的几何意义即求.【详解】∵，∴，，又函数在x=1处的切线与直线y=kx平行，∴.故答案为：2.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（1） （2）【解析】（1）首先建立直角坐标系，求出抛物线的方程，利用，求出点的坐标，表示出的面积为即可；（2）利用导数求函数的最值即可.【小问1详解】以为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立直角坐标系，则，设抛物线的方程为，将点代入方程可得，解得，则抛物线方程为，由已知得，则点的纵坐标为，点的横坐标为，则，【小问2详解】，令，解得，当时，，所以函数在上单调递增，当时，，所以函数在上单调递减，因此函数时，有最大值，18、（1）（2）【解析】（1）利用判别式可求的取值范围，注意就是否为零分类讨论；（2）根据题设可得真或真，后者可用参变分离求出的取值范围，结合（1）可求的取值范围.【小问1详解】当p为真命题时，当时，不等式显然成立；当时，解得，故a取值范围为.【小问2详解】当q为真命题时，问题等价于存在，使得不等式成立，即，∵，当且仅当x=1时等号成立，∴因为为真命题，所以真或真，故a的取值范围是19、（1）250.（2）50（件）.【解析】(1)数据的平均值一定在回归直线上；(2)将x=10代入回归方程即可.【小问1详解】由表中数据可得，，，代入，解得.【小问2详解】由（1）得，故单价为10元时，.当单价为10元时销量为50件.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）取的中点，连接，证明，由线面垂直的判定定理可证明平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论，（2）过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，先根据直线BC与平面PCD所成角的正弦值为，求出，然后再求出平面PAB的法向量，利用向量的夹角公式可求得结果【小问1详解】证明：取的中点，连接，因为AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，所以，∥，所以四边形为平行四边形，所以，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，【小问2详解】过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形中，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，则，所以设。