第4章平面弯曲.ppt

1,第4章 平面弯曲,简单超静定梁的求解,平面弯曲计算,压杆的稳定性简介,2,4.1 平面弯曲的概念和实例,4.2 平面弯曲的内力,4.3 平面弯曲的正应力计算,4.4 平面弯曲的变形计算,第 4 章 平 面 弯 曲,目录,4.5 简单梁超静定求解,4.6 压杆稳定性简介,3,4.1 平面弯曲的概念和实例,桥式起重机,1,(1)实例：,4,火车轮轴,5,(2)基本概念,在工程中最常遇见的梁，它的横截面都具有一对称轴y－y，见下图6,,纵向对称面：由对称轴和梁的轴线组成的平面， 称为纵向对称面平面弯曲：梁在变形后其轴线是在对称平面内的 一条平面曲线7,载荷类型:,1)集中载荷,8,①均布载荷,2)分布载荷,②非均布载荷,3)集中力偶,集中力偶是作用在纵向平面内的力偶矩9,梁：工程上把以弯曲变形为主要变形的构件统称为梁,静定梁的基本形式:,静定梁：梁的所有支座反力均可由静力平衡方程确定1)简支梁： 一端为固定铰支座，而另一端为可动铰支座的梁10,2)悬臂梁： 一端为固定端，另一端为自由端的梁3)外伸梁： 简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁11,3,4.2 平面弯曲的内力分析,4.2.1 剪力和弯矩,图4-5 梁的弯曲内力,(1)求两端支座的约束反力,，,，,所以,12,剪力,求内力的方法：截、取、代、平。

弯矩,(2)横截面上的内力：包括剪力Q和弯矩M,,对截面m-m上的形心O取矩，得：,13,按照同样方法，在2-2处将梁截开为左右两部分，仍取左段为分离体，就可求出2-2截面上的内力及内力矩14,(3)剪力和弯矩的符号,截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负左上右下为正；反之为负,左顺右逆为正；反之为负,15,4.2.2 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,剪力和弯矩沿着梁轴分布的数学表达式:,(1)剪力方程和弯矩方程,Q=Q(x) M=M(x),(2)剪力方程和弯矩图,以X为横坐标，剪力Q为纵坐标→Q—X图 以X为横坐标，弯矩M为纵坐标→M—X图16,[例4-1] 试作出图4-7(a)所示简支梁的剪力图和弯矩图解：首先求出两支座反力为：,，,,以梁左端（A点）为坐标原点，建立坐标如图(a)所示17,(2)求AC段的剪力方程和弯矩方程,,(0＜x＜a),(0≤x≤a),(3)列出CB段内的剪力方程和弯矩方程,,(a＜x＜l),(a≤x≤l),18,,图4-8 例4-2图,[例4-2] 试作出图4-8所示简支梁的剪力图和弯矩图。

解：首先求出两支座反力分别为：,取距原点为x的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下：,(a＜x＜l),(a≤x≤l),19,悬臂梁,20,载荷集度、剪力和弯矩关系：,1) q＝0，Fs=常数， 剪力图为直线； M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线2)q＝常数，Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线 分布载荷向上（q 0），抛物线呈凹形； 分布载荷向上（q 0），抛物线呈凸形3)剪力Fs=0处，弯矩取极值4)集中力作用处，剪力图突变； 集中力偶作用处，弯矩图突变21,4.3 平面弯曲的正应力,纯弯曲：梁的横截面上没有剪力作用，只有 弯矩作用的弯曲称为纯弯曲22,4.3.1 纯弯曲时的正应力计算,(1)变形几何关系,1)横线(m-m,n-n)仍是直线，只是发生相对转动，但仍与纵线(a-a，b-b)正交 2) 纵线(a-a,b-b)弯曲成曲线，且梁的一侧伸长，另一侧缩短图4-10 纯弯曲梁的变形特点,纯弯曲梁的变形特点,23,中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴中性层：既不伸长，也不缩短的纵向纤维称为中性层24,图4-12 梁的弯曲变形,梁的弯曲变形,,,,25,(2)物理关系,,横截面正应力分布规律,（4-5）,26,(3)静力关系,,,,,设：,,有：,联立式(4-5)和式(4-6)，消去1/ρ，得：,,(4-6),,27,,令,,横截面上的任一点的正应力计算公式:,最大正应力发生在距中性轴最远处:,令,抗弯截面模量,横截面上的最大正应力计算公式：,28,4.3.2 常用横截面的轴惯性矩和抗弯截面模量的计算,(1)矩形截面,,29,(2)圆形截面,,,(3)圆环形截面,（4-13）,内径为d 外径为D,=d/D,30,该式适用于弹性变形阶段,4.3.3 弯曲正应力强度条件强度条件,横截面上最大应力即上下边缘应力,沿梁轴线最大弯矩,31,对于型钢和钢管： 一般采用轴向拉伸时所确定的许用应力。

对于实心梁： 因有材料储备， 可略高18~20% 如果材料是铸铁： 其拉压许用应力不相等，应分别求出最 大拉应力和最大压应力，分别校核强度32,作弯矩图，寻找需要校核的截面,要同时满足,分析：,非对称截面，要寻找中性轴位置,33,(1)强度校核,(2)设计截面,(3)计算许用载荷,,34,[例4-3] 矩形截面简支梁AB的尺寸和所受载荷如图4-17(a)所示，试求：(1)最大弯曲正应力及其所在位置；(2)在D、E两点的弯曲正应力图4-17 例4-3图,解：(1)首先求出两支座反力分别为： RA=19kN，RB=9kN,Mmax=18 kN·m 位于集中力作用处所在截面35,(2)D、E两点所在截面的弯矩分别为：,,,由于是等截面梁，整个梁各截面的惯性矩都是一样的，则：,,(拉应力),(压应力),36,[例4-4] 若例4-3所示外伸梁的横截面为实心圆，试设计其直径已知该梁所用材料的弯曲许用应力[σ]=160MPa 解：由例4-3可知，该梁的最大弯矩Mmax=28kN·m由于该梁为等截面梁，故危险截面为最大弯矩所在截面，由强度条件得：,则,若仅从强度方面来考虑，可取d=122mm， 若考虑腐蚀，可适当地将直径取得大一些，如取d=125mm。

37,4.3.4 提高梁弯曲强度的措施,(1)合理布置支座,38,工程实例,39,(2)合理布置载荷,40,,改善集中载荷分布:,41,改善均布载荷分布:,42,(3)合理选择梁的横截面形状,竖放,横放,竖放比平放有较高的抗弯能力,43,，所以竖放比平放有较高的抗弯能力,常见的截面W／A值,44,等强度梁,45,提高抗弯截面模量:,46,4.4.1 梁弯曲变形的度量---挠度和转角,4.4 平面弯曲的变形计算,变形：梁变形前后形状的变化称为变形位移：梁变形前后位置的变化称为位移 位移包括线位移和角位移47,图4-19 梁的挠度与转角,线位移－－挠度y 角位移－－转角θ,y=f(x),挠曲线:,规定：转角θ以逆时针转向为正，顺时针转向为负48,挠曲线上任一点的斜率为：,由于挠曲线曲率很小，转角度θ很小，即:,即挠曲线上任一点的斜率就表示了相应横截面的转角可见，只要确定了梁的挠曲线方程 y=f(x)，则梁上各点的挠度和转角均可求出θ≈,49,4.4.2 挠曲线近似微分方程及两次积分法,,忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为：,曲线y=f(x)上任一点的曲率为：,50,由于,很小，,与1相比可以忽略不计，于是有:,即,则更小，,51,图4-20 近似曲率符号规定,当挠曲线的二阶导数,＞0时，弯矩M(x)＞0，,＜0时，弯矩M(x)＜0，,的符号是一致的,于是有:,而当挠曲线的二阶导数,即M(x)与,,52,对于采用同一种材料的等截面梁来说，抗弯刚度EI为常量，将式(4-20)对x积分一次，得转角方程：,再积分一次，得挠曲线的方程：,,式中C和D为积分常数，应由梁所受约束决定的位移条件即边界条件来确定。

53,[例4-5] 试求图4-21所示悬臂梁的挠度方程和转角方程设抗弯刚度EI为常数图4-21 例4-5图,解：如图建立坐标系，列出弯矩方程如下： M(x)=-P(L-x)=P(x-L) (0≤x≤L),（0≤x≤L）,将此式代入挠曲线微分方程，得：,(0≤x≤L),积分一次，得转角方程：,(0≤x≤L),54,再积分一次，得挠度方程：,（0≤x≤L）,边界条件为： 在固定端梁的挠度和转角均为零，即当x=0时，θ=0，y=0于是有：,,因此, 可得到如下的挠度方程和转角方程:,55,,当x=L时挠度和转角均取得最大值，即:,该方法可以求出任意截面上的挠度和转角，但是求解比较复杂56,4.4.3 用叠加法求梁的变形,梁的变形属于小变形，服从虎克定律梁的挠度和转角均与梁所受载荷成线性关系，因此，梁在几种载荷共同作用下的变形，可以看作是每一种载荷单独作用时所产生的变形的叠加叠加原理:,57,图4-22 例4-6图,[例4-6] 试求图4-22所示悬臂梁自由端的挠度和转角设抗弯刚度EI为常量解：P1和P2共同作用下悬臂梁自由端的挠度和转角，可看作P1和P2单独作用下产生的变形的代数和即: ymax= y1 + y2 θmax=θ1 +θ2 由例4-5可知，悬臂梁在P1单独作用下自由端的变形为：,58,P2单独作用下梁自由端的变形为:,,自由端的挠度可以看作P2作用点处的挠度与由于P2的作用点到自由端这一段梁轴线的旋转在自由端产生的挠度之和, 即:,于是，最后求得在P1和P2共同作用下悬臂梁自由端的变为：,59,4.4.4 梁的刚度条件,对梁的最大变形限制在一定范围内的条件称为梁的刚度条件:,ymax≤[y] θmax≤[θ],式中 [y]和[θ]分别称为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。

提高梁刚性的措施为:,1) 改善结构受力形式，减小弯矩；,2) 增加支承，减小跨度 ；,3) 选用合适的材料，增加弹性模量 ；,4) 选择合理的截面形状，提高惯性矩 60,4.5 简单超静定梁的求解,超静定梁： 约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁两者数目的差称为静不定次数求解方法： 建立反映变形协调关系的补充方程,通常将超静梁上的多余约束解除，加上相应的约束反力，从而得到与原超静定梁相当的静定梁 即静定基静定基： 指将静不定梁上的多余约束除去后所得到的“静定基本系统”61,4.6 压杆稳定性简介,4.6.1 压杆稳定性的概念,工程实例:,62,失稳现象:,真空容器,细长杆,63,压杆的稳定性试验,64,不稳定平衡,稳定平衡,微小扰动就使小球远离原来的平衡位置微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置稳定与不稳定,65,稳定性试验,66,67,(1)提高压杆的抗弯刚度EI,,4.6.2 提高压杆稳定性的措施,截面对两个形心主轴的惯性矩尽可能大，而且相等，是压杆合理截面的基本原则68,(2)加强压杆所受的约束,69,(3)减小压杆的长度,细长杆,短粗杆,临界压力的大小比较：,中长杆,,大,小,70,目的：求梁的内力--剪力和弯矩,方法：截面法,截、取、代、平,梁的受力特征和变形特征,小 结,71,梁、平面弯曲、纵向对称平面、载荷类型、剪力、弯矩、纯弯曲、静定梁、静定基、中性层、中性轴、变形、位移、挠度、叠加原理、失稳。

基本概念：,梁弯曲时的应力计算及强度条件:,72,剪力、弯矩方程，剪力、弯矩图绘制,梁的变形计算及叠加,,梁的刚度条件:,ymax≤[y] θmaxx≤[θ],提高压杆稳定性的措施,。