一元二次方程根的分布(图文).doc

一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够 系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用下面 我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运 用 一．一元二次方程根的基本分布一．一元二次方程根的基本分布————零分布零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系比如二次方程有一正根，有一负 根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧设一元二次方程（）的两个实根为，，且02cbxax0a1x2x21xx 【定理 1】，，01x02x000421212acxxabxxacb推论推论：，或01x02x  00)0(0042bcfaacb  00)0(0042bcfaacb上述推论结合二次函数图象不难得到xy02ab1x2x0aO0c 0xy1x2xO0c0a02ab0例例 1 若一元二次方程有两个正根，求的取值范围。

0) 1(2) 1(2mxmxmm【定理 2】，，01x02x000421212acxxabxxacb推论推论：，或01x02x  00)0(0042bcfaacb  00)0(0042bcfaacb由二次函数图象易知它的正确性xy1x2x0aO0c002abxy1x2xO0c0a002ab【【定理定理 3】】210xx0ac例例 3 在何范围内取值，一元二次方程有一个正根和一个负根？k0332kkxkx【定理 4】 ，且；○101x02x0c0ab，且○201x02x0c0abxy1x2x0aO02abxy1x2x0aO02abxy1x2xO02ab0axy1x2x0aO02ab例例 4 若一元二次方程有一根为零，则另一根是正根还是负根？03) 12(2kxkkx二．一元二次方程的非零分布二．一元二次方程的非零分布——分布分布k设一元二次方程（）的两实根为，，且则一元二02cbxax0a1x2x21xx k次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理。

k1x2xk【定理 1】21xxkkabkafacb20)(042xy1x2x0aOabx20)(kfkxy1x2xOabx2k0a0)(kf【定理 2】kxx21kabkafacb20)(042xy1x2x0aOabx2k0)(kfxy1x2xOabx2k0a0)(kf【定理定理 3】21xkx0)(kaf0)(kfxy1x2x0aOk xy1x2xOk0a0)(kf推论推论 1 210xx0ac推论推论 2 211xx0)(cbaa【定理定理 4】有且仅有（或）11xk 2x2k0)()(21kfkfxy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfxy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kf【定理定理 5】或221211pxpkxk0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa此定理可直接由定理 4 推出，请读者自证。

定理定理 6】或2211kxxk2121220)(0)(004kabkkfkfaacb2121220)(0)(004kabkkfkfaacbxy1x2x0aO 1k2k0)(1kf0)(2kfabx2xy1x2xO 0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx2完。