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[研究生入学考试题库]考研数学一模拟622一、选择题(下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)问题:1. 已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且，则______A.点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B.点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C.点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D.根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．答案:A[解析] 由f(x，y)在点(0，0)的连续性及 知 f(0，0)=0． 且．其中 则 f(x，y)=xy+(x2+y2)2+a(x2+y2)2 令y=x，得 f(x，x)=x2+4x4+4ax4=x2+o(x2) 令y=-x，得 f(x，-x)=-x2+4x4+4ax4=-x2+o(x2) 从而f(x，y)在(0，0)点的邻域内始终可正可负，又f(0，0)=0，由极值定义可知f(x，y)在(0，0)点没有极值，故应选A． 本题主要考查无穷小的分析法及极值的定义． 问题:2. 齐次线性方程组AX=0为，若存在三阶非零矩阵B，使AB=0，则______A.t=-2，且|B|=0．B.t=-2，且|B|≠0．C.t=1，且|B|≠0．D.t=1，且|B|=0．答案:D[解析] 若存在3阶非零矩阵B，使AB=0，则|A|=0，即解得t=1． 又因为A≠0，且AB=0，所以|B|=0．故选(D)． 问题:3. 微分方程①=(x-y)(x+y)，②=cosy+x，③y2dx-(y2+2xy-y)dy=0中，属于一阶线性微分方程的是______A.①．B.②．C.③．D.①②③均不是．答案:C[解析] 可直接观察出方程①②不是一阶线性微分方程．对于方程③，将其变形为 ， 将x看成未知函数，y为自变量，则该方程就是一阶线性微分方程．故应选C． 问题:4. 下列命题不正确的是 (A) 若曲面∑为分片光滑的，f(x，y，z)为∑上的连续函数，则曲面积分必定为常数值． (B) 若曲面∑关于Oxy坐标面对称，f(x，y，z)为∑上的连续函数，∑1为∑位于Oxy坐标面上部的曲面，则 (C) 若Ω为有界闭区域，∑为其边界曲面外侧，则总有高斯公式 (D) 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有 对于满足上述条件的任意曲面∑1，∑2都成立，即上述右端表达式中的∑可能有许多个． 答案:C[解析] 对于(A)：由对面积的曲面积分的定义可知，它表示和式的极限．故(A)正确． 对于(B)：由二重积分对称性可知，(B)正确． 对于(C)：高斯公式成立的条件为：①空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成；②∑应是封闭曲面的外侧；③函数P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在Ω上具有一阶连续偏导数．所给命题中的条件没有①和③，故(C)不正确． 对于(D)：所述命题即为斯托克斯公式．注意，由斯托克斯公式的证明可以看出，除定理条件之外，并没有对曲面∑有特殊要求，这表明对于满足上述条件中的曲面∑1，∑2都成立．故(D)正确． 综上分析，应选(C)． 问题:5. 设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的解，则该方程的通解为______A.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)．B.C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)．C.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]．D.C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1．答案:D[解析] 因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)为所对应齐次方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=0的两个线性无关解．根据非齐次线性方程通解的结构，方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的通解为 C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ1(x)，即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，故选D． 问题:6. 二元函数f(x，y)=在点(0，0)处______A.连续，偏导数存在．B.连续，偏导数不存在．C.不连续，偏导数存在．D.不连续，偏导数不存在．答案:C[解析] 令y=kx，则 当k不同时，便不同，故极限不存在，因而f(x，y)在(0，0)点处不连续，但根据偏导数的定 义知 同理可得 由此可见，在点(0，0)处f(x，y)的偏导数存在． 本题主要考查二元函数在一点处连续和偏导数的定义，以及连续与偏导数存在之间的关系． 问题:7. 设f(x)，g(x)在点x=0的某邻域内连续，且f(x)具有一阶连续导数，满足，则______A.x=0是函数f(x)的极小值点．B.x=0是函数f(x)的极大值点．C.(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．D.x=0不是函数f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点．答案:C[详解] f"(x)=-4x+g(x)，f"(0)=0，且，故应选(C)．问题:8. 设α1，α2，…，αs是Rn上一组线性相关的向量，但α1，α2，…，αs中任意s-1个向量都线性无关，若存在常数k1，k2，…，ks，使得，则ki______A.全为0．B.全不为0．C.或者全为0，或者全不为0．D.不能确定．答案:C[解析] 显然，ki全为零，可使． 又因为α1，α2，…，αs线性相关，则存在一组不全为零的数ki(i=1，2，…，s)，使得． 下列ki全不为零．若ki中有为零的数，不妨设k1=0，则，而ki(i=2，…，s)不全为零，所以α2，α3，…，αs线性相关，与题设矛盾． 所以ki全不为零．故选(C)． 问题:9. 设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为______ A． B．3 C． D． 答案:A[解析] 由比较A*=AT对应元素知aij=Aij(i，j=1，2．3)．其中Aij为｜A｜中aij的代数余子式，利用行列式按行展开法则得｜A｜=．又由A*=AT两端取行列式得｜A｜2=｜A｜，，故得．问题:10. 设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fX｜Y(x｜y)为______ A．fX(x)． B．fY(y)． C．fX(x)fY(y)． D． 答案:A[解析] 由(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，故X与Y独立，∴(X，Y)的概率密度f(x，y)=fX(x)·fY(y)，(X，y)∈R2． 得 故选A． 如果(X，Y)服从二维正态分布，则“X与Y不相关”等价于“X与Y独立”，这是正态分布的一条性质． 二、填空题问题:1. 设A，B都是3阶矩阵，将A第一行的-2倍加到第3行上得到矩阵A1，将矩阵B的第1列乘以-2得到矩阵B1. 已知，则矩阵AB=______.答案:[考点] 矩阵的初等变换及运算[解析] 记初等矩阵，则A1=P1A，B1=BP2. 由于初等矩阵可逆，且. 故 问题:2. 微分方程xy'+y=0满足条件y(1)=1的解是y=______．答案:y2=x+1[解析] 令y'=p，则，代入原方程并化简后可得，即，解得yp=C，由已知条件y|x=0=1，y'|x=0=，可解得C=． 把p=y'代入得出，对等式两端积分得通解为y2=x+C1代入y|x=0=1，可得C1=1．满足初始条件的方程的特解为y2=x+1．问题:3. 对随机变量X，Y，Z，已知EX=EY=1，EZ=-1，DX=Dy=1，DZ=4，ρ(X，Y)=0，ρ(X，Z)=，ρ(Y，Z)=．(ρ为相关系数)则E(X+Y+Z)=______，D(X+Y+Z)=______，cov(2X+Y，3Z+X)=______．答案:E(X+Y+Z)=EX+EY+EZ=1，D(X+Y+Z)=DX+DY+DZ+2cov(X，Y)+2coy(X，Z)+2cov(Y，Z)=1+1+4+0+×2=，cov(2X+Y，3Z+X)=6cov(X，Z)+2DX+3cov(Y，Z)+cov(Y，X)=6×+2DX+．问题:4. 流速场在单位时间内沿球面的，即Σ：x2+y2+z2=1，z≥0，y≥0的外侧穿过的流量Φ=______.答案:[考点] 场论中的流通量[解析] Σ外=Σ1上∪Σ2下. 其中Σ1上，Σ2下的方程分别为 其中Dxy={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0，y≥0}，于是 问题:5. 函数f(x，y，z)=x2+y3+z4在点(1，-1，0)处方向导数的最大值与最小值的平方和为______．答案:26[解析] 函数f(x，y，z)=x2+y3+z4在点(1，-1，0)处方向导数的最大值与最小值分别为函数f(x，y，z)在该点处梯度的模(长度)及梯度模(长度)的相反数． 由梯度计算公式，有 gradf(1，-1，0)=(f'x，f'y，f'z)|(1，-1，0)=(2x，3y2，4z2)|(1，-1，0)=(2，3，0)， 则该点处梯度的模长 |gradf(1，-1，0)|=， 故所求平方和为．问题:6. 设方程确定函数z=z(x，y)，则 答案:[解析] 解得 于是 三、解答题本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．问题:1. 判断两直线和是否在同一平面上，若在同一平面上，则求交点；若不在同一平面上，则求两直线间的距离．答案:解：直线L1，L2的方向矢量分别为s1={1，1，2}，s2={1，3，4}，该两直线分别通过P(-1，0，1)，Q(0，-1，2)={1，-1，1}， 因为所以直线L1与L2为异面直线． 直线L1与L2的参数方程分别为 设两直线间的距离为d，则 令h=(s-t+1)2+(-1+3s-t)2+(1+4s-2t)2， 由二元函数求极值的方法可知，当s=1时的距离d最小，为 问题:2. 设A=E+xyT，其中x，y均为n维列向量，且xTY=2，试求A的逆矩阵．答案:解：记B=xyT，于是A=E+B，且有 B2=xyTxyT=x(yTx)yT=(yTx)xyT=(xTy)xyT=2B， 即(A-E)2=2(A-E)，整理得A2-4A=-3E，A(A-4E)=-3E． 。