1993年全国初中数学联赛试题解答.doc

19931993 年全国初中数学联赛试题解答年全国初中数学联赛试题解答第第 一一 试试一．选择题一．选择题1． （A）∵ ，∴ 余式为 1.1) 1(166612xxxx2． （B）命题 I 正确，证明如下： 如图，ABCDE 为圆内接五边形，各内角相等.由，知 BCE=CEA，BA 于是 BC=EA.∴ .EABC 同理可证 .故 ABCDE 是正五边EACDABDEBC 形. 命题 II 不正确，反例如下：如图，ABCD 为圆内接矩形，∠A=∠B=∠C=∠D=90°,，，CDAB DABC 但，显然，ABCD 满足命题 II 条件，但不是正BCAB  四边形.3． （D）因为、分别表示数轴上点 x 到1x1x点 1 和点-1 的距离.因此，当-1≤x≤1 时，；211xxy当时，；1x212211xxxy当时，.1x212211xxxy而在-1 与 1 之间无穷多个实数 x，故有无穷多个 x 使 y 取到最小值. 4． （C）给定方程组中的方程按顺序两两相减分别得，，2141aaxx3252aaxx，，4313aaxx5424aaxx∵ ，54321aaaaa∴ ，，，.41xx 52xx 13xx 24xx 于是有 .52413xxxxx5． （A）注意到 73) 1(12xxx. 0)6)(1(, 0) 1)(2(xxxx.210) 1)(2(xxxx或.610)6)(1(xxx于是原不等式的整数解是介于-1 与 6 之间且不等于 1,2 的整数.即 0,3,4,5 四个整数. 6． （A）设的三条高线 AD、BE、CF 相交于点 O.因为钝角三ABCABC 角形，故其垂心 O 在的外部（如图）.ABC∵ B、D、F、O 四点共圆，故 .21 又由题设 ，BCOA  知 ≌，OAFRtBCFRt∴ ，BFOF 于是 .45BOF 而 OCBOBC，135180BOF∴ .135cos)cos(OCBOBC227． （C）如图，设 O 是的外心，ABC ，ROCOBOA，ABOCRmcos21cos∴ .ARmcos同理 ，.BRncosCRpcos∴ .CBApnmcos:cos:cos::8． （D） 原式 131 32 31 31 ) 122()91(31212121)2(3331131331 二、填空题二、填空题1．4 . ，2226221012612156322222  xxxxxxxxxx 1) 1(262x∴ 当 x=-1 时，公式取最小值 4. 2．7.设从左到右小盒里的球数为 7,a2,a3,…,a1993,∵ ，，∴ .307432aaa305432aaaa75a同理 .719931417139aaaaakL3．.设，原方程变为.设此方程有根74yx 20452kyy，则原方程的四个根为，.由于它们在数轴上对应的)0(,四个点等距排列，∴，故.)(9由韦达定理 ，得5，，2129于是 ，494k∴ .47k4．3 如图，BC 为圆的直径，，90180BECAEB∴ .2330coscosAABAE又 ∽，ADEABC∴ .23ABAE ACAD由此可知2)( sin21sin21ABAEAACABAAEADSSABCAED  .43因而四边形 DBCE 面积.ABCSS412∴ .3:21SS第第 二二 试试一、解法一、解法 1 1 不妨设角 A 是锐角，连接 AH 并延长交 BC 于 D 点.延长 BH、CH 分别交 AC 于 E，交 AB 于 F，如图.∵ ,AHEBHD∴ .HAEHBD因此 ∽BDHRtADCRt∴ .HDDC BDAD又 ,BCDCBD21∴.2 41BCDCBDHDAD于是)21)(21(BCHDBCADSSHBCABC.4 161BC当∠A≥90°时，同理可证上式也成立，由于 BC 是不变的，所以当 A 点至BC 的距离变小时，乘积保持不变.HBCABCSS解法解法 2 2 作图如解法 1，再延长 AD 至 G，使 DG=DH，并分别连接 BG，GC. 由 ΔHBD≌ΔGBD 知，.CAGCBHCBG因而，A,B,G,C 四点共圆.由相交弦定理，得.DCBDDGADHDAD2 41BC因此， .HBCABCSS)21)(21(BCHDBCAD4 161BC由于 BC 是不变的.所以当点 A 至 BC 的距离变小时，乘积保持HBCABCSS不变.二、二、 由于，知 ΔABC 是直角三角形.如图.22213125，3012521ABCS设 ，，xAD yAE 由于 ，AxySADEsin2115，135sinA知： xy = 78. 由余弦定理知：)cos1 (2)(cos22222AxyyxAxyyxDE)13121 (782)(2yx≥12，12)(2yx当 x=y 时，上式的等号成立，此时，达到最小值.3212 DE三、三、 （1）假如,同由，知，对于已知两个方程用韦01x021xx02x达定理得，这与已知，矛盾.因此，2121'' xxbxx021xx0''21xx01x.02x同理 ，.0'1x0'2x（2）由韦达定理及 ，，有01x02x≥0, c≥b-1.1) 1(2121xxxxbc) 1)(1(21xx对于方程 进得同样讨论，得 b≥c-1.02bcxx综合以上结果，有 b-1≤c≤b+1. （3）根据（2）的结果可分下列情况讨论：（I）当 c=b+1 时，由韦达定理有从而.12121xxxx2) 1)(1(21xx由于 x1,x2都是负整数，故或  . 21, 1121 xx . 11, 2121 xx由此算出，.5b6c 经检验 ，符合题意.5b6c（II）当 c=b 时，有，从而.因此 )(2121xxxx1) 1)(1(21xx.故 .221 xx4 cb经检验 符合题意.4 cb（III）当时，对方程 作（I）类似讨论，1 bc1 cb02bcxx得，.6b5c 综上所述得三组值：  , 65 cb  , 56 cb . 44 cb。