信号与系统讲义：第五章（第10-11讲）.doc

第五章 连续时间系统的复频域分析§5-1 引言——从FT到LT一、 FT的优点和不足优点：1、 避免微分方程求解和卷积计算，简化了系统响应求解过程；2、 物理意义明确如：谐波，频响，带宽，等不足：1、 只能处理满足收敛条件的信号，对某些不满足条件的信号必须引入奇异函数解决，不方便；2、 必须计算广义积分：，有时计算比较困难；3、 只能求系统的零状态响应二、 拉普拉斯变换（LT）的优点：1、 可以自动引入初始条件，求系统的全响应；2、 变方程的微积分运算为乘除运算，变卷积运算为乘法运算，计算过程简化；3、 对信号的适应性比FT强，不用引入奇异函数；§5-2 拉普拉斯变换一、 拉普拉斯变换的推导途径：1、 从数学角度：通过积分变换进行函数到函数的变换，将微分方程变为代数方程2、 从物理意义推导：本质上依然是将信号分解为多个正交的子信号的和（积分），或可以从FT推广出二、 从FT到LT² FT存在的条件是其积分结果收敛² 如果不收敛，可以考虑用收敛因子——将原信号乘以——强行使其收敛，再进行FT例1：原信号：， 新信号： 只要足够大，使，总能收敛例2：原信号：，新信号：当时，负半边收敛，正半边发散。

只要，一定收敛 通过乘以收敛因子，可以使原来不收敛的信号收敛，从而可以用FT加以处理² 假设原信号为，通过乘以收敛因子后，新的收敛的信号为，其FT为：或记作：这就导出了拉普拉斯变换² 将其与傅里叶变换式相比较:可见，从公式的形式上看,将FT中的纯虚数推广为复数，就可以导出LT；反之，令LT中的复变量的实部为零，就可以得到FT可以这样认为：FT是LT的一个特例，LT是FT的推广三、 拉普拉斯反变换可以由的IFT求出：或记作：反变换积分线S平面至此可得到拉普拉斯变换对：F(s)称为f(t)的拉普拉斯变换，f(t)称为F(s)的原函数从两种变换的历史上讲，拉普拉斯变换并不是由傅里叶变换导出的Pierre Simon Laplace，（1749－1827），法国数学家、天文学家、物理学家1812年在其《概率论的解析理论》中提出了拉普拉斯变换Jean Baptiste Joseph Fourier，（1768－1830），法国数学家、物理学家1807年提出傅里叶变换，但是直到1822年在其著名的《热的解析》一书中才得以确认四、 单边和双边拉普拉斯变换 上面讨论的信号，在和时都可能有非零值，是双边信号，相应的变换称为双边拉普拉斯变换，用和表示。

实际电路中的信号往往是有始信号，这时的拉普拉斯变换称为单边拉普拉斯变换，记作：如果没有特别说明，一般的LT均指单边LT五、 LT的物理意义² 比较拉普拉斯反变换和傅里叶反变换公式可以看出:与FT一样，LT也可以看成是将信号分解为多个子信号的和FT中：子信号为，的频率分量相加，得到一个（幅度不变的）正弦波；LT中：子信号为，的频率分量（或共轭的和）相加，得到幅度变化的正弦波² s是复数，可以用复平面中的一点表示，该复平面称为s平面LT实际上是利用了s平面上的所有实部为固定值的点对应的子信号构成正交子信号集，用来表示任意信号S平面图上的变化规律： 对于实信号f(t)，其LT同样满足共轭对称性，即（正如FT中LT也可以用来处理复数信号§5-3 LT的收敛区间一、函数的LT存在的条件：² 函数的LT存在与否与的取值有关如果的值合适——>收敛——>存在——>存在所以，的LT存在的（充分）条件，是存在是，使满足Direchlet 条件通常要求是指数阶函数且具有分段连续的性质，此时有二、收敛区的定义：使满足绝对可积条件的的取值区间称为的LT的收敛区，应该满足的条件称为收敛条件在这个区间内，的LT存在；在区间外，的LT不存在。

三、 单边LT的收敛区² 单边LT只处理右边信号;² 对于右边信号，如果存在，使收敛，则对于任意一个大于的， 一定收敛所以，单边信号的收敛区间的右边界一定为，一般形式为，或收敛条件为其中称为收敛坐标，s平面上的垂线称为收敛边界（或收敛轴）收敛区收敛轴S平面² 单边LT的收敛区间是一个左开区间，不包含收敛轴 ² 上面关于右边信号的收敛区的讨论得到的结论可以推广到任意一个有始（右边）信号 例1：单边指数信号（）的收敛区间为的右半平面，即因为，² 是使信号收敛的因子，它是否可以为负值？例2：阶跃信号的收敛区间为的整个右半平面，即因为， 除单边LT外，还有双边LT，故有双边LT的收敛区问题但本书仅讨论单边LT，并简称LT而工程实际上遇到的有始信号，几乎都是指数阶信号，所以以后不特别说明是否收敛的问题 §5-4 常见信号的LT 工程中常见的信号有两类：指数类和幂类如果信号的FT存在求LT可以直接采用FT的结果，只要将其中的换成s一、 单边指数类信号的LT，收敛区（为常数）由此可以导出其它指数类信号的LT信号FTLT收敛区….….….….可见，LT结果比FT简单的多。

二、 t 的正幂类函数的LT1） 收敛区：2） 收敛区：推导方法：（1） 分步积分；（2）用LT时域积分性质3） 收敛区：4） 收敛区：三、 冲击函数1） 收敛区：2） 收敛区：其它变换结果见书上表格² 可见，很多信号的F(s)都能表示成有理函数形式记住这些常用LT结果，不仅能够方便LT计算，而且对求LT反变换有很大帮助作用习题：①.5.3(1)、(3)、(5)、（7） ******************************************§5-5 单边拉普拉斯反变换定义：求解其积分较麻烦，一般采用部分分式展开法或留数法求解一、 部分分式展开法（Haviside展开法）基本思想：根据LT的线性特性，将复杂的F(s)展开为多个简单部分的和，通过已知的简单LT结果，得到F(s)的原函数假设F(s)可以表示成有理函数形式：将其通过部分分式展开，表示为多个简单的有理分式之和分几种情况讨论：1、 m 常数的求法：1） 系数平衡法；2）3）特例：如果D(s)=0有复根，则复根一定共轭出现（假设是实数）。

假设是一个复根，则一定也是方程的根，且与之相关的系数和满足：将中有关两项统一考虑，可得：结果依然是一个实信号所以，对两个共轭复根，可以将其统一考虑例：求下示函数的反变换解： 或 2、 m=n时，先通过长除，将其变为一个关于s的真分式和多项式的和： 然后再用1、2方法求解其中要用到： 例：求下示函数的反变换 解：用长除法， 或二、 留数法1、 F(s) 的极点和零点极点：使F(s)等于无穷大的s平面上的点 ——>D(s)=0的根零点：使F(s)等于零的s平面上的点 ——>N(s)=0的根2、 留数法的基本思想：由于拉普拉斯反变换是复平面中的线积分问题，很难直接求解出结果因此，设法将复平面中的线积分问题，转化为围线积分，从而可以用复变函数中的留数定理直接求得结果原问题：，求解不方便如果另外增加一条曲线，使其变为沿一个闭合曲线的积分，且沿该增加的曲线的积分为零,则就变成一个计算围线积分。

所以，我们根据上述积分半径的情况，取半径为无穷大的圆弧成为闭合曲线，如下两图所示： t>0时的F(s)的闭合积分路线 t<0时的F(s)的闭合积分路线在这样的增加的积分路线ACB或ADB的积分值应为零，即： （） 或 （） 则利用留数定理，可以有：增加的积分路线ABC或ADB的积分值为零吗？下面的定理回答了这个问题：3、根据约当辅助定理，当满足：1）当时，；2）中的实部满足（为一固定常数），时，就有：或 成立第1）个条件，除极少数例外情况，如单位冲激函数及其各阶导数的象函数为S的正幂函数不满足此条件外，一般都能满足而显然，根据条件2），有： 当t>0时，积分应沿左半圆弧进行（左图），故有：； 当t<0时，积分应沿右半圆弧进行（右图），故有： 在单边LT中，只考虑t>0的情况，积分曲线应该增加ABC，这时只要考虑积分线左半平面中的所有极点的留数即：的极点就是的极点留数计算：假设是的一阶极点，则其留数为：假设是的n阶极点，则其留数为：注意：当F(s)不满足约当辅助定理条件1）时，不能用此方法求解例如：F(s)=1,F(s)=s,…——>当F(s)m>=n时，不能用此方法求解！解决方法：先用长除法进行预处理，即化为多项式与真分式的和，而后，真分式部分用留数法，多项式部分另行用常规法处理。

举例：用留数法求下示函数的反变换解： 而， 所以， 留数法与部分分式分解法比较：1） 部分分式分解法只能解决有理函数，而留数法不受有理函数的限制；2） 留数法不能直接解决m>=n的情况，部分分式分解法可以；3） 留数法在数学上比部分分式分解法严密；4） 部分分式分解法涉及的基础知识比留数法简单§5-6拉普拉斯变换性质一、 线性：收敛区间：一般为和的收敛区公共部分适用范围：单边LT，双边LT二、 尺度变换特性如果，收敛区间，则：， 收敛区间：时，， 时，适用范围：1）双边LT 2）对于单边LT，要求a>0与FT比较：三、 时延特性如果，收敛区间，则：，收敛区间不变适用范围：1）双边LT 2）对于单边LT，要求与FT比较：例：非周期信号按周期T在t>0部分进行周期化后的信号的LT：假设的LT为F(s),则单边周期化后的信号为：则：本式对一些LT和的计算很有用四、 复移频特性 如果，收敛区间，则：，收敛区间：适用范围：双边LT，单边LT与FT比较：例：已知： 收敛区： 则：，收。