高等数学_第一章函数与极限习题课.ppt

第一章 函数与极限习题课,Ⅰ 数列与函数的极限,,,,,,,,,,几何解释:,,,,,,,,,一、数列极限,1．数列极限的定义,2．数列极限的运算法则,3．数列极限的主要性质,4．数列极限的存在准则,二、函数的极限,1．函数极限的定义,2．函数的左右极限,左极限:,右极限:,3．函数极限收敛的充要条件,4．函数极限的运算法则,5．函数极限的主要性质,则,（4）夹逼准则：若,,,,三、无穷小与无穷大,1．无穷小的基本概念,,,（1）无穷小的定义,（2）无穷小阶的比较,2．无穷小的主要性质,四、两个重要极限,1.,2.,则,或,五、解题方法及典型例题,数列极限解题 方法流程图,求,可找到数列 和 满足,,应用夹逼准则,,验证 单调有界,应用单调 有界准则,,,恒等变形,应用极限的四则 运算法则求极限,,,,,,,,,,判别 的形式,为分式,,,,,,,求,,,为未定式,为复合函数,函数极限解题 方法流程图,一、函数连续的基本概念,1．函数连续的定义,,,右连续:,Ⅱ 函数的连续性,3．函数连续与极限的关系,4．间断点的分类,间断点,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点：,跳跃间断点：,无穷间断点：,振荡间断点：,（左右极限都存在）,（左右极限至少 有一个不存在）,左右极限至少有一个是,二、连续函数的运算法则,,,1．若 都连续; 则 也连续.,,2．若 都连续; 则 也连续.,,,,3．若 都连续; 则 也连续( 时).,,,,4．复合性质： 若 在点 连续; 在,,,连续, 则 在 连续.,三、闭区间上连续函数的性质,,,,,,,,,函数极限典型例题,【例1】计算,分析 经过计算可得分子分母的极限都为零，说明分子 分母都有致零因子，可以将分子分母的致零因子 约去，再求极限。

解：,,分析 对形如 的极限，分子、分母可同除以 中x的最高次，再利用 可求得最终结果例2】计算,解：,,,解：,,思考,【例3】计算,分析 由于函数中含有根式，可利用分子有理化变形，可变成 的形式解法2：,【例4】计算,注意：下面的计算是错误的因为,所以,因为,，故 并不存在，,所以不能应用极限四则运算法则解：,,,【例 5】*计算,,,,,,分析 本题含 ，当 与(－0)时，有不同的结果， 需要用左右极限求之解：,,,,,,【例 6】计算,而,,由夹逼准则得,分析 本题是求n项和的数列极限问题，从通项的形式上看， 可通过适当放缩以后，利用夹逼准则来计算例 7】设,,,,解：(1),由于,所以,又,有下界,进而证明了数列的有界性由单调有界数列必有极限知,,,,,,解：(2),,,设,则有,（因 ，故舍去负值）,注：应用单调有界数列必有极限准则证明数列极限存在，需分别证明数列的单调性和有界性至于先证单调性还是有界性要根据具体问题具体分析所以,,,解法1：,【例 8】 计算,解法2：,,,,分析 分子分母均趋于0，不能运用运算法则，适当作恒等变形，再利用等价无穷小代换。

解：,【例 9】 计算,,,,,,,解：,,,,,,,分子有理化,极限非零部分可先提出,,,【例 10】 计算,分析 由于函数中分子分母都含有根式，可利用分子分母 有理化变形，可求出极限即所求,,解：由于 ，,极限 存在,故必有 ，,于是有 ，即,将 代回原极限式有,函数连续与间断典型例题,分析 求函数连续点处的极限，则只需直接计算函数值解：,【例1】求下列极限：(1) (2),,又 ，故当 时, 在 处连续.,,,,,解：因为,,已知 在 内连续，所以在 处连续，则有,,所以,【例4】求函数 的间断点，并指出间断点的类型解：由函数的表达式可知，间断点只能在无定义处因为,所以 为间断点而,所以 为第二类无穷间断点所以 为第一类可去间断点解: 由 的表达式, 间断点只能在无定义的点或分界点处,,所以 是第二类无穷间断点.,当 时,,所以 是第一类跳跃间断点.,当 时，,证明: 令,【例6】证明方程 在区间 内至少有一个根.,则 在 上连续,,又,由零点定理，至少 , 使得,,即,分析 如果令 ，那么证明方程 有根等价于 有零点，因此可用零点定理证明。

所以方程 在区间 内至少有一个根.,,,,,,证明: 令,,,,,,,,显然 在 上连续, 已知,故,,则当 时, 可取 或 .,而当 时,,,由零点定理，至少 , 使得,分析 如果令 ，那么证明等式 成立等价于 有零点，因此可用零点定理证明即 .,分析 初等函数在其定义区间上都是连续区间，所以只要弄清了间断点，也就清楚了连续区间 .,,解：函数为初等函数，,,为其间断点因为,所以 为第二类无穷间断点.,所以连续区间为 和,,分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型例9】* 求函数 的所有间断点，并指出类型解: 当 时，,,,当 时，,,,当 时，,,所以,故 是 的跳跃间断点;,故 也是 的跳跃间断点;,因为,因为,。