角的平分线知识点.pdf

学习必备欢迎下载角的平分线考点扫描掌握角平分线的性质定理和它的逆定理；能够利用它们证明一些相应的问题；理解互逆命题和互逆定理的概念名师精讲1角平分线性质定理及其逆定理性质定理：角的平分线上任意点到这个角的两边的距离相等；逆定理：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上由此可知，角的平分线是到两边的距离相等的所有点的集合注意：要分清角平分线性质定理和它的逆定理的题设和结论，这两个定理， 一个是性质， 一个是判定，它们是有区别的，这两个定理的题设和结论正好相反2逆命题的定义也可以叙述为：交换一个已知命题的题设和结论所得的新命题叫做已知命题的逆命题 每个命题都有它的逆命题，原命题和逆命题两者是相对的要注意真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题也不一定是假命题3根据一个已知命题表述出它的逆命题是本节的一个难点这就要求在对原命题深刻理解的基础上，把原命题写成“ 如果 ，那么 ”的句式，然后把两部分的内容交换，就得到它的逆命题说明：中考中单独测验角的平分线的性质的题目较少，往往把角平分线与其它知识组合成较复杂的题目角平分线的使用一、平分线的应用几何题中，经常出现“ 已知角的平分线” 这一条件。

这个条件一般有下面几个方面的应用：（ 1）利用 “ 角的平分线上的点到这个角的两边距离相等” 的性质，证明两条线段相等 2）利用角是轴对称图形，构造全等三角形 3）构造等腰三角形二、应用举例：1.利用角平分线的定义例 1.如图，已知AB=AC ， AD/BC ，求证 AD 平分 EAC 学习必备欢迎下载证明：因AB=AC ，故 B=C又因 AD/BC ，故 1=B， 2=C，故 1=2，即 AD 平分 EAC 2.利用等腰三角形三线合一例 2.正方形 ABCD 中， F 是 CD 的中点， E 是 BC 边上的一点，且AE=DC+CE ，求证： AF平分 DAE 证明：连结EF 并延长，交AD 的延长线于G，则 FDGFCE ，故 CE=DG ，EF=GF ，于是 AG=AD+DG=DC+CE=AE又因 EF=GF，故 AF 是等腰三角形的底边上的中线，于是AF 平分 DAE 3.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上例 3.如图，已知ABC 的两个外角 MAC 、 NCA 的平分线相交于点P，求证点P 在B 的平分线上证明：过P 作 PDAB ，PEAC，PFBC，垂足分别是D、E、F，因 P 在 MAC 的平分线上，故PD=PE。

又因 P 在 ACN 的平分线上，故PE=PF，于是 PD=PF，故点 P 在 B 的平分线上4.和平行线结合使用，容易得到相等的线段基本图形：P 是 CAB 的平分线上一点，PDAB ，则有 1=2=3，所以 AD=DP 例 4.如图， ABC 中， B 的平分线与C 外角的平分线交于D，过 D 作 BC 的平行线交AB 、 AC 于 E、 F，求证 EF=BE-CF 学习必备欢迎下载分析：由BD 平分 ABC ， EDBC ，不难得出BE=DE 要证 EF=BE-CF ，就转化为要证EF=DE-CF 下面要证FD=FC ，即要证 FCD= FDC由 CD 平分 ACG ，EDBC，很容易得出 FCD= FDC ，从而问题得证5.利用角平分线的对称性例 5.如图，已知在ABC 中， ABAC ，AD 是 ABC 的角平分线，P是 AD 上一点，求证 AB-ACPB-PC 分析：证明不等关系，一般要把所证明的有关线段放在一个三角形内通过角平分线这一条件可以构造全等三角形：在AB 上截取 AC=AC ，则有 ACPA CP，AC=AC,PC=PC 在 BPC中， BC+CPPB, 即 AB-ACPB-PC ，从而得出AB-ACPB-PC 。