《直线与圆的位置关系（1）》示范公开课教案【高中数学北师大】.docx

《直线与圆的位置关系（1）》教案◆ 教学目标1. 理解直线与圆的位置关系2. 会判断直线与圆的位置关系3. 探索直线与圆的位置关系的过程4. 会利用直线与圆的方程解决实际问题4. 体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性及数学结论的确定性◆ 教学重难点◆重点：直线与圆的位置关系及其判断难点：直线与圆的位置关系的判断◆ 教学过程◆一、新课导入回顾：前面我们学习了点与圆的位置关系，请同学们回忆一下点与圆有几种位置关系？我们是怎样判断点与圆的位置关系的？生回答，师小结答案：点与圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内我们是通过点与圆心的距离d和圆的半径r的大小关系来判断点与圆的位置关系的，点在圆外，即d>r；点在圆上，即d=r；点在圆内，即d

直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交，这时这条直线叫做圆的割线；直线和圆只有一个公共点，叫做直线和圆相切，这个唯一的公共点叫做切点；直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离思考：如何判断直线和圆的位置关系呢？探究二：直线Ax+By+C=0与圆x-a2+y-b2=r2的位置关系的判定分析：1. 几何法：圆心到直线的距离与半径的大小关系设圆心到直线的距离为d，则圆心C（a,b）到直线l的距离d=|Aa+Bb+C|A2+B2(A，B不全为0)当dr时，直线l与圆C相离2. 代数法：方程组解的情况由方程组Ax+By+C=0x-a2+y-b2=r2，求解得：（1）∆>0，有两组实数解，直线l与圆C相交；（2）∆=0，有一组实数解，直线l与圆C相切；（3）∆<0，无实数解，直线l与圆C相离 小结：直线与圆的位置关系及判定：位置关系公共点个数几何法判定代数法判定相交2d>r∆>0相切1d=r∆=0相离0d

解：（1）由圆M的方程可知圆心M(a，0)为r轴上的动点2）根据点到直线的距离公式，得圆心M到直线l的距离为d=|2a-3|22+12=|2a-3|5.当d<5，即-15，即a<-1或a>4 时，直线l与圆M相离；例2： 如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标解法1：由直线l与圆的方程，得3x+y-6=0x2+y2-2y-4=0消去y，得x2-3x+2=0因∆=-32-4×1×2=1>0所以，直线l与圆的相交，有两个公共点由x2-3x+2=0，解得x1=2，x2=1，把x1=2代入方程3x+y-6=0，y1=0；把x2=1代入方程3x+y-6=0，y2=3故直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是A2，0，B1，3.解法2： 圆的方程x2+y2-2y-4=0可转化为x2+y-12=5.可以看出，圆心C的坐标为（0，1），半径长为5.故点C（0，1）到直线的距离d=|3×0+1-6|32+12=510<5 所以，直线l与圆的相交，有两个公共点。

由x2-3x+2=0，解得x1=2，x2=1，把x1=2代入方程3x+y-6=0，y1=0；把x2=1代入方程3x+y-6=0，y2=3故直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是A2，0，B1，3.例3： 若直线x -y+l=0与圆(x - a)2+(y - 1)2=2有公共点，求实数a的取值范围分析：根据直线与圆的位置关系，利用几何法，可得圆心到直线的距离不大于半径，可得结果解： 由圆的方程(x - a)2+(y - 1)2=2，可知圆心（a,1），半径为2 又因直线与圆有公共点，所以可知圆心到直线的距离为|a-1+1|12+(-1)2≤2则|a|≤2，因此a的取值范围为-2≤a≤2.设计意图：通过案例应用分析，进一步熟悉圆的般方程，使学生掌握待定系数法求解圆的一般方程的步骤，通过与圆相关的轨迹问题的解决，提升学生数形结合及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养四、课堂练习1. 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”1）直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断2）过圆外一点作圆的切线有两条3）当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离。

4）直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切2. 判断直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系，请说明原因3. 已知圆C的方程是(x一1)2+(y一1)2=4，直线l的方程为y=x+m，求：当m为何值时，（1）直线平分圆；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆有两个公共点4. 已知直线方程mx一y一m―1=0，圆的方程x2+y2一4x一2y+1=0当m为何值时，圆与直线：（1）有两个公共点；（2）只有一个公共点；（3）没有公共点参考答案：1. （1）√（2）√（3）√（4）√解析：根据直线与圆的三种位置关系的界定和判定方法进行判断2. 相交，但直线不过圆心（详见解析）解析：方法1 由y=x+1x2+y2=1，消去y整理可得x2+x=0，因为∆=12-4×1×0=1>0，所以直线与圆相交又因为x2+y2=1的圆心坐标为（0，0），且0≠0+1，所以直线不过圆心方法2 圆x2+y2=1的圆心坐标为（0，0），半径长为1，则圆心到直线y=x+1的距离为12，即为22.因为0<22<1，所以直线y=x+1与圆x2+y2=1相交但直线不过圆心3. （1）m=0；（2）m=±22；（3）-22

2）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以d=|1-1+m|12+12=|m|2=2，故m=±22，即m=±22时，直线l与圆相切3）直线与圆有两公共点，d0或m<-43；（2）m=0或m=-43；（3）-430时，即m>0或m<-43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当∆=0时，即m=0或m=-43时，直线与圆相切，即直线与圆有一个公共点；当∆<0时，即-430或m<-43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d=2时，即m=0或m=-43时，直线与圆相切，即直线与圆有一个公共点；当d>2时，即-43

五、课堂小结1. 直线与圆的三种位置关系：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交，这时这条直线叫做圆的割线；直线和圆只有一个公共点，叫做直线和圆相切，这个唯一的公共点叫做切点；直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离2. 直线与圆的位置关系及判定：位置关系公共点个数几何法判定代数法判定相交2d>r∆>0相切1d=r∆=0相离0d