群论 第1部分-第2章-3.pdf
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第一部分 群论基础 第二章 群表示论 (3) (八) 不可约表示基矢的正交性定理 2 一, 定理的内容: 若有群 G 的两个不等价, 不可约的幺正表示 其表示矩阵 维数 基函数 Di , ni , i( r ) Dj , nj , j ( r ) PR i ( r ) = i ( r ) D i ( R ), , = 1,2 - - - - - ni PR j ( r ) = j ( r ) D i ( R ), , = 1,2 - - - - - nj 则必有 ( i ( r ) , j ( r ) ) = ij f ----------------- (0) f 为常数 ( 与i, j, , 无关 ) [ 提问: ij 和 各是何意? ] [ 答案: 见下页 ] * 二, 定理含义的说明 3 (1) ij : 两个不等价不可约(幺正)表示的基函数彼此正交; (2) : 同一不可约(幺正)表示的基函数彼此正交 ij 正交 ┌ 1i ┐ ┌ 1j ┐ ∣ 2i ∣ ∣ 2j ∣ 正交∣ ∣ ∣ ∣ 正交 ∣ ∣ ∣ ∣ └ nii ┘ └ njj ┘ 三, 定理的证明 4 令 B = ( i , j ) [ 将基矢 i 和 j 是否正交表示成矩阵元 B 是否为零 ] 第一步: 证明 对一切R有 B D j ( R ) = D i ( R ) B ------ (1) D j ( R ) B+ = B+ D i ( R ) ------ (2) [ B 的矩阵元为B ] ( B 是ni 行 nj 列的矩阵 ) {证明} ∵ ( i , PR j ) = ( PR+ i , j ) = ( PR-1 i , j ) ---- (3) (3)式左边 ( i , PR j ) = [ i , r r j Dr j ( R ) ] = r ( i , r j ) Dr j ( R ) = r Br Dr j ( R ) ------------ (4) (3)式右边 ( PR-1 i , j ) = [ i D i ( R-1 ) , j ] = ( i , j ) Di * ( R-1 ) = D i ( R ) B --------- (5) [ ∵ Di * ( R-1 ) = D i + ( R-1 ) = D i -1 ( R-1 ) = D i ( R ) ] * 将(4)和(5)式代入(3)式得 5 r Br Dr j ( R ) = = D i ( R ) B 于是证明了 B D j ( R ) = D i ( R ) B ---------- (1) 同理可证明 D j ( R) B+ = B+ D i ( R ) ---------- (2) 第二步: 证明 B+ B = C I [ C I 为单位矩阵 I 的常数倍, 即常数矩阵 ] 用B+左乘(1)式两边得 B+ B D j ( R ) = B+ D i ( R ) B 用B 右乘(2)式两边得 D j ( R) B+ B = B+ D i ( R ) B ∵ 该二式右边相等, 左边也相等 故得 B+ B D j ( R ) = D j ( R) B+ B 由舒尔引理可知, 方阵B+ B ( nj行 nj列）必为常数矩阵 即 B+ B = C I ---- (6) 并有 det B+ B = Cnj ---- (7) [det为矩阵的秩, 即对角元的积 ] * 第三步: 证明不同不可约表示的基矢正交 ( ij ) 6 即证明 i j 时, B = ( i , j ) = 0 ( B 为 ni 行 nj 列的矩阵 ) 分三种情况讨论: (1) ni nj ; (2) ni nj ; (3) ni nj 情况 (1): . ni nj ┌ B+ ┐ ┌ ┐ det [ B+ B ] = det └ ┘∣B∣ = 0 └ ┘ 因此 det B+ B = 0 由(7)式知 det B+ B = Cnj -------------------- (7) 则必有 C = 0 由(6)式知 B+ B = C I -------------------- (6) 故有 B+ B = 0 ( 零矩阵 ) 所有的矩阵元皆为0, 即 ( B+ B ) = 0 * 取对角元 ( B+ B ) = B+B 7 = B* B = ∣B∣2 因为 ( B+ B ) = 0 [ 由于 ( B+ B ) = 0 ] 故 B = 0 ( 对一切 , 成立 ) 即 B = ( i , j ) = 0 ( i 与 j 正交 ) 情况(2): ni nj 同理可得 ( B B+ ) = 0 则 Br = 0 [ 提问: 情况(1) ( ni nj ) 得证后, 情况(2) ( ni nj ) 是否还 需要证明? 为什么? ] [ 答案: 不需要. 因为 i 和 j 都非限指某一不可约表示. ] 情况(3): ni = nj ( 两不可约表示维数相同 ), B为方阵 8 有两种可能: (a) det B 0 ; (b) det B = 0 . 可能(a): det B 0, 则存在 B-1 由(1)式知 B D j ( R ) = D i ( R ) B ---------- (1) 左乘B-1得 D j ( R ) = B-1 D i ( R ) B 即D j ( R ) 与 D i ( R )等价, 与前提矛盾 故可能(a)不成立 可能(b): det B = 0 则 det B+ B = 0 [ det B+B = det B+det B = 0 ] 由公式(7)知 det B+ B = C nj -------------------- (7) 故 C = 0 因此 B+ B = 0 [ B+ B = C I ------- (6) ] 如前可得 B = ( j , i ) = 0, 即 j 与 i正交 * 第四步 i = j ( 即同一不可约表示) 9 由(1) 式得 B D j ( R ) = D j ( R ) B 根据舒尔引理, B必为常数矩阵 即 B = ( j , j ) = f 综合第三步和第四步的结果 B = ( j , i ) = 0 ( i j, 不同不可约表示 ) B = ( j , j ) = f ( i = j, 同一不可约表示 ) 可得 B = ( j , i ) = ij f 如此, 矩阵表示基矢的正交性定理全部得证 (九) 不可约表示矩阵元的正交性定理 10 一, 定理的内容: D i ( R ) 和 D j ( R ) 为G 群的两个不等价的不 可约表示, 其矩阵元满足如下关系 R Dr i * ( R ) D j ( R ) = ij r f --------- (8) 二, 定理含义的说明 不同不可约表示( i, j )或同一不可约表示矩阵的不同行( , ) 或不同列( r, ) 矩阵元组 ( 对应于不同群元, 但在矩阵中的 位置相同 ) 彼此正交 ( 所谓矩阵元组正交即对应于相同群元 的两矩阵元的积对群元求和, 其值为零 ). R: A1 A2 Ah Dr i ( R ): D11i (A1), D12 i (A1) D11i (A2), D12 i (A2) -------- D11 i (Ah), D12 i (Ah) D21i (A1), D22 i (A1) D21i (A2), D22 i (A2) -------- D21 i (Ah), D22 i (Ah) D j ( R ): D11 j (A1), D12 j (A1) D11 j (A2), D12 j (A2) -------- D11 j (Ah), D12 j (Ah) D21 j (A1), D22 j (A1) D21 j (A2), D22 j (A2) -------- D21 j (Ah), D22 j (Ah) 三, 定理的证明: 与基矢正交性的证明相似, 从略 (十) 群元空间 11 [ 思考题: 群元空间的基矢将是什么? 它符合基矢的条件吗? ] 一, 群元空间的定义: 由群元作基矢, 按下述表式定义加, 数乘和内积, 得一矢量 空间, 为群元空间. 群元空间的维数为群的阶 h. (1) 加: R + S (2) 数乘: R ( 可为复数 ) (3) 内积: ( R, S ) = RS 由此可得群元空间中任意二矢量的内积为 ( U, V ) = ( S S US , R R VR ) = R S ( S, R ) US* VR ) ( U, V ) = R UR* VR * 二, 表示矢量 12 由公式(8)的表示矩阵元的正交性定理知 R Dr i * ( R ) D j ( R ) = ij r f ------------- (8) 定义群元空间中的一组正交归一化矢量 { ( V ( i, , ) } V ( i, , ) = R R V ( i,, ) = R R ( ni/h。
