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磁场中氢原子的塞曼效应摘要：本文重点探究塞曼效应，侧重讲解强磁场下的正常塞曼效应从不同的方形进行探究，首先 从经典物理角度出发，利用牛顿运动定理解释塞曼效应理论及现象，然后从量子理论解释塞曼效应 的理论及现象两者都可以探究并说明在外磁场下的干扰中的跃迁谱线分裂现象本文的重点在于 探究强磁场下氢原子的能级分裂现象，首先求得不附加外磁场的氢原子的波函数，再利用微扰理论 计算附加外磁场的氢原子的波函数，并且利用mathematic对比前后径向波函数的变化，并且得出磁 场下塞曼效应的分裂情况关键词：塞曼效应；光谱分裂；能级修正；氢原子；波函数1、 塞曼介绍及理论基本介绍1.1、 塞曼彼得•塞曼，是19世纪著名荷兰科学家，他与亨德里克•洛伦兹发现了此效应，获得了 1902 年的诺贝尔物理学奖1.2、 塞曼效应理论介绍当氢原子在不同强度的磁场中，所产生的跃迁谱线从原来的一条将分裂为多条，这些跃迁谱线 都是偏振的，这种效应叫做塞曼效应根据磁场下的不同现象，又可将磁干扰后的现象分为正常塞曼效应和反常塞曼效应磁场强弱决 定处于何种塞曼效应之下根据是能破坏氢原子内的£S耦合，即：(1) 破坏£S耦合为正常塞曼效应(2) 未破坏LS耦合为反常塞曼效应在现代应用中利用塞曼效应可以确定物质中元素的构成，为确定物质构成元素提供有效的方法。

2、 塞曼效应的经典解释 2.1、塞曼效应的经典解释从牛顿定理对正常塞曼效应进行解释当氢原子处于磁感应强度为B的外磁场下时，电子受到 的力有两个：原子核的库仑力和洛仑磁力，以原子核为原点建立坐标系xyz，且磁场B的方向沿z轴的方向，根据牛顿第二定律:d 2 rm dt 2- c dr'=-ms 2 r + -e ——k d J将上述方程分解为VZ三个方向的分量:“-Be^y A = 0 k dt)C dx A—Bed td 2 xm + ms 2 x —dt 2 0d 2 ym + ms 2 y -dt 2 0d 2 z cm + ms 2 z = 0dt 2 0将工和J方向上的微分方程得通解:x = aeiaty = a 'e - iat在通解中a和a为任意常数，S是待定系数，将上述通解带入原微分方程，可求得s，如下:(s2 -s2)a + -i 0(eBs Ai——a\ m )(s2 -s2)a，+ -i 0(eBs A——am)由上述两式又可得:(s2 -s2)=0(.eBs\最后可得出:2meB2meB 由于°>0，所以上式中根号前符号只可取正号，又由于0 o 2 -所以(eB ¥可省略，故可得:s=so± 2m由Co 20-o 2 )a + (-i竺0 a，］)=。

可以得出a与a'的关系为:ieBs . a = —— am \O2 一①2)0对于①+而言，由上述关系可得:x = ae-is-ty = -iae&+t对于①—eBo 一 2—)而言，由上述关系可得:x = be -io-ty = ibe-io-t其中b为常数，而且可将Z方向上求解出为：z = cei°0，其中c为常数最后得出电子的运动轨迹方程为:r (t) = a (e^ - ie )e一心+t + b由上述即可看出，电子B作用下，原来的跃迁谱线会分裂为三种情况，即①、①,、①三种情 况，所以单条谱线谱线分裂为三条，这就是用牛顿运动理论解释塞曼效应2.2、塞曼效应经典理论解释的局限性从经典牛顿运动定理出发，首先求得的是电子的运动方程，结论是电子运动是有三种不同频率 的简谐运动合成的，所以带电粒子按三种频率辐射光谱线，但是经典理论并没有涉及到能量问题， 并不能反映氢原子的内部状况，而且不能解释反常塞曼效应的现象，所以引入量子理论解释更加清 晰的反映塞曼效应3、量子理论解释塞曼效应 3.1、氢原子在无附加磁场下的波函数 3.1.1、氢原子波函数的球谐函数部分人首先我们知道在直角笛卡尔坐标系中角动量算符L = r x p的表示为:d a " 一由 ―zfk az ay)L = zp - xp =-ih z —」a _ a) —xk ax az)」a a)(a a)+ z———x —— k ax a)并且角动量平方的算符是:4 4 42 A 2 A 2 A 2 A 2L, L = L = L + L + L = L =—方 2x y z我们知道直角坐标系和球坐标系的转换关系为:x = r sin 0 cos 中，y = r sin 0 sin 中，z - r cos 0;z yr2 - x2 + y2 + z2,cos 0 = 一,tan中=—.rr将上式中的r2 - x2 + y2 + z2两边同时对x偏导，得出:drdxx——sin 0 cos 9r... dr dr . z . 一.同样过程求出k，k。

并且将cos0 =-两边同时对x求偏导，得出: dy dz rd0dx-4 z 空-1cos0 cos9 sin 0 r2 dx r并且同理得：d9 1 y sin 9dx sec2 x2 r sin0利用上述推论得出等价关系:d dr dd0dd9d .八 d 1 八 d sin 9 d ++ sin0 cos9 + cos0 cos dx dx dr dx d0 dx d9 dr r d0 r sin 0 d9d dr dd0dd9d .八. d 1 n . d cos 9 d +-sin0 sin9 + cos0 sin9+dy dy dr dy d0 dy d9 dr r d0 r sin 0 d9d dr d d0 d d9 d n d 1 . n d +-cos 0 一sin 0、dz dz dr dz d0 dz d9 dr r d0A A A A 2 经过整合计算得到在球极坐标系下表示Lx, Ly, Lz, L的方式:A de d )Lx =，方 sin9 d0+cot0 cos9 ^9 de. d )-z方 cos 9^0 - cot 0 sin 9^—A __法 dL — ih—z d9并且由此可得出:L 2 =-h 2sin 0 60 v(八asin 0160 J sin2 0 凶 2所以根据上式L2的本征值方程可写为:—力21 asin 0 60 v(sin 060卜寿余y(0 (0"由此可以看出Y(0,9)是力学量L2的本征函数。

上面所描写的本征方程在数学物理方法中了解过，我们为了使Y(0,9)在0的变化闭区域【0,兀］上是有限的，所以必须有条件：人=l (/ +1), l = 0,1,2 并且我们知道，L2本征方程的解是球谐函数1初(0,9)七(0,9)=(—1)”气 P； (cos 0)°树,m = 0,1,2,3 , lYm (0,9)= (—1)m Y*, m (0,9),m = —1,—2, —3 — l上式中的P,(cos0)就是我们所熟知的连带勒让德多项式，并且N^是归一化因子，由球谐函数的正交归一化条件可以得出：f "*(0, 9)Y (0,9)sin0d0d9=/ 0 0带入m = 0, ±1, ±2 , 土 l,可以推出:N =lm■(l — m )! (2l +1)\； (l + m)!4 兀所以通过上述的计算和推导得出了L2的本征值是l(/ +1)方2，它的本征函数是球谐函数Y(0,时而且通过上面的计算可以得出L2是(2l+1)简并的而且还可以得出:LzY〔 (0,时=mtiY, (0，时可以看出体系角动量在z方向上的投影为：、=m通过上述推导得出结论:球谐函数七(0,时是l z和L2的共同本征函数。

F面列出部分球谐函数:. 1= 0，0 4兀Y1,1Y1,0-^― (3cos2 0 -1) 16兀Y2,0r 2Y2 广撑sin 0 cos 9 e-g援 ^£Y _1- sin2 0 e-2冲 _'x - iy )22, -2Y32兀V32k1 r )3.1.2、氢原子波函数的径向部分在氢原子中含有原子核与一个核外电子，所以其是一个二体问题，它的薛定谔方程可写为:方2 力2 V 2 - 2m 11V 2 + U2m 22(r - r ) T(r, ~r )= E 中 G,诲1 2简单分析可以得出U£ -匕|）是体系的库伦势，，在分析氢原子径向波函数，我们采用质心、坐标―j J系转换单体问题，可设定相对坐标r和质心坐标R并且令:以及体系的总质量M _ m + m，和体系的折合质量m _ 如 ，另外r和R分别用三个分量表示1 2 m. + m（x, y, z ）和（X, Y, Z ）通过偏导运算可以得出:adxa ax a ax + ax ax ax ax11a_ —1 + —— m ax axa 2'm aa)(m aa)—_—3 +——1+ ax 2(m axax)"m axax)1im 2 a 2 2m a 2 a 2M aX2 M ax ax E同样可以得出:82 (m d 6 V m d 6 A m 2 62 2m 82 62 = —2 + —2 + = —2 + 2 + 3x2 dx dxM dx dx) M2 6X2 M dXdx 6x22得到:Il m V7 2——V〉= — V2 H m 1 M2 r 1'合2 。

2 + H M^dXdx dYdy dZdzy+ —V2m1—V2= 4v2+2_M2 r M ^dXdx dYdy dZdzy+ —V2m2将上面两式相加后，得到:_Lv2+Xv2m 1 m 21 2—V2 +^V2M R m将此式带入薛定谭方程中，整理后得到:V2 - —V2 2M R 2m+ t/(r)中蒙)并且进行分离变量:中W 0= EV|/ 0并且写出其各自的薛定退方程，得：V2 + [/(r) 2m从上面的近似可以看出，质心运动等价于质量为肋的自由粒子运动，对应的能量为E ；相对坐标 C的那部分相当于一个质量为折合质量的粒子在"G)中的运动能量为得到体系的总能量为：E =E +E通过上面的分析，质心自由粒子运动的解非常清晰，重点在于处理相对运动的方程，对于氢原子,原子核的质量m ,远远大于核外电子的质量协，又因为质心的位置就在核上，由此得出，NM^m 现在我们讨论库伦场中径向部分的薛定遇方程，并且将库。