随机过程Chapter2.2.ppt

第二章第二章 Poisson过程过程2.1 Poisson 过程过程2.2 与与Poisson 过程相联系的若干分布过程相联系的若干分布2.3 Poisson 过程的推广过程的推广•设S.P.{N(t),t≥0}为Poisson过程, 其一条样本轨道为•Xn表示第n-1次与第n次事件的时间间隔•Wn表示第n 次事件的到达或等待时间，显然 tW1W2W3W4…N(t)是跃度为是跃度为1 的阶梯函数的阶梯函数X1X2X3X43定义：定义：定理定理2.2 若若{N(t),t ≥ 0}是参数为是参数为 λ 的泊松过程的泊松过程, ,则则等待时间等待时间 Wn 服从参数为服从参数为 n，，λ的的ΓΓ分布分布, ,即它的即它的概率密度函数为：概率密度函数为： 在排队论中称在排队论中称Tn 服从服从爱尔兰爱尔兰(Erlang)分布分布．．注注 4{Wn ≤ t}={N(t) ≥ n}={(0, t]内事件至少发生内事件至少发生n次次}证证 因因Wn是事件第是事件第 n次发生次发生的的等待时间等待时间, ,故故所以所以Wn 服从服从ΓΓ分布分布．．5定理定理2.3 若若{N(t),t ≥ 0}是参数为是参数为 λ 的泊松过程的泊松过程, ,则则时间间隔序列时间间隔序列 {Xn, n ≥ 1}是独是独立同分布序列，服立同分布序列，服从参数为从参数为 λ 的指数分布，即的指数分布，即Xn ~ 1 – e–λt . .6证证78泊松过程的等价定义泊松过程的等价定义:定义：定义： 9引理引理10定理定理2.411证证: :121314证明证明 在在N(t)=1的条件下，的条件下，W1 的分布为的分布为 [0,t] 的均匀分布的均匀分布. 15 例例2.2 顾客依速率为λ的Poisson 过程到达车站，若火车在时刻t 离站,问在(0,t]区间里顾客的平均总等待时间是多少？解解: :1718。