曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院)（精编版）.pdf

word 1 / 13 第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题1曲线积分( )sin( )cosxLf xeydxf xydy与路径无关，其中( )f x有一阶连续偏导数，且(0)0f，则( )f x B A.1()2xxee B.1()2xxee C.1()2xxee2闭曲线C为1xy的正向，则Cydxxdyxy C 3闭曲线C为2241xy的正向，则224Cydxxdyxy D A.2 B.2 C.0 D.4为 YOZ平面上221yz，则222()xyzds D A.0 B. C.14 D.125设222:Cxya，则22()Cxyds C A.22 a B.2a C.32 a D.34 a6. 设为球面2221xyz，则曲面积分222dS1xyz的值为 B A.4 B.2 C. D.127. 设 L 是从 O(0,0) 到 B(1,1) 的直线段，则曲线积分Lyds C A.21B.21C.22D.228. 设 I=Ldsy其中 L 是抛物线2xy上点（ 0, 0 ）与点 (1, 1)之间的一段弧, 则 I=D A.655B.1255C.6155D.121559. 如果简单闭曲线l所围区域的面积为，那么是（ D ）A. lydyxdx21； B.lxdxydy21；word 2 / 13 C.lxdyydx21； D.lydxxdy21。

10设2222:(0)S xyzRz，1S为S在第一卦限中部分，则有 C A.14SSxdsxds B.14SSydsydsC.14SSzdszds D.14SSxyzdsxyzds二、填空题1. 设 L 是以 (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分Lydyxeydx)(2-2 2222azyx的外侧 , 则sdxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(0 3.12222yxyxxdyydx =24曲线积分22()Cxyds，其中C是圆心在原点，半径为a的圆周，则积分值为32 a5设为上半球面2240zzyx，则曲面积分222dsyxz= 32 6. 设曲线C为圆周221xy, 则曲线积分223dCxyxs2. 7. 设C是以 O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分Cds)yx(1+28. 设为上半球面224zxy，则曲面积分222d1sxyz的值为839. 光滑曲面 z=f （ x，y）在 xoy平面上的投影区域为D，则曲面 z=f （x，y）的面积是DdyzxzS22)()(110设L是抛物线3yx上从点(2, 8)到点(0, 0)的一段弧，则曲线积分(24 )Lxy dx12 11、cos ,sin ,30 xt yt ztt设为螺旋线上相应于从 到的一段弧，222()Ixyzds则曲线积分221。

12、设L为222xya的正向，则22Lxdyydxxy2word 3 / 13 三、计算题122xyLeds，其中L为圆周221xy，直线yx及 x 轴在第一象限所围图形的边界解： 记线段OA方程2,02yxx，圆弧AB方程cos,0sin4xy线段OB方程0,01yx则原式22xyOAeds22xyABeds22xyOBeds22202xedx40ed10 xe dx2(1)4ee22222ln()Lxy dxy xyxxydy，其中L为曲线sin,0yxx与直线段0,0yx所围闭区域D的正向边界解： 利用格林公式，22Pxy，22ln()Qy xyxxy，则22Pyyxy，222Qyyxxy故原式()DQPdxdyxy2Dy dxdysin200 xdxy dy3014sin39xdx322Ly dxx dy，其中L为圆周222xyR的上半部分，L的方向为逆时针解：L的参数方程为cossinxRtyRt，t从 0 变化到故原式22220sin(sin )cos(cos )RtRtRt Rtdt3220(1cos)(sin )(1sin)cos Rtttt dt343R4求抛物面22zxy被平面1z所割下的有界部分的面积。

解 ： 曲 面的 方 程 为22,(, )zxyx yD， 这 里D为在XOY 平 面 的 投 影 区 域22( , )1x y xy故所求面积221xyDzz dxdy221 4()Dxydxdyword 4 / 13 212005 51146dr rdr5、计算(sin)(cos)xxLeymy dxeym dy，其中L为圆222()(0)xayaa的上半圆周，方向为从点(2 ,0)Aa沿L到原点 O 解： 添加从原点到点A的直线段后，闭曲线所围区域记为D，利用格林公式(sin)xPeymy，cosxQeym，cosxPeymy，cosxQeyx于是(sin)(cos)xxLeymy dxeym dy(sin)(cos)xxOAeymy dxeym dy22Dm amdxdy而(sin)(cos)xxOAeymy dxeym dy20000adx，于是便有(sin)(cos)xxLeymy dxeym dy22m a6222222()()()Lyzdxzx dyxydz，其中L为球面2221xyz在第一卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针解： 曲线由三段圆弧组成，设在YOZ平面的圆弧AB的参数方程0cossinxytzt，t从2变化到 0。

于是222222()()()AByz dxzx dyxydz0222sin( sin )cos (cos )tttt dt43由对称性即得222222222222()()()3()()()4LAByzdxzxdyxydzyzdxzxdyxydz7(1)(1)(1)xdydzydzdxzdxdy，其中为平面1,0,xyzx0,y0z所围立体的表面的外侧解： 记1为该表面在XOY平面的部分，2为该表面在YOZ平面的部分，word 5 / 13 3为该表面在XOZ平面的部分，4为该表面在平面1xyz的部分1的方程为0,01,01zyxx，根据定向，我们有1(1)(1)(1)xdydzydzdxzdxdy1(1)zdxdy010112xyxdxdy同理，21(1)(1)(1)2xdydzydzdxzdxdy31(1)(1)(1)2xdydzydzdxzdxdy4的方程为1,01,01zxyyxx，故4(1)zdxdy01012(2)3xyxxy dxdy，由对称性可得4(1)xdydz42(1)3ydzdx，故4(1)(1)(1)2xdydzydzdxzdxdy于是所求积分为1123228计算曲面积分：()2sin()(3)xySxyz dydzyzx dzdxzedxdy，其中S为曲面1xyz的外侧。

解： 利用高斯公式，所求积分等于1(123)uvwdxdydz=1 16 83 2=8 9. 计算 I=sxzdxdyyzdzdxxydydz，其中 S为 x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围立体的表面外侧解： 设 V是 x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围的立体由 Gass公式得 : I=Vdxdydzzyx)( =yxxdzzyxdydx101010)( =81word 6 / 13 10计算 I=ydzxdyzydxx2233, 其中是从点 A(3, 2, 1)到点 B(0, 0, 0) 的直线段AB 解： 直线段 AB的方程是123zyx；化为参数方程得： x=3t, y=2t, z=t, t从 1 变到 0，所以： I=ydzxdyzydxx223303221(3 )33 (2 )2(3 )2 ttttt dt48787013dtt11. 计算曲线积分I=AMOxxdyyedxyye,)2cos()2sin(其中AMO是由点 A(a,0)至点 O(0, 0) 的上半圆周axyx22解： 在 x 轴上连接点O(0, 0), A(a, 0) 将AMO扩充成封闭的半圆形AMOA 段 OA上 , OAxxdyyedxyye0)2cos()2sin(从而AMOOAAMOAAMO又由 Green 公式得 : AMOAaxyxxxadxdydyyedxyye2242)2cos()2sin(212. 计算曲线积分dzydyxdxzL333其中 L 是 z=2)(22yx与 z=322yx的交线沿着曲线的正向看是逆时针方向解： 将 L 写成参数方程 : x=cost, y=sint, z=2 t: 02于是 : dzydyxdxzL333=20420cossin8tdtdtt=43另证：由斯托克斯公式得dzydyxdxzL333=dxdyxdxdzzdydzy)03()03()03(22222:2,1zxy上侧，则：2221333232001333cos4Lxyz dxx dyy dzx dxdydrdr13.设曲面 S为平面 x+y+z=1 在第一卦限部分，计算曲面S的面积 I 解： S在 xoy 平面的投影区域为：10 ,10),(xxyyxDxyword 7 / 13 I=SdS=dxdyxyD310103xdydx23)1(310dxx14. 计算曲线积分Lyxdyyxdxyx22)()(其中L 是沿着圆1) 1()1(22yx从点A(0,1) 到点 B(2, 1)的上半单位圆弧解： 设22),(yxyxyxP，22),(yxyxyxQ当022yx时，22222)(2yxxyxyxQyP故：所求曲线积分在不包围原点的区域与路径无关则：Lyxdyyxdxyx22)()(=AByxdyyxdxyx22)()(=202)11(dxxx =21ln5-arctan215. 确定的值，使曲线积分2124d62dCxxyxxyyy在XoY平面上与路径无关。

当起点为0,0，终点为3,1时，求此曲线积分的值解： 由已知，2124,62PxxyQxyy；由条件得PQyx , 即12461,3xyx, 3,13,1232232230,00,014d62d2263xxyxx yyyxyx y16. 设曲面 S为球面4222zyx被平面 z=1 截出的顶部，计算I=dSzS1解： S的方程为：224yxzS在 xoy 平面的投影区域为：3),(22yxyxDxy I=dxdyyxxyD22422030242drrrd2ln417. 计算 I=dxdyzyxxzdzdxyzdydz)(，其中是2222)(aazyx，word 8 / 13 az0，取下侧解： 作辅助曲面1: z=a ，)(222ayx取上侧设为2222()xyzaa,za所围闭区域xyD为平面区域222ayx11()()Iyzdydzxzdxdzxyz dxdy=dxdydzxyDdxdyayx)(=332axyDdxdyaxyDdxdyyx)0)(=331a18. L为上半椭圆圆周cossinxatybt，取顺时针方向，求.Lydxxdy解：0 sin(sin )cos( cos )Lydxxdybtatatbtdt0.abdtab19计算曲面积分2(2 )xdydzydzdxzz dxdy，其中为锥面22zxy与1z所围的整个曲面的外侧。

解：由高斯公式，可得21100(1 122)22.2Izdvzdvddzdz20计算曲线积分()(3)xyLIye dxxedy，其中L是椭圆22221xyab的正向解： 令xPye, 3yQxe, 则2QPxy设L所围成的闭区域为D，则其面积abA B x y 0 word 9 / 13 从而由格林公式可得()(3)222xyLDDIye dxxedydxdydxdyab. 21设为柱面222xza在使得0 x，0y的两个卦限被平面0y及yh所截下部分的外侧，试计算Ixyzdxdy解：将分成1与2，其中1：22zax（取上侧），2：22zax（取下侧），1与2在xoy面上的投影为: 0, 0 xyDxayh，故12222222220032()221.3xyxyxyDDahDxyz。