自考00020高等数学（一）密训高频考点汇总.pdf

目 录第一章 函数.1第二章 极限与连续.3第三章 导数与微分.5第四章 微分中值定理和导数的应用.6第四章 微分中值定理和导数的应用.7第六章 多元函数微积分.9自考押题 vx 344647 公众号/小程序 顺通考试资料1第一章 函数第一章 函数知识点名称内容一元二次方程未知量x满足的形如002acbxax的方程称为一元二次方程，acb42称为此方程的判别式.由22224420aacbabxcbxax可知：当当0时，方程有两个不同的实根时，方程有两个不同的实根aacbbx2422, 1；当；当0时，方程有一个二重实根时，方程有一个二重实根abx22, 1；当；当0时，方程有一对共轭虚根时，方程有一对共轭虚根abacibx242，abacibx242.若记一元二次方程的两个根分别为.若记一元二次方程的两个根分别为21,xx，则有，则有abxx21，acxx21. .韦达定理若记一元二次方程的两个根分别为 x1,x2，则有：acxxabxx2121（简单计算题）二元一次方程组两个未知函数yx,满足222111,cybxacybxa的方程组称为二元一次方程组.两直线位置关系：当2121bbaa时，方程组有唯一解，两直线相交两直线相交；当212121ccbbaa时，方程组无解，两直线平行两直线平行；当212121ccbbaa时，方程组有无穷多解无穷多解，两直线重合.集合A与与B的交集 （的交集 （BA）A与与B的并集（的并集（BA）B在在A中的余集中的余集BABxAxx且|BxAxx或|BxAxx当|一些逻辑符号设设qp,是两个判断是两个判断，若（1）p成立可断定q也成立，则称p能推出q或说p蕴含q，记作qp ；（2）qp 成立，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件；（3）qp 和pq 同时成立，则称p与q等价或互为的充分必要条件，记作qp 自考押题 vx 344647 公众号/小程序 顺通考试资料2隐函数的定义由变量yx,满足的方程确定的函数函数 xfy 称为隐函数.函数图形的概念函数 Dxxfy,的图形图形指的是xOy平面上的点集 Dxxfyyx,|,周期函数设函数 xf的定义域为R， 若存在正数0T， 使得对任意的使得对任意的Rx都有都有 xfTxf，则称则称 xf是一个周期函数是一个周期函数，T称为函数 xf的周期.一般说的周期指的是最小正周期.反三角函数xyarcsin是xysin在区间2,2上的反函数，定义域为1 , 1，值域为2,2，在定义域上单调增加；反余弦函数xyarccos的定义域为1 , 1，值域为, 0；反正切函数xyarctan的定义域为,，值域为2,2；反余切函数xarcycot的定义域为,，值域为, 0.设函数 ?：D ?（D）是单射，则它存在逆映射?：?（D） D，称此映射为直接函数 f的反函数。

但需要注意两点：直接函数的单值性无法保证其反函数的单值性，但如果是单调函数那么可以保证其单值性，且单调函数的反函数具有一样的单调性只有 ? = ? 在坐标系中的图像才与 ? = ? ? 关于直线 y = ? 对称，? = ?（y）与y = ? ? 图像重合指数函数yxyxaaa， xyyxaa，xxxabba，10a，xxaa1.对数函数yxxyaaalogloglog，yxyxaaalogloglog，xrxaraloglog，axxbbalogloglog，1logaa，01loga.基本初等函数常见的六类函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数.（1）常数函数 y = c（ c 为常数）（2）幂函数 y = xa（ a R 为常数）（3）指数函数 y = ax（4）对数函数 y =log(a) x（5）三角函数：主要有以下 6 个：正弦函数 y =sin x；余弦函数 y =cos x；正切函数 y =tan x余切函数 y =cot x；正割函数 y =sec x；余割函数 y =csc x此外，还有正矢、余矢等罕用的三角函数6）反三角函数：主要有以下 6 个：3反正弦函数 y = arcsin x；反余弦函数 y = arccos x；反正切函数 y = arctan x反余切函数 y = arccot x；反正割函数 y = arcsec x；反余割函数 y = arccsc x四则运算u x v xu x v xd u x v x du x dv xu x v xu x v x u x v xd u x v x u x dv x v x du xu xv xu xv x ?u x v xv x2，v x 0du xv xv x du x ?u x dv xv x2，v x 0yyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdzyx),(),(全微分的近似计算：全微分：第二章第二章 极限与连续极限与连续知识点名称内容函数在一点的极限定义定义 1 1 设函数设函数 xf在在0 x的某个去心邻域的某个去心邻域0 xN内有定义内有定义，A是一个常数是一个常数. .若对任意的若对任意的0，总存在0，使得当0 xNx且00 xx时，有 Axf成立，则称函数 xf在0 xx 时的极限是A，记作 Axfxx0lim.函数在一点的极限与左、 右极限的关系定理 1 设函数 xf在点0 x附近有定义，则 Axfxx0lim的充分必要条件是： Axfxx0lim，且，且 Axfxx0lim. .数列的极限设 na是一个无穷数列，当下标n越来越大时，其对应的值na越来越接近一个常数A，而且可以无限接近，我们称数列 na的极限是A，记作Aannlim.当极限当极限nnalim存在时，称数列存在时，称数列 na收敛；当极限收敛；当极限nnalim不存在时，称数列不存在时，称数列 na发散发散. .函数极限的性质1.极限值的唯一性定理定理 1 1 若极限 xfxx0lim存在，则其值唯一.定理 1 说明，如果 Axfxx0lim，且 Bxfxx0lim，则BA .2.函数在极限存在点附近的有界性定理定理 2 2 若极限 xfxx0lim存在，则函数 xf在0 x的一个去心邻域内有界.函数 xf在0 x的一个去心邻域内有界指的是：存在0M，0，使得对任意的 0000,xxxxx都有 Mxf.定理 2 说明：如果 xfxlim存在，存在40M，0X使得对任意的 ,XXx，都有 Mxf.定理 2 反映的是极限存在点附近函数的局部有界性，对数列来说，结论为：定理定理 3 3 若极限nnalim存在，则数列 na有界.定理 3 说明，数列有界是数列收敛的必要条件.3.函数极限的保号性定理定理 4 4 若极限 Axfxx0lim，且0A，则函数 xf在0 x的一个去心邻域内大于零；若在0 x的一个去心邻域内 0 xf，且极限 xfxx0lim存在，则 0lim0 xfxx.定理 4 说明，利用极限值的正、负号，可得到函数在极限点附近（除去极限点）的正、负号；另一方面说明， 极限值的正、 负号不能与函数极限点附近（除去极限点）的值的正负号相反.注意: 当函数 xf满足：在0 x的一个去心邻域内 0 xf，且极限 xfxx0lim存在时，结论仍为 0lim0 xfxx，而不是 0lim0 xfxx.复合函数的极限若 00limuxgxx， Aufuu0lim，则 Aufxgfuuxguxx00limlim.无穷小量的概念定义定义 1 1 若 0lim0 xfxx，则称函数 xf在0 xx时是一个无穷小量，记作 1oxf0 xx 1oxf0 xx 指的是：当当x无限趋于无限趋于0 x时，其对应的函数值无限趋于时，其对应的函数值无限趋于 0.0.无穷大量的概念定义 2 若函数 xf1在0 xx 时是一个无穷小量，则称函数 xf在0 xx 时是一个无穷大量，记作 xfxx0lim.当x无限趋于0 x时，若 01xf且无限趋于 0，则称函数 xf在0 xx 时是一个正无穷大量，记作 xfxx0lim.当当x无限趋于无限趋于0 x时时，若若 01xf且无限趋于且无限趋于 0 0，则称函数则称函数 xf在在0 xx 时是一个负无穷大量时是一个负无穷大量，记记作作 xfxx0lim. .从无穷大量的定义可看出：无穷大量的倒数是同一极限过程中的无穷小量，非零无穷小的倒数是同一极限过程下的无穷大量.无穷大运算的结论：（1）有界变量与无穷大量之和是无穷大量有界变量与无穷大量之和是无穷大量；（2）两个无穷大量之积是无穷大量两个无穷大量之积是无穷大量；（3）有限个无穷大量之积是无穷大量有限个无穷大量之积是无穷大量.5间断点及其分类定义定义 3 3 若函数 xf在点0 x处不连续,则称0 x为 xf的间断点.根据函数在间断点处左、右连续的情况,可将间断点分类：（1 1）第一类间断点）第一类间断点若函数 xf在点0 x处的左、右极限均存在，但不连续,则称0 x为 xf的第一类间断点.在第一类间断点中，可分为可去间断点和跳跃间断点.（2 2）第二类间断点）第二类间断点若函数 xf在0 x处的左、右极限中至少有一个不存在时，则称0 x为 xf的第二间断点.第三章第三章 导数与微分导数与微分知识点名称内容基本初等函数的导数公式axxaaaxxxxxxxxxxaxxln1)(logln)(cotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tan22222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsinxxarcxxxxxx函数在一点处的导数定义定义 1 设函数 xfy 在点0 x的某个邻域内有定义，当自变量x在0 x处取得增量x（xx0也在该邻域内）时，相应地函数取得增量00 xfxxfy；若若y与与x之比当之比当0 x时极限时极限存在存在， 则称函数则称函数 xfy 在点在点0 x处可导处可导， 并称这个极限为函数并称这个极限为函数 xfy 在在0 x处的导数处的导数， 记为记为0 xf ，即即xxfxxfxyxfxx00000limlim. .（2 2）若）若xyxlim( (这时导数是不存在的这时导数是不存在的),),为叙述方便为叙述方便, ,我们称我们称 xf在点在点x的可导为无穷大的可导为无穷大. .（3 3）若令）若令xxx, ,则则x时时, ,有有 xx, , xxxfxfxfxxlim，这是导数定义的另一种形式，这是导数定义的另一种形式, ,说明导数也可简述为差商的极限说明导数也可简述为差商的极限. .（4 4）导数xxy |是函数在点x处的变化率,它反应了函数随自变量的变化而变化的快慢程度.若函数 xfy 在开区间I内的每点处都可导，就称函数 xf在开区间I内可导.对于任一Ix，都对应着 xf的一个确定的导函数值.构成的这个新的函数称为原函数 xfy 的导函数,记作 dxxdfdxdyxfy,.把常用导数定义式中的把常用导数定义式中的0 x换成换成x，得到导函数定义式，得到导函数定义式 xxfxxfyx0lim或或 hxfhxfxfh0lim6函数在一点处可导与连续的关系定理定理 1 1 若函数 xfy 在点x处可导,那么函数在该点处必连续.定理 1 表明: 函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件,但不是充分条件,即函数在某点连续却不一定可导函数在某点连续却不一定可导; ;若不若不连续一定不可导连续一定不可导.函数在一点处的微分定义 3 设函数 xfy 在某区间内有定义，0 x及xx0在这个区间内，如果增量 00 xfxxfy可表示为xoxAy.其中A是不依赖于是不依赖于x的常数的常数, ,那么称函数那么称函数 xfy 在点在点0 x是可微的，而是可微的，而xA叫做函数叫做函数 xfy 在点在点0 x相应于自变量增量相应于自变量增量x的微分，记作的微分，记作dy，即，即xAdy. .第四章第四章 微分中值定理和导数的应用微分中值定理和导数的应用知识点名称内容罗尔定理费马定义了驻点，称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点。