建模优秀论文——跳楼问题.doc

1跳楼问题摘要从高出落下，落地时缓冲的冲击力如果超出人体所能承受范围就会导致落下者受伤本文由数学角度进行一系列合理假设猜想，推导出安全坠落高度，即在低空状态下普通人由高处落下，当坠落高度 H 2h 时，不会对人体造成伤害改进后的模型可以对高空降落的物体的安全防护，易碎物品的包装等有一定的指导意义关键词高空坠落 最大冲击力 加速度 安全坠落高度 数学模型一 问题重述人的腿是虚弱的，如果他从那扇窗户跳下来，就可能受伤请通过建立数学模型来说明律师辩护的依据即建立数学模型探讨从高空坠落是否会受伤二 问题分析从高出落下，落地时缓冲的冲击力如果超出人体所能承受范围就会导致落下者受伤因而，问题转化为从高处落下的时候落地时产生的冲击力与人体所能承受的力的大小的比较问题也就是说，该人从高空落下直到触地时的速度在很短的距离内骤然减速为零的短暂时间内所承受的力要不大于人体能够承受的最大的力，否则就会受伤三 模型假设1 假设这个人是一般人，身体状况良好，未经过任何专业训练；2 人为质地均匀的圆柱体，重心在身高一半处；3 该人从与地面接触起到静止过程中受力均匀；4 该人从高处落下为落体运动；5 地面时水泥地，落地姿势为由直立蹲下重心降低一半，没有突发情况；6 受伤的标准为身体部位承受的载荷大于该部分最大承受载荷；7 空气密度均匀。

四 符号说明符号 含义H 站立平台高度2h 人体重心高度g 下落加速度vt t 时刻速度F 该人受到的冲击力m 人的质量h' 蹲下后重心高度f 空气阻力S 横截面积X 重心下降高度a 加速度五 模型的建立和求解5.1、落地速度的求解从高空坠落时遵循自由落体运动，那么 H+h= +h;21g*tV=gtH=v*t/2即有 H+h= +h；2vg从而 vt= （1）2H落地时具有的能量 E= = （2）t0vm d21*v根据（1） 、 （2） ，该人落地时具有的能量E=mgH （3）5.2、落地冲击力的求解前面已知落地时具有的能量3E=mgH要在落地后降低重心的过程中全部释放出来，即有W=E+mgX （4）也就是W=mg(H+X) （5）这部分能量完全由落地时与地面接触部分做工消耗，即：F*X=W其中 X=h-h'于是，用来缓冲速度的力F= （6）XmgH也即F= （7）h-'g从而，接触部分承受的力F'=F+mg （8）5.3、人体承受的载荷求解由[1]知，普通人能承受的最大过载约为5g也即是说，落下时人体承受的最大加速度为6gF'/m 6g （9）综合（7） 、 （8） 、 （9）可求得关于人跳楼后可以安全落地的最高高度H 2h （10）该结果在高度较低时，比较贴合实际，当高度增加时由于只考虑自由落体运动情况，比实际数值要小，因而只能用来进行粗略估算，不够精确。

5.4模型的改进以上模型并未考虑到空气阻力，有无降落伞等装备（这些装备与人在同一平面） ，再此特作出以下改进：假设空气阻力与下降速度平方成正比，与下落面积成正比则空气阻力（11）xfkvS此过程中空气阻力做功为4（12）x0W=tkvSd则根据动能定理W= kE所以落地式的动能：E=mgH-W （13）此时a= （14）xdvkSgtm鉴于该方程太过复杂本人无法求解，但是模型中 g、k、m 、S 均为已知量得出方程仅有 t、x 两个未知数，且 x 是关于 v 的分段函数，所以模型一经求解即可以给出几乎所有情况的高空坠落的安全高度，鉴于此，希望评委给予考虑六 模型的推广本模型只考虑已较为标准的直立姿势落下，而未考虑一些特殊情况，如：头先落地、背部着地，落地时打滚等技术动作；改进的模型可推广应用于低空抛落弹性物体，如：易碎产品的包装、空降部队的重型装备的投放等有一定的参考价值参考文献[1]百度文库 《人体的12个极限》 2012、08、31[2]百度文库 《空气 阻力系数》 2012、8、31。