浙江省杭州市杭第十五高中2022年高二数学理月考试题含解析.docx

浙江省杭州市杭第十五高中2022年高二数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 抛物线y2=8x的准线方程是（　　）A．x=﹣2 B．x=﹣4 C．y=﹣2 D．y=﹣4参考答案：A【考点】抛物线的应用．【分析】根据抛物线方程可求得p，再根据抛物线性质求得准线方程．【解答】解：根据抛物线方程可知2p=8，p=4，故准线方程为x=﹣2，故选A2. 已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(  )（A）          （B）            （C）         （D）参考答案：A3. 定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足f'（x1）=，f'（x2）=，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”，已知函数f（x）=2x3﹣x2+m是[0，2a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（　　）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，1）参考答案：A【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据定义得出=8a2﹣2a，相当于6x2﹣2x=8a2﹣2a在[0，2a]上有两个根，利用二次函数的性质解出a的范围即可．【解答】解：f（x）=2x3﹣x2+m是[0，2a]上的“双中值函数”，∴=8a2﹣2a，∵f'（x）=6x2﹣2x，∴6x2﹣2x=8a2﹣2a在[0，2a]上有两个根，令g（x）=6x2﹣2x﹣8a2+2a，∴△=4+24（8a2﹣2a）＞0，g（0）＞0，g（2a）＞0，2a＞，∴＜a＜．故选A．【点评】考查了新定义类型题的解题方法，重点是对新定义性质的理解．4. 数列满足，若，则数列的第2013项为（   ）A． B．       C． D．  参考答案：C略5. 命题“对任意都有”的否定是（    ）对任意，都有      B．不存在，使得 C．存在，使得     D．存在，使得参考答案：D略6. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是                                 （   ）参考答案：C略7. 定义在R上的偶函数满足f（+x）=f（﹣x），且f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+fA．2 B．1 C．0 D．﹣2参考答案：C【考点】抽象函数及其应用．【分析】由f（x）满足f（+x）=f（﹣x），即有f（x+3）=f（﹣x），由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（x+3）=f（x），则f（x）是以3为周期的函数，求出一个周期内的和，即可得到所求的值．【解答】解：由f（x）满足f（+x）=f（﹣x），即有f（x+3）=f（﹣x），由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（x+3）=f（x），则f（x）是以3为周期的函数，由f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，即f（2）=1，f（3）=﹣2，由f（4）=f（﹣1）=1，即有f（1）=1．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（2）+f（3））=0×671=0．故选：C．8. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是（     ）A．     B．    C.      D．参考答案：C9. 已知函数，若是函数的零点，且，则        恒为正值        等于0       恒为负值         不大于0参考答案：A10. 如图，在正方体中，是底面的中心， 为的中点，异面直线与所成角的余弦值等于                                  （   ）         A.    B.   C.     D.                             参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数等于                 .  参考答案：略12. 若直线是曲线的切线，则的值为    ▲   ． 参考答案：或13. 已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则椭圆离心率的范围是　　． 参考答案：【考点】椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，由B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推得|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|，代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出，即离心率e，再由α的范围确定e的范围． 【解答】解：∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上， 设左焦点为F′， 根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a， 又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a，① O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c， 又|AF|=2csinα，② |BF|=2ccosα，③ 把②③代入①，得2csinα+2ccosα=2a， ∴=，即e==， ∵α∈[]， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了定义在解圆锥曲线问题中的应用，训练了三角函数最值的求法，是中档题． 14. 棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　    ．参考答案：27π【考点】球的体积和表面积．【分析】正方体的对角线就是球的直径，求出后，即可求出球的表面积．【解答】解：正方体的对角线就是球的直径，设其体对角线的长为l，则l==3，故答案为：27π．15. 若抛物线的焦点坐标为(1,0)则=__;（2分）准线方程为_   _.(3分)参考答案：2 ，  略16. 命题“，使”的否定是 ，若是假命题，则实数的取值范围为          。

参考答案：，；（前空2分，后空3分）17. 点关于直线的对称点为 则直线的方程为_____▲_____． 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知数列{an}满足a1=4，an+1=3an﹣2（n∈N+）（1）求证：数列{an﹣1}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（2）令bn=log3（a1﹣1）+log3（a2﹣1）+…+log3（an﹣1），求数列{}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）由an+1=3an﹣2（n∈N+），变形为an+1﹣1=3（an﹣1），即可证明．（II）由（I）可得log3（an﹣1）=n．可得bn=1+2+…+n=．可得==2．利用“裂项求和”即可得出．【解答】（I）证明：∵an+1=3an﹣2（n∈N+），∴an+1﹣1=3（an﹣1），∴数列{an﹣1}为等比数列，a1﹣1=3．∴an﹣1=3n，∴．（II）解：由（I）可得log3（an﹣1）=n．∴bn=log3（a1﹣1）+log3（a2﹣1）+…+log3（an﹣1）=1+2+…+n=．∴==2．∴数列{}的前n项和Tn=+…+==．19. 某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，等价于x＞25时，有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．【解答】解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收人不低于原收入，有，整理得x2﹣65x+1000≤0，解得25≤x≤40． ∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． （Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，等价于x＞25时，有解，∵（当且仅当x=30时，等号成立），∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 20. 函数，当时，的所有整数值的个数为（1）求的表达式（2）设，求（3）设，若，求的最小值参考答案：解：（1）当时，函数单调递增，则的值域为（2）由（1）得当为偶数时                            =当为奇数时= =（3）由得                两式相减得，则由，可得的最小值为7略21. 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍，土地的征用费为2388元/m2．经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2，每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2．试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用．（总费用为征地费用和建筑费用之和）．参考答案：解:设楼高为层，总费用为元，每层的建筑面积为  则土地的征用面积为，征地费用为（元），楼层建筑费用为[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n－2）]· （元），从而  （元）  当且仅当 , =20（层）时，总费用最少．答：当这幢宿舍楼的楼高层数为20时, 最少总费用为1000A元． 22. 已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，（1）当直线l⊥x轴时，求线段AB的长（2）当直线l的斜率为1时，求线段AB的长．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）确定抛物线的焦点坐标，当直线l⊥x轴时，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长；（2）联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系结合抛物线过焦点的弦长公式得答案．【解答】解：（1）由y2=4x，得其焦点坐标为F（1，0），当直线l⊥x轴时，x=1，y=±2，∴|AB|=4；（2）当直线l的斜率为1时，A、B所在直线方程为y=x﹣1．联立抛物线，得x2﹣6x。