概率论与数理统计教程(茆诗松)第三章.ppt

第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第1 1页页§3.1 多维随机变量及其联合分布§3.2 边际分布与随机变量的独立性§3.3 多维随机变量函数的分布§3.4 多维随机变量的特征数§3.5 条件分布与条件期望第三章 多维随机变量及其分布第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第2 2页页3.3.1 多维随机变量Ø 定义3.1.1 若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X, Y) 是两维随机变量.Ø 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).§3.1 多维随机变量及其联合分布第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第3 3页页 定义3.1.2 3.1.2 联合分布函数F(x, y) = P( X  x, Y  y)为(X, Y) 的联合分布函数. (以下仅讨论两维随机变量)任对实数 x 和 y, 称注意：F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第4 4页页X X1 1X X2 2x1x2(x1, x2)第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第5 5页页联合分布函数的基本性质(1) F(x, y) 关于 x 和 y 分别单调增.(2) 0  F(x, y)  1，且F(, y) = F(x, ) =0，F(+, +) = 1.(3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续.(4) 当a

求 (X, Y) 的联合分布列.X Y0 41 3 2 2 3 14 0P(X=0, Y=4)=P(X=2, Y=2)==1/4=6/16 P(X=3, Y=1)==1/4 P(X=4, Y=0)= 0.54 =1/16P(X=1, Y=3)=0.54=1/16解：概率非零的(X,Y) 可能取值对为:其对应的概率分别为：第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第1111页页X01234Y 0 1 2 3 4列表为： 0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 01/16 0 0 0 0第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第1212页页例3.1.2 设随机变量 Y ~ N(0, 1), 解: (X1, X2) 的可能取值数对及相应的概率如下：P(X1=0, X2=0) = P(|Y|≥1, |Y|≥2)= P(|Y|≥2)= 2 2Φ(2) = 0.0455P(X1=0, X2=1) = P(|Y|≥1, |Y|<2)= P(1≤|Y|<2)= 2[Φ(2)  Φ(1)]= 0.2719P(X1=1, X2=0) = P(|Y|<1, |Y|≥2) = 0P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2) = P(|Y|<1) = 0.6826求 的联合分布列.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第1313页页列表为：X1 0 1X2 0 10.0455 0.2719 0 0.6826第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第1414页页课堂练习设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能地取一整数值。

试求（X, Y）的联合分布列.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第1515页页设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在非负可积函数 p(x, y)，使得3.1.4 联合密度函数则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量称p(x, y) 为联合密度函数第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第1616页页联合密度函数的基本性质(1) p(x, y)  0. (非负性) (2) 注意：(正则性)第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第1717页页一、多项分布3.1.5 常用多维分布 若每次试验有r 种结果：A1, A2, ……, Ar记 P(Ai) = pi , i = 1, 2, ……, r记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数.则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为：第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第1818页页二、多维超几何分布从中任取 n 只，记 Xi 为取出的n 只球中，第i 种球的只数.口袋中有 N 只球，分成 r 类 。

第 i 种球有 Ni 只， N1+N2+……+Nr = N.则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为：第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第1919页页三、二维均匀分布若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为：则称 (X, Y) 服从 D 上的均匀分布，记为 (X, Y)  U (D) .其中SD为D的面积.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第2020页页四、二维正态分布若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为：则称 (X, Y) 服从二维正态分布，记为 (X, Y)  N ( ) .第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第2121页页第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第2222页页例3.1.3 若 (X, Y) ～试求常数 A.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第2323页页解:所以, A=6=A/6第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第2424页页例3.1.4 若 (X, Y) ～试求 P{ X< 2, Y< 1}.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第2525页页x xy y解: P{ X<2, Y<1}21{x<2, y<1}第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第2626页页例3.1.5若 (X, Y) ～试求 P{(X, Y)D}, 其中D为 2x+3y≤6.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第2727页页322x+3y=6x xy y0解:第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第2828页页§3.2 边际分布与随机变量的独立性问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布，如何求出 X 和 Y 各自的分布？第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第2929页页3.2.1 边际分布函数巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，则 Y  FY (y) = F(+ , y). X  FX (x) = F(x, +),第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第3030页页3.2.2 边际分布列巳知 (X, Y) 的联合分布列为 pij，则 X 的分布列为： Y 的分布列为： 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第3131页页XY第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第3232页页3.2.3 边际密度函数巳知 (X, Y) 的联合密度函数为 p(x, y)，则 X 的密度函数为 ： Y 的密度函数为 ： 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第3333页页Ø由联合分布可以求出边际分布.Ø但由边际分布一般无法求出联合分布.Ø所以联合分布包含更多的信息.注 意 点 (1)第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第3434页页Ø二维正态分布的边际分布是一维正态： 若 (X, Y)  N ( )，注 意 点 (2) 则 X  N ( )， Y  N ( ).Ø二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第3535页页例例3.2.13.2.1 设 (X, Y)服从区域 D={(x, y), x2+y2 <1} 上的均匀分布，求X 的边际密度p(x).解: 由题意得xy-11当|x|>1时，p(x, y)=0，所以 p(x)=0当|x|≤1时,不是均匀分布第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第3636页页例例3.2.2 3.2.2 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为求概率P{X+Y≤1}.解: P{X+Y≤1}=y=xx+y=11/2第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第3737页页 若满足以下之一: i) F(x, y) = FX(x)FY(y) ii) pij = pipj iii) p(x, y) = pX(x)pY(y) 则称 X 与Y 是独立的，3.2.4 随机变量间的独立性第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第3838页页(1) X 与Y是独立的其本质是：注 意 点任对实数a, b, c, d，有(2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第3939页页例3.2.3 (X, Y) 的联合分布列为:X01Y 0 1 0.3 0.4 0.2 0.1问 X与Y 是否独立？解: 边际分布列分别为:X 0 1P 0.7 0.3Y 0 1P 0.5 0.5因为所以不独立第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第4040页页例例3.2.43.2.4已知 (X, Y) 的联合密度为 问 X 与Y 是否独立？所以X 与Y 独立。

注意：p(x, y) 可分离变量.解: 边际分布密度分别为:第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第4141页页注 意 点 (1) (1) (X, Y) 服从矩形上的均匀分布，则X与Y 独立. (2) (X, Y) 服从单位圆上的均匀分布，则 X与Y 不独立. 见前面例子 (3) 联合密度 p(x, y) 的表达式中，若 x 的取值与 y 的 取值有关系，则 X与Y 不独立.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第4242页页注 意 点 (2) (4) 若联合密度 p(x, y) 可分离变量，即 p(x, y) = g(x)h(y) 则 X与Y 独立习题3.2 16题) (5) 若 (X, Y) 服从二元正态 N ( ) 则 X与Y 独立的充要条件是  = 0.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第4343页页§3.3 多维随机变量函数的分布问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布，如何求出 Z=g (X, Y)的分布？第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第4444页页(1) 设(X1, X2, ……, Xn) 是n维离散随机变量， 则 Z = g(X1, ……, Xn) 是一维离散随机变量.3.3.1 多维离散随机变量函数的分布(2) 多维离散随机变量函数的分布是容易求的： i) 对(X1, X2, ……, Xn)的各种可能取值对， 写出 Z 相应的取值. ii) 对Z的 相同的取值，合并其对应的概率.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第4545页页3.3.2 最大值与最小值分布例例3.3.1 3.3.1 设X与Y 独立，且 X, Y 等可能地取值 0 和1. 求 Z = max(X, Y) 的分布列.解:X 0 1P 1/2 1/2Y 0 1P 1/2 1/2Z = max(X, Y) 的取值为: 0, 1P(Z=0) = P(X=0, Y=0) = P(X=0)P(Y=0)=1/4P(Z=1)= P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1)= 3/4第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第4646页页设 X1, X2, …… Xn, 独立同分布，其分布函数和密度函数分别为 FX(x) 和 pX(x).一般情况若记Y = max (X1, X2, …… Xn),Z = min (X1, X2, …… Xn)则 Y 的分布函数为:FY (y) = [FX(y)]n Y 的密度函数为:pY(y) = n[FX(y)]n1 pX(y) Z 的分布函数为:FZ(z) = 1[1 FX(z)]n Z 的密度函数为:pZ(z) = n[1 FX(z)]n1 pX(z) 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第4747页页3.3.3 连续场合的卷积公式定理3.3.1 设连续随机变量X与Y 独立， 则 Z=X+ Y 的密度函数为第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第4848页页离散场合的卷积公式设离散随机变量 X 与 Y 独立，则 Z=X+ Y 的分布列为第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第4949页页卷积公式的应用例例3.3.2 3.3.2 X与Y 是独立同分布的标准正态变 量，求 Z = X+ Y 的分布.解：所以 Z = X+ Y  N(0, 2).进一步的结论见后第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第5050页页分布的可加性若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第5151页页二项分布的可加性若 X  b(n1, p)，Y  b(n2, p)，注意：若 Xi  b(1, p)，且独立，则 Z = X1 + X2 + …… + Xn  b(n, p).且独立，则 Z = X+ Y  b(n1+n2, p).第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第5252页页泊松分布的可加性若 X  P(1) ，Y  P(2)，注意： X Y 不服从泊松分布.且独立，则 Z = X+ Y  P(1+2).第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第5353页页正态分布的可加性若 X  N( )，Y  N( ) ，注意： X Y 不服从 N( ).且独立，则 Z = X  Y  N( ). X Y  N( ).独立正态变量的线性组合仍为正态变量. (见下)第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第5454页页独立正态变量的线性组合仍为正态变量Xi ~ N(i, i2), i =1, 2, ... n. 且 Xi 间相互独立, 实数 a1, a2, ..., an 不全为零, 则第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第5555页页伽玛分布的可加性若 X  Ga(1, )，Y  Ga(2, ) ，注意： X Y 不服从 Ga(12,  ).且独立，则 Z = X + Y  Ga(1+2,  ).第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第5656页页2 分布的可加性若 X  2( n1 )，Y  2( n2 ) ，注意： (1) X Y 不服从 2 分布.且独立，则 Z = X + Y  2( n1+n2). (2) 若 Xi  N(0, 1)，且独立，则 Z = 2( n ).第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第5757页页注 意 点 (1) 独立的0-1分布随机变量之和服从二项分布. (2) 独立的指数分布随机变量之和服从伽玛分布.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第5858页页例例3.3.33.3.3 设 X 与 Y 独立，X～U(0, 1), Y～Exp(1). 试求 Z = X+Y 的密度函数.解:被积函数的非零区域为：00用卷积公式：(见下图)第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第5959页页xz1z = x因此有(1) z < 0 时pZ(z) = 0 ;(2) 0

性质3.4.11)(性质3.4.12)P(Y=aX+b)=1第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第7979页页Corr(X, Y) 的大小反映了X与Y之间的线性关系：注 意 点Ø Corr(X, Y) 接近于1， X 与 Y 间 正相关.Ø Corr(X, Y) 接近于 1， X 与 Y 间 负相关.Ø Corr(X, Y) 接近于 0， X 与 Y 间 不相关.没有线性关系第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第8080页页例3.4.1 设 (X, Y) 的联合分布列为X1 0 1Y 1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 求 X, Y 的相关系数.解:= 0同理= 3/4E(Y) = E(X) = 0另一方面= 1/81/81/8+1/8= 0所以 Cov(X, Y)即 Corr(X, Y) = 0E(Y2) = E(X2) = 3/4= E(XY)E(X)E(Y) = 0第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第8181页页例3.4.2 (X, Y) ~ p(x, y) =求 X, Y 的相关系数解:= 7/6= 5/3所以, Var(X) = Var(Y) = 11/36= 4/3第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第8282页页 二维正态分布的特征数(1) X ~ N( 1, 12), Y~ N( 2, 22);(3) X, Y 独立  = 0.(2) 参数  为 X 和 Y 的相关系数;(4) 不相关与独立等价.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第8383页页3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵定义3.4.3 记称，则为的协方差阵，记为或第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第8484页页定理3.4.2 协方差阵对称、非负定.协方差阵的性质第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第8585页页称注 意 点为的相关矩阵.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第8686页页课堂练习1 设 X ~ N(0, 1), Y ~ N(0, 1), Var(XY) = 0, 求 (X, Y) 的协差阵  .第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第8787页页课堂练习2 设 X, Y 的协差阵为求相关阵 R.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第8888页页对二维随机变量(X, Y),Ø 在给定Y取某个值的条件下, X的分布;Ø 在给定X取某个值的条件下, Y的分布.§3.5 条件分布与条件期望第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第8989页页(1) 条件分布列：3.5.1 条件分布(2) 条件密度函数：第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第9090页页(3) 条件分布函数：第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第9191页页3.5.2 条件数学期望定义 3.5.4第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第9292页页E(X| Y=y) 是 y 的函数.注 意 点所以记 g(y) = E(X| Y=y).进一步记 g(Y) = E(X| Y).第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学9/16/20249/16/2024第第9393页页重期望公式定理 3.5.1。