13.3-拉普拉斯反变换的部分分式展开.ppt

§13. 3 §13. 3 拉普拉斯反变换的部分拉普拉斯反变换的部分分式展开分式展开拉普拉斯反变换：拉普拉斯反变换：即由即由F(S)求其原函数求其原函数f(t)对函数对函数f(t) 进行拉氏变换为进行拉氏变换为:用符号用符号L L-1 [ ]表示对复变函数作表示对复变函数作拉氏反变换：拉氏反变换：涉及到复变函数的积分，较复杂涉及到复变函数的积分，较复杂简单：查拉氏变换表简单：查拉氏变换表复杂：复杂：部分分式展开法部分分式展开法2021/3/111一、部分分式展开法一、部分分式展开法电路响应的象函数通常可表示为两个实系数的电路响应的象函数通常可表示为两个实系数的s的多项式之比，即的多项式之比，即s的一个有理分式的一个有理分式式中式中m和和n为正整数，且为正整数，且n≥m2021/3/112分解定理分解定理把把F(s)分解成若干简单项之和，分解成若干简单项之和，而这些简单项可以在而这些简单项可以在拉氏变换表拉氏变换表中找到，中找到，这种方法称为部分分式展开法，或称为这种方法称为部分分式展开法，或称为分解分解定理定理用部分分式展开有理分式用部分分式展开有理分式F(s)时，需要把有时，需要把有理分式化为理分式化为真分式真分式。

若若n＞＞m，则为真分式则为真分式若若n=m，则，则2021/3/113用部分分式展开真分式时，用部分分式展开真分式时，需要对分母多项式作因式分解，需要对分母多项式作因式分解，求出求出D(s)=0的根 D(s)=0的根可以是的根可以是单根单根共轭复根共轭复根重根重根三种情况分别进行分析三种情况分别进行分析2021/3/114二、二、D(s)=0 具有单根的情况具有单根的情况如果如果D(s)=0有有n个单根，设个单根，设n个单根分别是个单根分别是p1、、p2、、…、、pn于是于是F(s)可以展开为可以展开为将上式两边都乘以将上式两边都乘以(s-p1)，得，得令令s=p1，得，得K1=[(s-p1)F(s)] s=p12021/3/115确定待定系数的公式为确定待定系数的公式为同理可求得同理可求得K2、、K3、、…、、KnKi=[(s-pi)F(s)] s=pi2021/3/116待定系数的另一个公式为待定系数的另一个公式为:确定了待定系数后，相应的原函数为（即拉氏反变换）确定了待定系数后，相应的原函数为（即拉氏反变换）Ki=[(s-pi)F(s)] s=pi2021/3/117例：求例：求F(s)的原函数的原函数解：解：D(s)=0的根为的根为p1=0p2=-2p3=-5D’(s)=3s2+14s+10=0.1同理求得：同理求得：K2=0.5- 0.6e-5tf(t)= 0.1 + 0.5e-2tK3=-0.62021/3/118三、三、D(s)=0的具有共轭复根的情况的具有共轭复根的情况p1=a+jωp2=a-jωK1=[(s- a-jω)F(s)]s= a+jωK2=[(s- a+jω)F(s)]s= a-jω设设K1=| K1 |e jθ1，则，则K2=| K2 |e -jθ1共轭复根：共轭复根：注：注：K1、、K2是共轭复数，是共轭复数， | K1 |= | K2 |2021/3/1192021/3/1110例：求例：求F(s)的原函数的原函数解：解：D(s)=0的根为的根为p1=-1+j2p2=-1-j2=0.5-j0.5s2+2s+5=0s2+2s+1+4=0(s+1)2+4=02021/3/1111p1=-1+j2p2=-1-j22021/3/1112四、四、D(s)=0具有重根的情况具有重根的情况D(s)应含应含(s-p1)n的因式的因式现设现设D(s)中含有中含有(s-p1)3的因式，的因式，p1为为D(s)=0的三重根，的三重根，其余为单根，其余为单根，F(s)可分解为可分解为2021/3/1113K11 = ( s-p1 )3F(s)|s = p1上式两边都乘以上式两边都乘以(s-p1)3 ，则，则K11被单独分离出来被单独分离出来1、、K11的求法的求法2021/3/1114上式两边对上式两边对s求导求导 ，则，则K12被分离出来被分离出来2、、K12的求法的求法2021/3/11153、、K13的求法的求法用同样的方法可得用同样的方法可得f(t)=注意：因子注意：因子 t，，t2，，t3…(p294的表的表13-1)2021/3/11164、、 D(s)=0具有具有q阶重根，其余为单根的分解式阶重根，其余为单根的分解式式中式中K11 =……( s-p1 )qF(s)|s = p12021/3/1117例：求例：求F(s)的原函数的原函数解：解：D(s)=0的根为的根为p1=-1为三重根为三重根p2=0为二重根为二重根首先以首先以(s+1)3乘以乘以F(s)得得K11 = ( s-p1 )3F(s)|s = p1=12021/3/1118=3=22021/3/1119下面计算下面计算K21和和K22，首先以，首先以S2乘乘F(s)得得2021/3/1120所以所以相应的原函数为相应的原函数为f(t)= 3e-t+2te-t+0.5t2e-t-3+tf(t)=2021/3/1121。