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[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟203一、选择题问题:1. 如图，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分等于______ A.曲边梯形ABOD面积B.梯形ABOD面积C.曲边三角形ACD面积D.三角形ACD面积答案:C[解析] 因为 其中af(a)是矩形ABOC的面积，为曲边梯形ABOD的面积，所以为曲边三角形ACD的面积问题:2. 由曲线(0≤x≤π)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积为______ A． B． C． D． 答案:B[解析] 由曲线y=f(x)绕x轴旋转一周所得旋转体的体积计算公式得 故选B 问题:3. 由曲线y=1-(x-1)2及直线y=0围成的图形(如图)绕y轴旋转一周而成的立体体积V是______ A． B． C． D． 答案:D[解析] 按选项，要把曲线表示成x=x(y)，于是要分成两部分 则V是以下两个旋转体的体积之差 于是故选D问题:4. 甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10米处，图中实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分的面积的数值依次为10，20，3。

计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s)，则______ A.t0=10B.15＜t0＜20C.t0=25D.t0＞25答案:C[解析] 从0到t0时刻，甲、乙的位移分别为要使乙追上甲，则需由定积分的几何意义可知 则t0=25 问题:5. 半圆形闸门半径为R(米)，将其垂直放人水中，且直径与水面齐平，设水密度ρ=1若坐标原点取在圆心，x轴正向朝下，则闸门所受压力P为______ A． B． C． D． 答案:C[解析] 如图所示，任取[x，x+dx]∈[0，R]，相应的小横条所受压力微元 于是闸门所受压力故选C 二、填空题问题:1. 设封闭曲线L的极坐标方程为则L所围平面图形的面积是______答案:[解析] 直接利用封闭曲线图形的面积公式可得 问题:2. 设曲线的极坐标方程为ρ=eaθ(a＞0)，则该曲线上相应于θ从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为______答案:[解析] 所求面积为 问题:3. 曲线直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为______。

答案:[解析] 直接利用旋转体的体积公式可得，如图所示，x的积分从1到2 问题:4. 设无界区域G位于曲线下方，x轴上方，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为______答案:[解析] 由题意 问题:5. 当0≤θ≤π时，对数螺旋r=eθ的弧长为______答案:[解析] 利用极坐标的弧长公式 问题:6. 曲线的弧长s=______答案:[解析] 问题:7. 曲线ρθ=1相应于的一段弧长s=______答案:[解析] 由已知可得则 问题:8. 设曲线的参数方程为则对应于的曲线段的弧长s=______答案:ln2[解析] 因为x'(t)=cost，因此当时，曲线的弧微分为 因此，相应的曲线段的弧长为 问题:9. 设有摆线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)的第一拱L，则L绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积S=______答案:[解析] 根据旋转曲面面积公式可得 问题:10. 一根长为1的细棒位于x轴的区间[0，1]上，若其线密度ρ(x)=-x2+2x+1，则该细棒的质心坐标=______。

答案:[解析] 质心横坐标其中 所以得 三、解答题问题:1. 设D是由曲线直线x=a(a＞0)及x轴所围成的平面图形，Vx，Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy=10Vx，求a的值答案:解：由微元法可知 由已知条件10Vx=Vy，解得 问题:2. 设曲线y=ax2(x≥0，常数a＞0)与曲线y=1-x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D，求 (Ⅰ)D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(a)； (Ⅱ)a的值，使V(a)取得最大值 答案:解：由题意知，y=ax2与y=1-x2的交点为直线OA的方程为 (Ⅰ)旋转体的体积 (Ⅱ) 当a＞0时，得V(a)的唯一驻点a=4当0＜a＜4时，V'(a)＞0；当a＞4时，V'(a)＜0故a=4为V(a)的唯一极大值点，即为最大值点 问题:3. 设D是位于曲线下方、x轴上方的无界区域 (Ⅰ)求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)； (Ⅱ)当a为何值时，V(a)最小?并求此最小值 答案:解：(Ⅰ) (Ⅱ)令得a=e。

当a＞e时，V'(a)＞0，V(a)单调增加当1＜a＜e时，V'(a)＜0，V(a)单调减少所以V(a)在a=e取得极小值，即为最小值，且最小值为V(e)=πe2 问题:4. 过点(0，1)作曲线L：y=lnx的切线，切点为A，L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积答案:解：设切点坐标为A(x0，lnx0)，斜率为，因此该点处切线方程为 又因为该切线过B(0，1)，所以x0=e2，故切线方程为 切线与x轴交点为(1，0)因此直线AB的方程为 区域的面积为 旋转一周所围成的体积为 问题:5. 一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时(如图)，计算油的质量(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρ，单位为kg/m3) 答案:解：如图，建立直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为 图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形 记S1为下半椭圆面积，则记S2是位于x轴上方阴影部分的面积，则记y=bsint，则dy=bcostdt，可得 因此可知油的质量为 问题:6. 函数与直线x=0，x=t(t＞0)及y=0围成一曲边梯形。

该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为F(t) (Ⅰ) (Ⅱ) 答案:解：(Ⅰ) 所以 (Ⅱ)[解析] 旋转体侧面积的一般公式可以总结为S=2π∫lds，其中l表示曲线上的点到旋转轴的距离，ds表示弧长微分例如对本题来说，由于旋转轴是x轴，所以曲线上的点到旋转轴的距离为曲线的纵坐标，曲线方程为y=f(x)，弧长微分为，所以旋转曲面的面积就变成了 问题:7. 设有摆线 试求L绕x轴旋转一周所得旋转面的面积 答案:解：这是由参数方程给出的曲线，由于 x'(θ)=1-cosθ，y'(θ)=sinθ， 则按旋转曲面面积计算公式，可得旋转面的面积 问题:8. 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如图所示)已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m/s，在提升过程中，污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?(说明：①1N×1m=1J，m，N，s，J分别表示米，牛，秒，焦；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。

) 答案:解：作x轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口所做功记为W，当抓斗运动到x处时，作用力f(x)包括抓斗的自重400N，缆绳的重力50(30-x)N，污泥的重力即 于是 [解析] 假设物体沿着x轴从x=a处运动到x=b处，并且作用力与位置之间的函数关系式为F=F(x)，x∈[a，b]，则这个过程中该作用力对物体所做的功为 问题:9. 一容器的内侧是由图中(如图)曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由连接而成 (Ⅰ)求容器的容积； (Ⅱ)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功? (长度单位为m，重力加速度为gm/s2，水的密度为103kg/m3) 答案:解：(Ⅰ)曲线可表示为 则其容积为 (Ⅱ)利用微元法，所做功的计算分为两部分 问题:10. 设曲线L的方程为 (Ⅰ)求L的弧长； (Ⅱ)设D是由曲线L，直线x=1，x=e及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标 答案:解：(Ⅰ)由于则曲线的弧微分为 所以弧长为 (Ⅱ)设形心坐标为，根据形心公式可得 。