平面图形二(第七讲).doc

第七讲 平面图形的面积二 ——五大模型教学目标：1、灵活综合运用长（正）方形、三角形、平行四边形和梯形面积计算公式解决相关问题 2、掌握五大模型的基本原理教学重难点：学会五大模型的各类题型，会举一反三，融会贯通，知道其推导过程一、 等积变换模型和鸟头定理（共角定理）模型知识点总结一①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；反之，如果，则可知直线平行于．④正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；典型例题例 1、如图，三角形 ABC 的面积是 24，D、E 和 F 分别是 BC、AC 和 AD 的 中点．求三角形 DEF 的面积． 【分析与解】 知识点总结二两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 如图在中，分别是上的点如图 ⑴（或在的延长线上，在上），则图⑴ 图⑵推理过程连接，再利用等积变换模型即可典型例题例2、如图，三角形ABC的面积是308，D，E，F分别为三角形三边上的点。

其中AD：CD=5：3，BF：CF=4：7，AE：BE=1：6问：阴影部分的小三角形的面积是多少？【分析与解】由鸟头定理可推得： 即可算出答案二、 蝴蝶定理模型和相似模型知识点总结三任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①或者②蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①②；③梯形的对应份数为．典型例题【分析与解】知识点总结四相似三角形性质：（金字塔模型） （沙漏模型）①；②．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；典型例题例4、如右图，在平行四边形中，直线交于，交延长线于，若，求的面积．【分析与解】△ADE的面积与△AEF的面积比和△BEF与△AEF的面积比相同，等于AD：AF，的面积为1．三、 燕尾定理模型S△ABGS△AGCS△BGES△EGCBEEC；S△BGAS△BGCS△AGFS△FGCAFFC；S△AGCS△BCGS△ADGS△DGBADDB；问：为什么称之为燕尾定理？答：我们看看燕子的尾巴然后再看看右图的阴影部分，看看阴影部分是不是很像燕子的尾巴，A是尾巴与身体的连接点，AG是燕子尾巴的中分线，左右两个阴影三角形构成燕子尾巴的两侧翼.同学们也可以自己动手，试试以三角形的另外两个顶点作为尾巴与身体的连接点能不能画出燕子的尾巴.燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. CBFADEG典型例题例5、如图，长方形ABCD的面积是12，CE = 2DE，F是DG的中点，那么图中阴影部分面积是________；【分析与解答】利用燕尾定理，连接FC，BFD面积 /BFC面积=DE/EC=1/2，如果BFD面积为1份的话，BFC为2份；又DF=FG，所以BFG面积与BFD面积相等也是1份，故FGC面积是2-1=1份，那么BG=GC；再利用燕尾定理，DFC的面积与DFB相等也是1份，BDC的面积是4份=6，故一份面积是6/4=1.5，阴影部分是1+2/3=5/3份，面积是1.5×5/3=2.5。

18,21例6、如右图，单位正方形ABCD，M为AD边上的中点，求图中的阴影部分面积分析与解】【解1】：两块阴影部分的面积相等，AM/BC=GM/GB=,所以GB/BM=，而三角形ABG和三角形AMB同高，所以S△BAG=S△ABM=××1÷2=，所以阴影面积为×2=【解2】：四边形AMCB的面积为（0.5+1）×1÷2=，根据燕尾定理在梯形中的运用，知道：：： =AM：BC：AM×BC：AM×BC=：1：：=1：4：2：2；所以四边形AMCB的面积分成1+4+2+2=9份，阴影面积占4份，所以面积为×=课后练习1、.图中的四边形土地总面积为52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？2、 梯形ABCD的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米则整个梯形的面积为多少？3、图中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形求阴影部分的面积4、如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10与12，已知梯形的上底长是下底长的2/3那么余下的阴影部分面积是多少？5、图中ABCD是梯形，三角形ADE面积是1.8，三角形ABF面积是9，三角形BCF面积是27。

那么阴影部分面积是多少？6、如图，长方形被其内的一些直线划分成了若干块，已知边上有三块面积分别是13、35、49，那么图中阴影部分的面积是多少？。