《两条直线的平行与垂直》示范公开课教案【高中数学北师大】.docx

《两条直线的平行与垂直》教案◆ 教学目标1．通过倾斜角与直线方程中参数的联系，推断出两直线平行与垂直的条件.2．感受利用代数计算解决几何问题的思维方法.◆ 教学重难点教学重点：两直线平行与垂直的条件．教学难点：判断两直线的位置关系．◆ 教学过程◆一、新课导入知识回顾：同学们，我们前面学习了直线方程的斜截式，一起回忆一下它的相关内容.y=kx+b其中k表示直线的斜率，也就是倾斜角的正切值.b表示直线在轴上的截距.想一想：两条不同的直线的特殊位置关系有平行和垂直，那么我们如何通过直线方程判断两条直线的位置关系呢？设计意图：本节课的核心内容是两条直线的平行与垂直的判定方法，而主要是通过斜截式中的斜率k进行判断的，所以一开始先带领学生回顾y=kx+b的相关内容作为知识铺垫，随即开始进行知识的探究．二、新知探究问题1：观察图中三组平行直线，思考两条直线方程会有什么相同点？ 答案：显然，两条不同的直线相互平行，它们的倾斜角大小相等.若反映在直线方程中，就是斜率相等.则对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2（其中b1≠b2）l1∥l2 k1=k2若两条直线的斜率都不存在，说明它们都是平行于y轴的直线. 问题2：类似的，能否用斜率判断两条直线是否垂直？请大家小组讨论一下.答案：如图，设两条直线的斜率为k1，k2v1=1,k1,v2=(1,k2)分别是这两条直线的一个方向向量则两条直线垂直的充要条件是v1⊥v2，所以v1∙v2=0，即1+k1k2=0对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2l1⊥l2 k1k2=-1设计意图：我们这个环节的推导难度并不大，可以充分发挥学生自主学习的能力，让他们去自主探究两条直线平行与垂直的条件，可以通过引导的方式让学生往斜率方向上思考，这样能更好地加深学生对于知识点的印象.三、应用举例例1：判断下列各组直线是否平行，并说明理由（1）l1:y=3x+2 l2:y=3x+1（2）l1:x+2y-1=0 l2:x+2y=0（3）l1:x+2=0 l2:2x=1解：（1）设两条直线的斜率分别为k1，k2，在y轴上截距分别为b1，b2，易知k1=k2=3，且b1≠b2，所以l1∥l2（2）设两条直线的斜率分别为k1，k2，在y轴上截距分别为b1，b2把方程变形为：l1:y=-12x+12,l2:y=-12x易知k1=k2=-12，且b1≠b2，所以l1∥l2（3）易知两条直线都垂直于x轴且截距不同，故l1∥l2例2：求经过点A(2,3)，且平行于直线l:2x+y-1=0的直线方程.解：直线l:2x+y-1=0化为y=-2x+1设所求直线方程为y-3=k(x-2)因为所求直线与已知直线平行，故k=-2所求直线方程为y-3=-2(x-2)即2x+y-7=0例3：判断下列各组直线是否垂直，并说明理由（1）l1:y=3x+2 l2:y=-13x+1（2）l1:x+2y-1=0 l2:2x-y=0（3）l1:x+2=0 l2:2y=1解：（1）设两条直线的斜率分别为k1，k2k1k2=3×(-13)=-1所以l1⊥l2（2）设两条直线的斜率分别为k1，k2则k1=-12,k2=2k1k2=2×(-12)=-1所以l1⊥l2（3）易知l1∥y轴，l2∥x轴，所以l1⊥l2例4：求经过点A(2,3)，且垂直于直线l:2x+y-1=0的直线方程.解：直线l:2x+y-1=0化为y=-2x+1设所求直线方程为y-3=k(x-2)因为所求直线与已知直线垂直，故-2k=-1k=12所求直线方程为y-3=12(x-2)即x-2y+4=0四、课堂练习1. 判断下列各组直线的位置关系（“平行”、“垂直”或“既不平行也不垂直”）（1）l1:2x+2y+1=0 l2:y=-x+1（2）l1:x-2y+2=0 l2:4x+2y=0（3）l1:y=x-4 l2:2x+y-1=0解：（1）设两条直线的斜率分别为k1，k2，在y轴上截距分别为b1，b2l1化为：y=-x-12k1=k2=-1,b1≠b2所以l1∥l2（2）设两条直线的斜率分别为k1，k2，在y轴上截距分别为b1，b2两条直线化为：l1:y=12x+1,l2:y=-2xk1k2=12×(-2)=-1所以l1⊥l2（3）设两条直线的斜率分别为k1，k2，在y轴上截距分别为b1，b2l2化为：y=-2x+1k1≠k2k1k2≠-1所以它们既不平行也不垂直2. 求经过点A(1,1)，且满足以下条件的直线方程.（1）平行于直线y+x+1=0 （2）垂直于直线y=3x-2解：设所求直线方程为y-1=k(x-1)（1）直线y+x+1=0化为y=-x-1因为所求直线与已知直线平行，故k=-1所求直线方程为y-1=-(x-1)即x+y-2=0（2）因为所求直线与已知直线垂直，故3k=-1k=-13所求直线方程为y-1=-13(x-1)即x+3y-4=04.已知两条不重合的直线l1:ax-2y+1=0和l2:x+a-1y+1=0，若l1⊥l2，求a的值解：设两条直线的斜率分别为k1，k2则k1=a2 , k2=11-a因为l1⊥l2，故k1k2=-1a2∙11-a=-1解得a=2五、课堂小结关于两条不重合的直线的位置关系，有以下结论： l1∥l2 k1=k2l1⊥l2 k1k2=-1六、布置作业教材P19 练习1、2、3题．。