统计推断课程设计报告.docx
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统计推断在模数、数模转换系统中的应用摘要：在信号处理中，输出电压同PWM波占空比有一定的关系，为了了解实际的特性曲线 信息、研究对象系统的输入输出函数关系，唯一的办法就是通过采样进行拟合曲线，然而但 采样值和采样总体达到一个极限值时，这项工艺的耗时会十分庞大，而为了精确绘制特性曲 线，我们不得不增大采样点针对这一矛盾，就必须通过一个优化采样的算法来解决本文 分别讨论了七区间穷举法、遗传和退火算法及其拓展方法，通过三次曲线拟合、matlab三次 样条插值函数、自编的三次样条插值方式来实现拟合函数本文最后提出了即迅速又准确的 方法，取得了比较满意的结果关键字： 三次样条插值法，三次多项式拟合，遗传算法，退火算法，占空比，输出电压1. 引言PWM 信号控制开关电源是工业上广泛应用的一项技术而在实际应用中，由于工业生产 的标准化非完美性，我们在使用生产商提供的资料（在此即为输出电压同PWM波占空比的特 性曲线）时，总会同实际应用有一定误差，这就要求我们了解实际的特性曲线信息但是由 于课题涉及的数据为科创5的07、08、09、10级的实验数据，总体N=523组，数目较为庞 大，我们不可能采用传统的曲线拟合方法来找到最佳的匹配曲线，所以本文在选择合适的拟 合方法后，重点运用了遗传和退火算法对采样方式进行优化筛选，并运用遗传退火结合的方 法提出了更好的方法，运行速度和结果都大大提高。
通过对本课题的研究，我们能够了解目 前主流的遗传算法和模拟退火算法的特性，并且对数据处理有更深的理解2. 拟合或插值方法的研究我们通过查看很多组D-U曲线，发现每个系统的D-U特性关系曲线形状有相似性， 所以我们决定对于每一组数据采用统一的方法得出曲线方程式来表示D-U函数关系，并进 行得分评价作为标准首先，我们必须假设电路制作和实验测量没有重大失误，那么我们的 拟合工作才有意义每一次拟合都有评分标准，对于每个点，由其实验值与计算值有如下的 得分：2whenU-j-U < o.oij1.8w hen0.01
10图2.1其斜率变化为了真粵反映这种走向，我们决定采用三次多项式进行拟合理由是：(即导数)是先增加后减小，导数近似对应于一个开口向下的抛物线因此，我们决定, 先在开头段选2个点，中间选3个点，，尾段选2个点进行拟合f对于七个点的选择问题一般化的想法是C7 =154^43080次多项式拟合遍历,寻找最 53大平均得分但实际操作是不可行的，这样就必须要提出一种优化的算法，即七分段区 间法，基于区间的不同又分为等间隔分段、非等间隔分段法2.1.2 等间隔分段我们首先采用等间隔分段,即区间基本均匀分布：[1， 3]， [10， 12]， [18， 20]， [26， 28]， [34， 37]， [42， 45]， [51， 53],取遍7个区间内所有组合，算法复杂度为3"7X523O运行结果如下：94.44403.0000 10.0000 20.0000 26.0000 35.0000 43.0000 51.0000Elapsed time is 3141.9727 seconds.即等间隔分段的结果为[3 10 20 26 35 43 51]，得分：94.4442.1.3 非等间隔分段由于三次曲线有拐点这一特性，即在变化率比较明显的地方我们应当进行深入分 割。
我们对部分组的数据进行作图，可以直观的看出，一般非线性部分集中在两端，并 且主要在电压超过8V的出现弯曲.所以给出7个经验分段：[1,3], [7,9], [16, 18]， [26，28], [36, 38], [45, 47], [50, 52],算法复杂度同样是 3'7X523运行结果如下：94.58003.0000 8.0000 16.0000 25.0000 34.0000 43.0000 51.0000Elapsed time is 3196.6948 seconds.即非等间隔分段的结果为[3 8 16 25 34 43 51],得分： 94.582.1.4 方法分析从2.1.2和2.1.3两个分法来看,非等间隔法要优于等间隔法,因为它考虑到了曲线 的形状,在需要细分的地方分了区间所以,在以后的七区间选取时,我们都用非等间 隔法2.2 mat lab三次样条插值函数(interpl )法2.2.1 概述假设在［a,b］上测量有n-1个点，在［a,b］上划分△:a-x^xf....vx 0 =b，则三次0 1 n-1 n样条插值法所得的函数S(x)具有如下特征⑴：1、 在每个小区间［x.,xj+1］上是三次多项式。
2、 在每个节点 S(xj)=yj3、 S(x)在［a, b］二阶导数连续因为S(x)在［a, b］上二阶导数连续，所以在每个节点，由连续性得S(xj-0)=S(xj+0); S'(x.-0)=S'(x.+0); S''(x.-0)=S''(x.+0)o 共 3n-3 个条件；除此之外，由插值可得n+1 个条 件，仍需两个，这两个条件有边值得出：1、 给定断点x x处的一阶导数值0n2、 给定断点x0，xn处的二阶导数值(特别的S''(x0+0)=0, S''(xn+0)=0称为自然 边值条件)3、 周期性便捷条件：即以 b-a 为周期，S''(x0+0)= S''(xn+0)，S'(x0+0) =S'(xn+0)o这样求出的三次曲线比2.1中的多项式拟合应该要精确许多 n2.2.2 运行结果94.81002.0000 8.0000 17.0000 28.0000 38.0000 47.0000 52.0000Elapsed time is 4572.0556 seconds.2.2.3 matlab 三次样条插值法相比于七点法的优点三次样条插值法相比于七点法对所测量得到的信息的应用足够充分，最后所得的曲 线必过每个测量点，在每两个测量点之间都有自己的三次多项式(而不是像七点法一样 得到一个所有点的拟合三项式，在小区间里的式子更加精确)七点法最后所得的式子 不一定过测量点。
即用三次样条插值法所得的拟合方程，更加贴近真实的测量结果，同 时也没有丧失多阶导数连续性不过时间长效率低是一个不足2.3通过编程实现的三次样条插值法2.3.1 概述本法简称自编的三次样条插值法即依次取四个连续的点，例如取s3,s4,s5,s6 (如 图2.3 (a))，并由这4个点求三次多项式的待定系数，得出f4(x)o把f4(x)作为S4,S5 的区间方程在两端处，采用取三点，如S］,S2，S3,(如图2.3 (b)),并由这3点求二 次多项式的系数，得出f3(x)，并作为s1,s2区间的方程计算得分 a)图 2.3( b)2.3.2运行结果94.94803917 2837 45 51Elapsed time is 1151.7178 seconds.2.3.3 方法优点本方法与 matlab 自带的 interp1 函数最大的区别在于它耗时少，效率高，虽然每 个区间的函数没有统一连接起来，但是在局部还是能很好的代表真实的曲线因而本方 法能十分明显地虽短运行时间，并取得较好分数在以后的算法中，我们均采用自编的 三次样条插值法来计算采样点组合的得分3. 基于自编的三次样条插值法寻找最优得分3.1. 遗传算法（GA）3.1.1 概述遗传算法就是模拟进化论的优胜劣汰的规则，并加有概率性质的随机遗传的算法。
算法中产生个体采用产生1 至 53的 7 个随机数的方法，而从父代向子代的遗传主要分 三种方式：1,选择（selection）,选择父代中优秀的个体直接传递给下一代，即保留父 代2,交叉（crossover），以两个父代的基因为基础，进行交叉重组，生成下一代，好 的基因会有更大的概率传给子辈3,变异（mutation）,每个父代个体都有一定的概率 发生随机的基因突变评价基因好坏的依据就是适应度在遗传算法的步骤中起着突出作用的其实是变 异正因为有了变异，算法才存在在全局范围内寻找到最优解的可能性但是遗传算法 需要通过反复试验，才有可能给出最优解3.1.2 流程图创建了点个体创建新的个体补充淘汰的个体必为偶数）；眉创建新的补充）;过大会增加耗时）;给个体评分Loopnum=40; （遗传代数，过大会增加耗时3.1.4 运行结果本方法运行结果如下7 points at:4 15 17 30 38 48 52with score 94.1440Elapsed time is 3640.062784 seconds.3.1.5 方法评价这种简单的遗传算法运行时间过长,而且结果虽然达到94 分，但还不是很满意。
原 因如下：1. 所用数据库庞大，有523组之多，程序多次执行求523 组平均分，耗时大2. 交叉用的是单点法，直接交叉两段基因，所以不利于搜索的全面性，易陷入局部 极值3. 变异采用的是单点变异，效率较低4. 在选择下一代群体时,最佳个体的生存机会将显著增加,最差个体的生存机会将 被剥夺, 低适值个体淘汰太快容易使算法收敛于局部最优解针对以上的问题，我们在后面的改进中会提出更好的方法3.2. 退火算法（SA）3.2.1 概述退火算法模拟的是自然界中的降温过程，使得分子群能够在降温过程中更好的趋于 能量最低的状态在本课题中，我们首先设定初温充分大，并取降温系数 0.97，第一 次先产生 7 点位置，然后进入退货循环每次在选出的7个点上随机变动一定位置，每 产生一次变动计算其得分，如果分数高于之前的最高分，则接受；若低于，则已 exp（- 分数差 /温度）的概率接受，同时温度也以0.97 倍数而降低在温度很低时，退火算 法在接受 7 点上更加苛刻，当温度到达0.001时，运算结束3.2.2 流程图TempRatio = 0.97; （降温系数，应接近于 1） 初温充分大有利于全面搜索，不易早熟；降温系数越接近 1 每个温度下更加达到平衡，但是耗时也变长。
3.2.4 运行结果 本方法运算结果为： 94.1020 with 7 points at3 6 17 27 37 44 51Elapsed time is 3842.035862 seconds.3.2.5 方法评价 本次模拟退火算法运行时间同样很长，效率不高，原因分析如下： 1.所用数据库庞大，有523组之多，程序多次执行求523 组平均分，耗时大2. 计算量大，返回一个高质量的近似。
