固体物理学讲义4.4.doc

§4-7 能态密度和费米面一、 能态密度函数在单个原子中电子的本征态形成一系列分立的能级，可以具体标明各个能级的能量，说明它们的分布情况而在晶体中电子能级是准连续分布的，为了概括这种情况下的能级分布，引入“能态密度”的概念用 表示能量在 之间的ZE状态数，则能态密度函数定义为：dEN0lim)(在三维情况，状态在 k 空间分布的密度为： ，能量在3)2(V（ ）之间对应的体积为 ，则：E0dk4dEkVN234)(如果已知 ，则可以计算出态密度)(k二、 费米面若固体中有 N 个电子，它们的基态是按泡利原理由低到高填充尽可能低的 N 个量子态，设 N 个电子在 k 空间填充半径为的球，计及电子自旋有：Fk，这里 n 为电子密度313824)2( nknVF引入自由电子球半径 ，可得 ，代入上式有：sr4rs ， 为氢原子基态波尔半径AarrkssF)(63./92.1)4(03假定电子可以看成自由电子，从而有：，202)(1.5areVmkEsF scmarkvsF/102.48当金属中电子密度 时， 的值在 2—6 之间，3~:cn0s费米能量大约在 1.5~15eV。

N 个电子填充这些能级中最低的 N 个，有两种可能：1、电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的最高的满带称为价带，最低的空带称为导带，价带最高能级与导带最低能级之间的能量范围称为带隙这种情况对应于绝缘体和半导体带隙宽度大的（大约 10eV）为绝缘体，带隙宽度小的（1eV）为半导体2、如果除完全被电子充满的一系列能带外，还存在被部分充满的能带，这个被部分充满的能带称为导带这时最高占据能级称为费米能级在每个部分占据的能带中，k 空间都有一个占有电子和不占有电子区域的分界面，所有这些表面的集合就是费米面这种情况对应金属导体§4-8 表面电子态I． Tamm 于 1932 年提出晶体存在自由表面时，会在能隙中产生表面电子态的能级，这就是通常所说的 Tamm 表面态1939 年 W.Shockley 又提出共价晶体的表面悬挂键在能隙中产生表面电子态，这就是通常所说的 Snockley 表面态为了说明金属—半导体接触势垒的高度对金属功函数的依赖关系，J. Bardeen 于 1947 年提出在半导体表面存在密度相当大的表面态，表面态中的电荷产生的电势差对金属—半导体接触势垒高度有控制作用。

直接测定金属或者半导体的表面电子态是 70 年代XPS(Xray photoelectron spectroscopy)和 UPS(ultraviolet photoelectron spectroscopy)等新技术发明以后假定表面是理想的，考察晶体表面对电子本征态的影响设晶体表面以 z=0 为分界面， 的区域为具有周期性势场0z的晶体； 的区域是真空，电子势能 为一常数)(zV0z 0)(Vz如下图单电子的薛定谔方程为： 0)((2)zVE在 的区域，当 时,方程的解为：0z0VEzEmA)(2exp(0外在 的区域，方程的解为：0zikzikzeCueBz)()()(内由于周期性势场在表面处中断，因此在表面处附近可能出现复波矢 的许可态：kizkikzkik euCeuBz )()()(内 表 面根据波函数及其导数在边界处连续的条件以及波函数有限的要求（设 ，当 时， 保持有限） ，可以得到表0kz)(z内 表 面面态能级： 220)0(kiumVEs表面能级对应的波矢既然是复数，这个能级就不可能在无限晶体的许可能带中，只可能位于能隙中。

其波函数在真空中指数衰减，在晶体中是衰减的振荡函数这种形式的波函数称为迅衰波（evanescent wave） §4-9 无序系统中的电子态在固体系统中无序是指相对于完整晶体中原子排列的高度有序状态的偏离无序系统大致可以分为：（1）成分无序（compositional disorder） ；(2) 拓扑无序（topological disorder）具有严格周期性的有序晶格是平移不变的，单电子态可用波矢量 k 标记并形成能带，能带电子的状态由布洛赫函数表示rkikeur)(所有电子均在有序晶格中作共有化运动，且各格点周围振幅相同，这种状态在整个晶体中的扩展特征是长程有序效应)(ruk的反映，因此布洛赫态又称为扩展态（extended states） 具有扩展态是有序晶格的特征当有序晶格中掺入少量杂质后，周期性被局部破坏，这时将有电子或者空穴被束缚在杂质上，并在导带之下或者价带之上（能隙区中）形成施主和受主能级，这些电子（或者空穴）的波函数是指数衰减型的定域函数： ， 称为定)exp(~)(rr域化长度这时电子在杂质附近作定域化的运动，有别于扩展在整个晶体中的共有化运动，称为电子的定域态（localized states） 。

实验表明当杂质浓度增高时，定域态的电子能级可能密集成带，并与导带相连接，形成导带的尾部（tail）它们对电导率的贡献很小存在定域态是无序的标志对于无序系统的电子态理论研究有两种处理方法；其一是对无序系统作某种平均后近视当作有序系统处理，这种方法以相干势近似为代表其二是从无序系统的定域态出发，设计一些无序模型，研究无序系统与有序系统电子态的差别，这种方法以安德森的工作为代表1、安德逊（P.W.Anderson）无序模型无序系统由于不具有平移对称性，波矢 k 不再是描述电子状态的好量子数，必须从定域态（或者原子轨道态）出发设计模型和讨论问题安德森将紧束缚近似（TBA）方法推广用于无序系统，用旺尼而函数作为基本函数把波函数进行二次量子化展开，引入反映“无序程度”的变化宽度的的参量 W，而格点近邻交叠积分均取相同的值 V 则表示无序系统的“短程有序”特征因此，这个简化的模型概括了无序系统的主要特点，由此出发将便于求得定域化条件和引进迁移率边界等新概念安德森定域化条件为（E=0 态）： （z 为每个格点的近邻eVZW2数，e 为自然对数的底数） 2、莫特（N.F.Mott）模型当安德森条件不满足时，三维无序系统中 E=0 态不满足收敛条件，它不能形成稳定的定域态，仍然是在系统中传播的扩展态。

莫特指出：这时在无序系统中既存在扩展态，也存在定域态扩展态分布在紧束缚近似能带的中心，定域态在带尾部分，并有一个划分扩展态与定域态的能量边界 ，如下图cE当温度趋于 0k 时定域态中电子迁移率趋于零，而扩展态中迁移率仍然为有限值，因此莫特将 EC 称为迁移率边缘对于任意 E态，定域化条件为：WEWEeVZ21212莫特还进一步提出了安德森转变（Anderson transition）的概念，如果在 Si 晶体中掺入施主杂质磷，由于施主杂质的分布是无规的，就形成无序系统，无序性将导致有一个迁移率边缘，设导带中电子的费米能位于迁移率边缘之下，此时系统中电子态都是定域态，可以认为是一个“绝缘体” 如果继续掺杂，使费米能级通过迁移率边缘，位于它的上面，系统将出现“金属性” ，因为在扩展态上占有电子这里发生了从绝缘体向金属是转变。