第八章多元函数(第8节极值)培训教材.ppt

第八节： 多元函数的极值一元函数 y = f (x) 的极值概念：总有（1）极值是一个局部概念，它只是对极值点邻近范围的所有点的函数值进行比较2）（极值存在的必要条件）若 f (x) 在极值点处可导，则导数一定为 0 ，反之不成立3）（驻点为极值点的充分条件）设存在，则有（1）如果（3）如果，则为 f ( x ) 的极小值；（2）如果，则为 f ( x ) 的极大值；，定理失效一）二元函数的极值定义 ：设 z = f ( x , y ) 的定义域为 D，总有总有是 D 的一个内点，则称是 f ( x , y ) 的极大值；则称是 f ( x , y ) 的极小值若存在点 的一个去心邻域 极大值和极小值统称为极值 ；(2)例例因为在点 ( 0, 0 ) 处，函数值为 0，而在点 ( 0 , 0 ) 的任何邻域内，即有使函数值大于0 的点，也有使函数值小于 0 的点定理 1 : （极值存在的必要条件）如果 在点处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有问题：什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似因为 f ( x , y ) 在点有极大值定理 1 : （极值存在的必要条件）如果 在点处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有问题：什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似这表明一元函数在点处取得极大值， 因此同理可证 凡是能使 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点， 但驻点不一定是极值点。

同时成立的点 称为函数的驻点 极值点也可能是使偏导数 不存在的点 极值点只可能在驻点或使偏导数 不存在的点中产生例1：解：得驻点该函数无极值定理 2 : （极值存在的充分条件）如果 （1）（2）在点的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且时具有极值，且当 A 0 时，有极小值；时没有是极值；（3）时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论具有二阶连续偏导数的函数 f ( x , y ) 的极值的求法：第一步：解方程组求出所有实数解，即求得函数的所有驻点第二步：对于每一个驻点第三步：定出计算二阶偏导数值 A 、B 、 C的符号，按定理 2 判定是否是极值，是极大值还是极小值例2：求 的极值解：（1）得到四个驻点：（2）计算二阶偏导数 A、B、C 3）对每一个驻点，判断的符号所以 ( 1 , 0 ) 为极小值点，为极小值所以点 ( 1 , 2 ) 和 ( 3 , 0 ) 不是函数的极值点例2：求 的极值解：（1）得到四个驻点：（3）对每一个驻点，判断的符号（2）计算二阶偏导数 A、B、C 所以 ( 3 , 2 ) 是极大值点为极大值例2：求 的极值解：（1）得到四个驻点：（3）对每一个驻点，判断的符号（2）计算二阶偏导数 A、B、C 。

又在驻点处必有所以将上述方程组两边分别再对 x , y 求偏导数，得解解在驻点处必有所以驻点 ( 1 , 1 ) 为极值点解在驻点处必有所以驻点 ( 1 , 1 ) 为极值点（二）最大值和最小值 如果 f ( x , y ) 在有界闭区域 D 上连续，则它在 D 上 必定取得最大值和最小值 这种使函数取得最大值或最小值的点即可能在 D 的 内部，也可能在 D 的边界上 假定函数在 D 上连续、在 D 的内部可微且仅有有限 个驻点，这时如果函数在 D 的内部取最大或最小值， 则它也是函数的极大或极小值，并且一定在某个驻点 上取得 求函数最大值和最小值的一般方法：（1）求函数在 D 内的所有驻点；（2）求函数在 D 的边界上的最大值和最小值；（3）将函数在所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的 最大值和最小值相比较，最大者就是函数在 D 上 的最大值，最小者就是最小值 在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最 大或最小值存在且一定在 D 的内部取得，而函数在 D 内只有一个驻点，则该驻点就是函数在 D 上的最大或 最小值点例1：有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解：24cm梯形的上底长为高为其中例1：有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解：问题转化为求面积函数 A = A ( x , ) 在区域 D上的最大值（1）求 A = A ( x , ) 在 D 内的驻点例1：有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解：D注意到得唯一驻点例1：有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解：得唯一驻点（2）在 D 的边界上D例1：有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解：得唯一驻点（2）在 D 的边界上D所以当断面的面积最大。

例1：要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最省？解： 设箱子的长、宽、高分别为 x , y , z , 容积为 V , 表面积为 S ，则解上述方程组得唯一驻点 根据实际问题可知 S 一定存在最小值 ，并且一定在 D 的内部取得，所以驻点即当表面积 S 取得最小值 ，此时用料最省是使 S 取得最小值的点（三）条件极值与拉格朗日乘数法例：求表面积为解： 设长方体的长、宽、高分别为 x , y , z , 体积为 V , 则问题可描述为：求体积 在约束条件下的最大值转化为无条件极值问题而体积为最大的长方体体积问题 1：求函数 z = f ( x , y ) 在约束条件 ( x , y ) = 0 下的极值（称为条件极值问题）假设为一极值点，则又进一步假设 ( x , y )在 的某一邻域内具有一阶连续偏导数，且则 ( x , y ) = 0 确定了一个隐函数 代入目标函数 z = f ( x , y ) 中得它在处取得极值，故必有假设为一极值点，则则 ( x , y ) = 0 确定了一个隐函数 又由隐函数求导公式有所以问题 1：求函数 z = f ( x , y ) 在约束条件 ( x , y ) = 0 下的极值（称为条件极值问题）。

假设为一极值点，则所以则有此即为问题1 在取极值的必要条件问题 1：求函数 z = f ( x , y ) 在约束条件 ( x , y ) = 0 下的极值（称为条件极值问题）引入辅助函数则问题 1：求函数 z = f ( x , y ) 在约束条件 ( x , y ) = 0 下的极值（称为条件极值问题）拉格朗日函数拉格朗日乘子拉格朗日乘数法： （1）构造拉格朗日函数：其中， 为参数，称之为拉格朗日乘子2）联解方程组，求出问题 1 的所有可能的极值点问题 1：求函数 z = f ( x , y ) 在约束条件 ( x , y ) = 0 下的极值（称为条件极值问题）3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断 问题 2：求函数 u = f ( x , y , z ) 在约束条件 ( x , y , z ) = 0 , ( x , y , z ) = 0 下的条件极值1）作拉格朗日函数其中 ， 称为拉格朗日乘数 （2）联解方程组，求出问题 2 的所有可能的极值点3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断例1：求表面积为 而体积为最大的长方体体积解： 设长方体的长、宽、高分别为 x , y , z , 体积为 V , 则问题可描述为在约束条件下，求体积函数的最大值。

1）构造拉格朗日函数（2）联解方程组例1：求表面积为 而体积为最大的长方体体积（1）构造拉格朗日函数（2）联解方程组解：由对称性知，x = y = z ， 代入最后一个方程解得这是唯一可能的极值点（3）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得例1：求表面积为 而体积为最大的长方体体积解：这是唯一可能的极值点（3）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得结论：表面积为的长方体中，以棱长为的正方体的体积最大，且最大体积为例2：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点解：设 ( x , y , z ) 为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为问题1：在约束条件下，求距离 d 的最大最小值 由于 d 中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题 1 转化为下面的等价问题问题2：在条件下，求函数的最大最小值问题1：在约束条件下，求距离 d 的最大最小值1）作拉格朗日函数（2）联解方程组（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组求得两个驻点：对应的距离为例2：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点解： 问题1：在约束条件下，求距离 d 的最大最小值。

求得两个驻点：对应的距离为（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在所以最近距离为最远距离为例3：求在条件解：下的极值，其中，x 0 , y 0 , z 0 , a 01）作拉格朗日函数（2）联解方程组由对称性知，x = y = z ， 代入最后一个方程解得这是唯一可能的极值点例3：求在条件解：下的极值，其中，x 0 , y 0 , z 0 , a 0这是唯一可能的极值点（3）判断： 设条件所确定的隐函数为代入目标函数中得它有唯一驻点 ( 3 a , 3 a ),经计算可得例3：求在条件解：下的极值，其中，x 0 , y 0 , z 0 , a 0这是唯一可能的极值点（3）判断：它有唯一驻点 ( 3 a , 3 a ),所以， ( 3a , 3a ) 是函数 u = x y ( x , y ) 的极小值点从而原条件极值问题有极小值点 ( 3a , 3a , 3a)对应的极小值为多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值四、小结平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极 限 运 算多元连续函数的性质多元函数概念一、主要内容全微分的应用高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性微分法在几何上的应用方向导数多元函数的极值全微分概念偏导数概念（四）最小二乘法问题描述： 通过实验、测量或调查，得到自变量 x 和因变量 y 之间的 n 对数据从而可用 y = f ( x ) 作为 x 和 y 之间函数关系的近似表达式，称之为经验公式。

要求寻找一个适当类型的函数 y = f ( x )，使与实际观测值在某种尺度意义下 “最接近 ”它在观测点的函数值建立经验公式常用的方法就是最小二乘法首先将 n 对观测数据看作直角坐标系中的 n 个点，并将其描出如果这些点几乎分布在一条直线附近，就认为 x 和 y 之间存性关系，如图所示直线 L 的方程即为所求经验公式其中 a , b 为待定参数设 L 的方程为：设直线 L 的方程为：其中 a , b 为待定参数直线上与点横坐标相同的点设为叫作实测值与理论值的误差，问题：确定一组参数 a , b ，使误差的平方和最小 这种方法叫作最小二乘法注意：在上式中， 故上述问题即为求一个二元函数的最小值问题和是已知的，所以 S是参数 a 和 b 的二元函数从标准方程中解出a 和 b代如直线方程即得经验公式例1：两个相依的量 与 ， 由 确定，经 6 次测试，得数据如下表8101214161881010.4312.7814.416试建立 依赖 的线性关系: 解：根据标准方程986.48108471.6178288230.4178.92125.161006432425619614410064654321i1614.412.7810.431081816141210802-03第二学期期中自测题 本套自测题内容包括第七章：无穷级数、第八章（1 8 节），要求同学在 120 。