值域求值域的方法大全及习题加详解讲解.docx

求值域方法函数值域的求法方法有好多 ，主要是题目不同，或者说稍微有一个数字出现问题 ，对我们来说，解题的思路可能就会出现非常大的区别 .这里我主要弄几个出来，大家一起看一下吧.函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法(1)、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例 ，反比例，一次函数，指数函数，对数函数，等等，其值域可通过观察直接得到1 一〜y =-,X [1,2]例1、求函数 X 的值域 )例2、求函数y =3 -4的值域 )答案：值域是：[一二，3]1 , 、【同步练习1】函数y = 的值域.( )2 X2-- 1、解：｛y0

)(配方法、换元法)解： 所以当X=1时，y有最小值-2故所求函数值域为卜2, +8)4例 4、设0& x & 2,求函数 f(x) =4X -3,2x41 +1 的值域.解：f (x) =4X -3L2x+ +1 =(2X -3)2 -8,v 0< x< 2, 1< 2X < 4 .・•・当2x =3时，函数取得最小值 -8；当2x =1时，函数取得最大值 -4,「•函数的值域为［—8,—4］.评注：配方法往往需结合函数图象求值域.例5、求函数y =2x —3 + u4x —13的值域 ）（配方法、换元法）解：y J 4x — 6 2 4x —13 = 1 Lx — 13 2.4x 一 13 7 12 21 2 - 7 7= -Q4x-13 +1） +3,所以y 故所求函数值域为［5，+8］2 2 2例6、求函数y =2 — J—x2+4x的值域 ）（配方法）y 0,2 L【同步练习2】（ ）1、求二次函数 y =-x2 +4x-2 （xW 1,4］）的值域.（ ）2、求函数y=e=2*x」的值域.（ ）3、求函数丫=4,—2'+1冰可—3,2］的最大值与最小值.（ ）x x ,4、求函数y=log2— log 2 —（x乞［1,8］）的最大值和最小值.（ ）2 41 x_=-5、已知 x w 10,2 ］,求函数 f（x）=4 2 -3 2 +5 的值域.（ ）6、若 x+2y =4, x >0, y >0 ,试求 1g x + 1g y 的最大值。

）最大值1g 23）、换元法：（三角换元法） 有时候为了沟通已知与未知的联系,我们常常引进一个（几个）新的量来 代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题 方向，这就是换元法.在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求 得原函数的值域.例1、求f （x） = x + J1 -x的值域.解：令 J1 -x =t >0,则 x =1 —t2(t > 0),f (x) -f(1-t2) -1 -t2 t二t」22所以函数值域为,5 L4评注：利用引入的新变量t,使原函数消去了根号，转化成了关于 t的一元二次函数，使问题得以解决.用换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域.小结：【同步练习3］求函数y = x — Ji — 2x的值域1 解：由 1 —2x >0,得 x 三5令 J1 — 2x =t（t 之0 ）『 1 -t2 1-t2 1 2 1得x = ,于是y = -t =一一 t +1 ） +1 ,因为t之0 ,所以y <- o故所求函数值域为［-2 2 2 21 ,°0, 2 ］。

例2、求函数y =xj1 -x2 +x2的值域解：设 x=sina a <— i,则 < 2 Jy =sin 二 cos二" sin2 1sin I 2 i41-1 - 1.2sin2 1 - cos2：二 一 ——_ .1-2 1,2 1 —、. 2 1 . 2所以 < y < ,故所求函数值域为 ， 2 ， 2 2 2【同步练习4］求函数y=x+4+15—X2的值域解：由5 -x2 >0 ,可得1x区J5故可令 x = 5 cos-, - ［0,二］y - 5 cos .-1 1 4 .5 sin - - .10 sin(: —) 4• - 0 . ■ _.二」「一匹4 4 4当 口 =#4 时，ymax =4 +'10当 B = n时，ymin =4—*5故所求函数的值域为：［4 - 5,4 .10］小结:【同步练习5]1、求函数y =x +、1 _2x的值域.( )2、求函数y =x十2+J1Tx +1)2的值域 )2解：因 1 - (x 1) -02 ,即(x 1) ^1故可令 x 1 =cos -, - [0,二].y =cos ： 1 二，1 -cos2 ： =sin ： cos - 1=" 2 sin(: —)1 40 _ ■ _ --0 _ ----::4 42 -二.————sin( : -) <12 4,0< ,2sin('- -) 1<1 ..24 B 故所求函数的值域为[°,1 ,、幻3、已知函数f(x)的值域为|3 5 I求函数y = f(x) +J1 —2f (x)的值域.( )一8,9（4）、函数有界性法（方程法）直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性例1、求函数y =sinx—3的值域sin x 3解：因为 sinx +3 = 0,所以 ysin x +3y =sin x -3 ,则 sin x = 3（y +1）1 - y,一. —…」3"+1， … 1 1由于sin x — 1,所以 11,斛仔—2 — y ———故所函数的值域为［-2，-彳］°I 1-y 2 2x2 -1求函数y =———的值域x 1丁 x2 =-一］20 1 -1 < y < 1 ,原函数的值域为匚11）1 - y例2、求函数y = 3碗x-1的值域2cosx 3解：因为 2cosx+3#0,所以 2ycosx + 3y =3sin x —1 ,即 3sin x _2y cosx =3y+1,所以 sin x _—^!= cosx 二 ^y^^ ,令4y2 9 4y2 9 4y2 9cos :=4y2 9sin 中= 2y 得 sin(x —中)= 3y +1.4y2 9 4y2 93v+1 4 4由,y <1 ,解得—2 E y E —,故所函数的值域为［-2 , 7 ］747^ 5 5ex - 1 2sin 1-1 2sin 1-1y = - y = y = 【同步练习6］求函数 e +1, 1+sinH , 1+cosH的值域.ex=S1 - y2s" -11 sin 12sin 1-1 = y(1 cos?)的值数值的整体变f(0) = -3, 值域为1 y 伊…国尸®,2 -y2sin 1-1 y = -1 cos 2sin 二-ycos 二-1 y［4 十 y2 sin(6 + x) = 1 十 y,即 sin(9 + x) = 1 + y4 y2一 , _ , 1 十 y又由 sin(8 +x) E1 知 / <1，4 + y2解不等式，求出y,就是要求的答案(5)、数形结合法 (函数的图像)：对于一些函数(如二次函数、分段函数等)的求值域问题，我们可 以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定 函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化.其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结 合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

1 2 _ 一 一 一 一行 - X +2x—3 (-2< x <0),例1、 求函数f(x) =4 .[x -2x -3 (0< x< 3)域.分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函 化情况就一目了然了， 从而可以快速地求出其值域. 解：作图象如图所示.「f (―1)= f(1) = —4, f(—2) = —3, f(3)=0,「•函数的最大值、最小值分别为0和-4 ,即函数的[<0] •例2、求函数y =Mx -2)2 +V(x +8)2的值域.B P A I I [ L•8 0 2解：原函数可化简得：y Hx -2|+|x +8|上式可以看成数轴上点 P (x)到定点A (2), B(4%、i］的距离之和由上图可知，当点P段AB上时，y 4x-2|+|x +8RAB |=10当点P段AB的延长线或反向延长线上时，y4x—2|+|x+8|>lAB|=10 故所求函数的值域为：［10，,可例 3、求函数 y=dx2 -6x +13 + vx2 +4x+5 的值域解：原函数可变形为：y -：(x -3)2 (0 -2)2 ... (x 2)2 (0 1)2上式可看成x轴上的点已凡0)到两定点A(3,2)，B(—2，—D的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin TAB| = d(3+2)2+(2+1)2 ="3 ,故所求函数的值域为 h43, ,二］1(3, 2) /二 7(i-21 -1)1 i2 2例4、求函数y='x —6x 13-、x 4x 5的值域.解：将函数变形为：y=、(x-3)2 (0 一2)2 一 .(x 2)2(0-1)2上式可看成定点 A (3, 2)到点P (x, 0)的距离与定点B(-2，。

到点p(x，0)的距离之差即：y=|AP|-|BP|由图可知：(1)当点P在x轴上且不是直线 AB与x轴的交点时，如点 P',则构成&ABP',根据三角形两 边之差小于第三边，有11Ap'I 一即® AB |= ,(3-2)厂(2二1)2 -26即.- 26 : y ；：126⑵当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有||AP|-|BP||MAB H/26综上所述，可知函数的值域为： (-、26，、26]注：由例17, 18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使 A B两点在x轴的两侧，而求两距离之差 时，则要使 A, B两点在x轴的同侧如：例17的A, B两点坐标分别为：(3, 2), (-2，-1),在x轴的同侧；例18的A, B两点坐标分别为(3,2) , (2，-1),在x轴的同侧同步练习7】1、求函数。