随机变量函数的分布.ppt

概率论与数理统计,概率与统计,,第八讲 随机变量函数的分布,主讲教师: 于红香,,一、问题的提出,,在实际中，人们常常对随机变量的函数,,更感兴趣.,求截面面积,A,=,,,的分布.,比如，已知圆轴截面直径,d,的分布，,在比如 ，已知,t=t,0,,时刻噪声电压,V,,的分布，,求功率,,W=V,2,/R,,,(,R,为电阻,）,的分布等,.,,设随机变量,X,的分布已知，,Y=g,(,X,),(设,g,是连续函数），如何由,X,的分布求出,Y,,的,分布？,,这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.,二、离散型随机变量,函数的分布,解： 当,X,取值,1，2，5,时,，,,,Y,取对应值,5，7，13，,例1,设,X,求,,Y,= 2,X,+ 3,的概率函数,.,～,而且,X,取某值与,Y,取其对应值是两个同时发生的事件,，两者具有相同的概率.,故,如果,g,(,x,k,) 中有一些是相同的，把它们作适当,,并项即可.,一般地，若,X,是离散型,r.v ，X,的分布律为,X,～,则,,Y=g(X),～,如：,X,～,则,Y=X,2,,的分布律为：,Y,～,三、连续型随机变量函数的分布,解 设,Y,的分布函数为,F,Y,(,y,),，,例2,设,X,,~,求,Y,=2,X,+8 的概率密度.,F,Y,(,y,),=P,{,Y y,} =,P,(2,X,+8,y,),=,P,{,X,} =,F,X,( ),于是,Y,的密度函数,,故,注意到 0 <,x,< 4,时，,,即 8 <,y,< 16,时，,,,此时,Y,=2,X,+8,,EX,,从上述两例中可以看到，在求,P,(,Y,≤,y,) 的过程中，关键的一步是设法,从{,g,(,X,) ≤,y,}中解出,X,,,,从而得到与 {,g,(,X,) ≤,y,}等价的,X,的不等式 .,这是求,r.v,的函数的分布的一种常用方法.,,下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度 .,其中,，,x=h,(,y,),,是,y=g,(,x,),的反函数 .,定理,,设,X,是一个取值于区间[,a,b,]，具有概率密度,f(x),的连续型,r.v,,,又设,y=g(x),处处可导，且对于任意,,x,, 恒有,,或恒有 ，则,Y=g,(,X,)是一,,个,连续型,r.v,，它的概率密度为,,此定理的,,证明与前,,面的解题,,思路类似,例3,设,X,具有概率密度 , 求,Y=X,2,的概率密度.,当,,y,>0,时,,,注意到,Y=X,2,0 ，故当,y,0,时， .,解 设,Y,和,X,的分布函数分别为 和,,，,,若,则,Y=X,2,,的概率密度为：,求导可得,,若,X～f,X,(x),，y=g(x)关于X,分段严格单调,，且在第i个单调区间上，反函数为h,i,(y),则Y=g(X）的概率密度为,例：设随机变量X服从[0，2,]均匀分布，求Y=sin(X)的概率密度。

解:,,已知随机变量X的概率密度为,求：Y=1-X,2,的概率密度,EX,,例5,,已知随机变量,X,的分布函数,F(x),是严格单调的连续函数, 证明,Y,=,F,(,X,)服从[0,1]上的均匀分布.,又由于,X,的分布函数,F,是严格递增的连续函数, 其反函数,F,-1,存在且严格递增.,证明 设,Y,的分布函数是,G(y) ,,于是,对,y,> 1 ,,G,(,y,) = 1;,对,y,< 0 ,,G,(,y,) = 0;,由于,,对0≤,y,≤1,,G,(,y,)=,P,(,Y,≤,y,),=,P,(,F,(,X,)≤,y,),=,P,(,X,≤ (,y,)),=,F,( (,y,))=,y,即,Y,的分布函数是,求导得,Y,的密度函数,可见,,Y,在[0,1]上服从的均匀分布.,,阶段小结.,阶段练习,一、填空：,,1.设随机变量X服从参数为（2,p）的二项分布，随机变量Y服从参数（3,p）的二项分布，若,,， 则P{Y,≥,1}=,,2.设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=X,2,在（0，4）内的密度函数为,,f,Y,(y)=,,3.,设随机变量X~N（2，,σ,2,），且P（2

二. 一工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照管的概率为第一台等于0.9, 第二台等于0.8, 第三台等于0.7,求在一小时内需要工人照管的机床台数的概率分布,四.某商店从早上开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间X(分)的分布函数是,,求下列事件的概率:,,等待时间(1)”至多3分钟”;(2)”3分钟至5分钟之间”,,(3) “至多3分钟或至少5分钟”;,,(4)在开始营业3分钟没有顾客的条件下,顾客在以后的3分钟之内到达的概率.,五.设保险公司为10件产品进行寿命保险,每件交纳10元保费，若产品在5年内因质量问题而报废，则可获赔100元，假设该种产品的寿命服从正态分布N(6,0.5,2,),求保险公司赔本的概率.（不考虑利息等其它因素）,作业2-5：,,1，2，8,。