立体几何中的截面(解析版).doc

. . . 专题13 立体几何中的截面 【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形 【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值例1 一个正方体接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是（ ）ACBD 分析 考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的接正方体上截得的截面不可能是大圆的接正方形，故选D。

例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：① 水的部分始终呈棱柱状；② 水面EFGH的面积不改变；③ 棱A1D1始终与水面EFGH平行；④ 当容器倾斜到如图5（2）时，BEBF是定值；其中正确的命题序号是______________分析 当长方体容器绕BC边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG，但EH与FG的距离EF在变，所以水面EFGH的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为是定值，又BC是定值，所以BEBF是定值，即④正确所以正确的序号为①③④.例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A1B1C1D1，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ） C1ABCDA1D1B1EGF图（1）A． B． C． D． 分析 本题很容易认为当水面是过E、F、G三点的截面时容器可装水的容积最大图（1），最大值为立方单位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图（2）△EB1C时容器的容积最大，最大容积为，故选C。

C1ABCDA1D1B1EGF图（2）例4 正四棱锥的底面正方形边长是3，是在底面上的射影，是 上的一点，过且与都平行的截面为五边形，求该截面面积的最大值.解：如图，连接，设截面与正四棱锥的底面相交于,与相交于点，由截面得, 截面，得，那么，必定分别与相交于，否则，截面将是三角形，则，，在正四棱锥中，，由是异面直线与所成角，则，所以，和是两个全等的直角梯形. 设：由得，故，而，由得，于是，从而：所以，当时，截面的面积取得最大值9.基本方法介绍①公理法：用平面基本性质中的公理来作平面；②侧面展开法：将立体图形展开为平面图形进行研究；例5 能否用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形？进一步，截面能否为正五边形呢？解：如图所示，我们可以用一个平面截一个正方体，使得截面为一个凸五边形.点是延长线上一点，使得，为的中点，为上的点，使得.则截面为过直线与（这里）的平面与正方体相截所得的凸五边形截面.用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形.事实上，若截面可以为一个正五边形，则此五边形的五条边分属于此正方体的五个不同的面.我们将正方体的每两个相对的面作为一个抽屉，则上述包含正五边形的边的五个面中，必有两个面为相对的平面，它们是平行的，利用平行平面的性质，可知此五边形中有两条边是平行的.但是正五边形的五条边是彼此不平行的，矛盾.例6 已知一个平面截一个棱长为1的正方体所得的截面是一个六边形（如图所示），证明：此六边形的周长 证明：如图，我们将正方形的各个面依次展开，从正方形出发，依次为从上述展开图可知截面六边形的周长大于等于，而这就是要证的结论.【针对训练】一、单选题1．【省市2019-2020学年高二上学期期末数学】在正方体中，为的中点，为棱上的动点(不包括端点)，过点的平面截正方体所得的截面的形状不可能是（ ）A．四边形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形【答案】D【解析】不妨设正方体的棱长为，当，截面为四边形；如图特别的，当时，截面为等腰梯形；如图截面为五边形，不可能为六边形.如图故选：2．【2020届省实验中学、八中、二十四中、一中、东北育才学校高三上学期期末】如图圆锥PO，轴截面PAB是边长为2的等边三角形，过底面圆心O作平行于母线PA的平面，与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其顶点E的距离为( )A．1 B． C． D．【答案】D【解析】过底面圆心O作平行于母线PA的平面，与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，平面PAB, 平面PAB与圆锥的侧面交于OE, 所以OE||PA.因为OA=OB，所以OE=1=OC,因为OP⊥底面ABC,所以OP⊥OC,因为OC⊥OE,OP,OE平面PAB,OP∩OE=0,所以OC⊥平面PAB,所以OC⊥OB.在平面建立直角坐标系．设抛物线的方程为， ，所以该抛物线的焦点到其顶点E的距离为故选：D3．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则该截面的面积是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥， 其截面是等腰三角形，如下图：由于正方体的棱长为2，所以，所以边上高为，所以，故选：A．4．如图，在正方体中，点E，F，G分别是棱，，的中点，过E，F，G三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（ ）A．在平面存在直线与平面平行B．在平面存在直线与平面垂直C．平面平面D．直线与所成角为【答案】D【解析】由线面平行判定定理可得，当O为的中点时，平面，由线面垂直判定定理可得，平面，选项A，B都对.因为，，所以平面平面，选项C正确，易得：,为等边三角形，故直线与所成角为,即直线与所成角为，故D不正确，故选：D.5．【省市2019-2020学年高三下学期1月月考数学】某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是（ ）A．2 B．4 C． D．【答案】B【解析】设截面圆半径为，球的半径为，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即，根据截面圆的周长可得，得，故由题意知，即，所以，故选：B．6．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某中学2018级某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为,椭圆的长轴为,短轴为,则,,即,故离心率.故选:B.7．如图，已知三棱锥，点是的中点，且，，过点作一个截面，使截面平行于和，则截面的周长为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，设AB、BC、VC的中点分别为D,E,F，连接PD,DE,EF,PF.由题得PD||VB,DE||AC,因为平面DEFP,VB,AC不在平面DEFP，所以VB||平面DEFP,AC||平面DEFP,所以截面DEFP就是所作的平面.由于,所以四边形DEFP是平行四边形，因为VB=4,AC=2,所以PD=FE=2,DE=PF=1,所以截面DEFP的周长为2+2+1+1=6.故选：D8．【2020届省市高三期末调研测试理科数学试题】已知球是正四面体的外接球，，点段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题,设平面为过的球的截面,则当平面时,截面积最小,设截面半径为,球的半径为,则,因为正四面体棱长为,设过点垂直于平面的直线交平面于点,则,令,,则,在中,,即,则,在中,,即,则,解得,则,在中,,因为点段上,,设中点为,则,所以,在中,,即,所以,因为,所以,所以截面面积为,故选：A9．【2020届省市高三适应性练习卷数学理科试题】在三棱锥中，底面，，是线段上一点，且.三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】将三棱锥补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球，记三角形的中心为，设球的半径为，，则球心到平面的距离为，即，连接，则，∴.在中，取的中点为，连接，则，，所以.在中，，由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为，则，所以最小截面圆的面积为，当截面过球心时，截面面积最大为，所以，，球的表面积为.故选:C.10．【2020届南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题】正三棱锥，为中点， ，，过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积围为（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为正三棱锥，，，所以，即，同理，，因此正三棱锥可看作正方体的一角，如图，记正方体的体对角线的中点为，由正方体结构特征可得，点即是正方体的外接球球心，所以点也是正三棱锥外接球的球心，记外接球半径为，则，因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最大为；又为中点，由正方体结构特征可得；由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时，截面圆半径最小为，所以.因此，过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积围为.故选：D.11．一个三棱锥的各棱长均相等，其部有一个切球，即球与三梭锥的各面均相切（球在三棱锥的部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】其空间结构体如下图所示:易知截面是一个非等边的等腰三角形,排除A．D；等腰三角形的底边是正三棱锥的一条,这条棱不可能与切球有交点,所以排除B；截面。