关于数学章头图教育属性的若干思考.docx

关于数学“章头图”教育属性的若干思考 　　任何变化的事物背后，总有不变的物质支配着，这是科学与哲学的认识信念.生物学关心遗传因子，化学关心元素，物理学关心基本粒子，哲学关心普遍的规律[1]，“章头图”聚焦教与学事物的总体属性.《义务教育课程标准教科书数学（苏科版）》从结构观出发，认证本套教材每章的开头部分设置：章头图，章头语，章头问题，本章内容的概述.这些结构性元素投射了章节、单元、学段内容的主题线索及其内部关系的逻辑焦点，而“章头图”居于思想统领地位，因此研究章头图更具现实意义和前瞻影响，突出素养教育的逻辑目标.　　仔细说来，从结构主义学派[2]的数学流变性出发，可以把教科书的“章节内容”近似地看作是一座城市，城市中心的巨大建筑物，就好比是章头图；城市的郊区正在不断地向外伸展，这就好像是尚待开发的章头问题；同时，市中心又在时时重建，每次都是构思清晰的计划和合理的布局，在拆毁掉旧的断街小巷的同时，将修筑起新的更直、更宽、更加方便的林荫大道通向四方，这就是章头语以及章内容概述的价值指向.　　章头图的认知地位支配着章序言立意的维度特征，关乎知识技能、关乎数学思考、关乎问题解决、关乎情感态度、更关乎审美选择与素养建模.在这里，着力研究章头图与审美直觉属性、课程目标属性、问题解决属性以及学科素养属性的内部关系，为有素养的教与学提供形而上的“思想”和形而下的“器识”，进一步落实数学素养教育的可能目标.　　1章头图与审美直觉属性　　审美直觉是数学创造的心理基础，而章头图是诱发直觉的客体对象，是创造行为发生的依附载体.为此，章头图与审美直觉属性发生了不可忽视的关联.Hadamard在《数学领域的发明心理学》[3]一书中，从无意识直觉的选择作用出发，详尽论述了数学直觉的心理要素，指出数学直觉的本质就是“美感”或“美的意识”.数学教科书章头图是直觉审美的有效载体（运动变化的摩天轮等），是学生视觉思维活动的媒介，一直发挥着无意识渲染美的实体作用.就这个意义上说，章头图所蕴含的美的规律，叠合成美的本质与审美直觉的自由度具有内部关系一致性.　　于此说来，出于直觉思维的整体性特点[4]，数学美常蕴藏在数学学科的基本结构之中，蕴藏在数学对象的相互联系之中，蕴藏在数学方法的共通之中.章头图作为学科结构的基本成分（测重天平等），起到聚焦主题的导航作用；作为研究对象的一种具体性抽象（梯子靠墙问题等），承担教学目标的领航作用；作为数学方法的概念运演形态（拼图?公式等），突出美的直觉的选择性特征.按照康德的审美经验论来说[5]，审美经验不是由单纯的感觉唤起的，也不是由简单的判断所唤起的，而是由二者共同作用，以及足以激发二者发生共同作用的事物唤起的，而且只能由其结构适合于审美本性的事物所成就.在研究者看来，这里的“事物”可以看作是章头图的替代概念，至少具有三层含义：一是图形事物本身的结构应具有相称、和谐、有序等可感知美的特征；二是图形事物的容含能集中反映章节教学主线，投射了一种选择美；三是图形事物的内部关系能表征、解释章节核心概念的本质，流动一种理性思维的自由美.　　基于实证研究的需要，在这里，不妨从章头图“摩天轮”的审美作用说起，揭示章头图与审美直觉属性的内部关系，并以此示范章头图教学的审美力量.　　苏科版九年级《数学》上册封面以“摩天轮”为主题图，突出了“圆”这一章在教材中的重要地位（圆是初等数学学习的重要内容，能为后继高中段学习提供思维地气）；“第2章对称图形――圆”的章头图也是以“摩天轮”为主图，形象地突出圆的概念特征（一中同长以及旋转不变性），也能为后续抽象出“垂径定理”（垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧）埋下思维的伏笔.苏科版九年级《数学》下册“76节用锐角三角函数解决问题”“问题2”的几何背景也是以“摩天轮”为认知载体，突出引导学生经历从生活到数学抽象的特征，利用学生学过的锐角三角函数的相关知识解决实际问题的全过程.鉴于章头图（摩天轮）的承前启后和承上启下作用以及审美体验功能，平常教学中要重视章头图的使用，并尽力用好，使其发挥应有的审美教育功能.　　从审美的角度来说，用好“摩天轮”这一章头图，需要在圆概念起始课前设置“微型数学活动课”，一般20分钟左右.具体表现出三个结构层次：首先是让学生观察摩天轮的结构图，研讨交流各自的发现，指出其属性特征，并说明自己觉知到哪些美感；其次是让学生在观察研究摩天轮概念图的基础上，提出可能研究的问题以及可能获得的结论；最后是让学生借助课本，经历水平抽象（生活→数学）和垂直抽象（数学→数学）的思维过程，形成垂径定理的产生式系统（在⊙O中，若直径AB垂直弦CD于P，则有PC=PD，弧AC与弧AD、弧BC与弧BD分?e相等）以及形成静态圆和动态圆的概念集合观.如果说“发现属性”的过程就是审美直觉作用的过程，那么提出问题的过程就是直觉选择美的过程，则概念产生式形成的过程是审美理想实现的过程，终于章头图的思想统领地位的确立和审美水平的线性上升.事实上，章头图的“教学现实”不容乐观.日常研究章头图教学作用的不多见，间或研究是源于展示课、赛课以及示范课的驱动.因此章头图的美学价值一惯流失.建议教研部门要在评价政策上进行倾斜，切实使得“用好教材”“用好章头图”成为审美行动.正如“科学结论的合理性要在它的审美价值中去寻找，并用它来判断科学方法的合理性”[6]一样可靠.　　2章头图与课程目标属性　　课程目标是教学目的的替代概念，是现代教育评价学[7]研究的对象.即“以教育为对象，对其效用给予价值上的判断”.课程目标始终支配着数学教育实施方向和具体教学目标的走向，“章头图”作为数学教育研究的一种形象载体，是完成课程目标的一种客观对象，又被课程目标的容含框架制约着，因此研究章头图教学有助于课程目标的定向落实，进而有利于数学素养的沉淀和科学精神的养成，突出“人学”教育发展观. 　　美国中小学数学教育的目的在于培养学生的数学价值观、自信力、思想交流力、思维力和问题力，并用动词理解（understand）、解释（interpret）、发展（develop）来描述；英国2008（QCA）最新颁布的数学课程标准最终目标[8]：成功的学习者（successful learners）、自信的个人（confident individuals）和具有责任心的公民（responsible citizens），并用解决（solve）、发现（find）和探究（explore）来刻画；我国的数学课程教育目标在于培养学生的“四基”（基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验）和“四能”（发现和提出问题，分析和解决问题），用经历、体验、探索来表征过程性目标.不难发现这些素养性目标属性都带有强烈的实践性特征，反映课程教育对公民的“社会参与维度” [9]这一培养方向（实践意识→实践行为→实践意识），数学章头图是学生开展实践学习的重要载体，有助于在地性数学观的正向形成.　　就目标属性得以实现的本身来说，无论是数学价值观、成功的学习者抑或是“四能”的发展都需要学生拥有自觉研究的意识.作为实践的数学课程（旗杆高度的测量等），“章头图”是研究性学习的最好载体.因此，章头图是课程目标的具体化，研究章头图教育属性的过程，就是课程目标素养得以层级的过程.　　就目标动词的行为功能来说，“发展”“探究”“体验”都带有“数学自我概念” [10]（学生在学校情境中形成的，对自己在数学学业方面的特长、能力和知识形成的比较稳定的认知、体验和评价）的领导意识，支配着人人都能获得良好数学教育，不同人在数学上获得不同发展的课程理念.教学目标是课程目标的下位概念，可分为学科总目标、单元教学目标、课时教学目标.而章头图恰好能够匹配的反映这些层次性目标的支配属性，为此，研究实施章头图的课时目标对课程目标的总体发展，无疑具有“第一哲学”的教育意义.　　不妨举例说明章头图与课程目标属性的实证关系.苏科版九年级《数学》上册“第1章一元二次方程”是以“梯子靠墙”为章头主图，反映一元二次方程与现实生活的密切关系，突出一元二次方程是刻画现实问题变化关系的一种心理模型.“梯子靠墙”问题是本章认知的思维导图，用好的前提是定位载体承载的目标体系，以及确立目标问题的问题反应块.具体分解过程如下：课时目标，一是在探索实际问题关系的经历中感受用方程的意义；二是在问题解决中体验方程建模的过程；单元目标，感受方程是刻画现实世界的有效模型，体会一元二次方程解法所蕴含的“转化”思想；课程目标，从已有的经验出发，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、讨论结果意义的过程.　　基于“梯子靠墙”目标体系的实施，研究者对该章头图的可用性进行组织拓展：首先是让学生思考长为5米的梯子斜靠在墙上，你能提出哪些问题以及这样思考的依据；其次是让学生探讨“梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1米”，可获得怎样的数量关系，并寻求结论的合理性；再次是让学生交流“梯子的顶端下滑x米，则梯子的底端移动的水平距离的可能值？”为什么？最后是让学生通过尝试运算，演化出上述应用问题的解答方案，并指出获得答案的途径以及推理的方法根据.在这里，可以把“探讨和交流”的认知行为，看作是课时目标得以实现的具体表现，则单元目标还应包括尝试运演和自觉探寻依据的科学认知精神要素，那么课程目标还要涵盖提出问题力的监控与测量，方能落实人学教育课程素养观.　　事实上，“梯子靠墙”问题不是“一元二次方程”建模的专利，还可以作为“数学实验：折纸与锐角三角函数”的前概念（长度为2米的梯子斜靠在墙上，其倾角α为60，则梯子底端到墙面的距离是多少？）和后概念（要使上述梯子靠墙的倾角变为45，则梯子底端前方1米远的地方有栅栏，是否需要拆除？为什么？）反映了章头图的多元认知功能.　　3章头图与问题解决属性　　问题解决（problem solving）属于心理学习论范畴，是学习者将原有的概念和规则加以综合，在新情境中施加应用并获得新的认知结论的过程.信息加工心理学认证“问题”是信息和目标之间有某些障碍需要被克服的刺激反应情境.章头图蕴含丰富的概念信息，为问题解决提供阶段性体验，有助于创造性学习行为的发生.根据章头问题的起点、目标和允许操作的不同，可以?⑵浠?分为界定不明确问题（ill-defined problem）和界定明确问题（well-defined problem），前者属于常规性问题（routine problem）（投币实验等离散型章头问题），后者属于非常规性问题（海腾戏水条件型章头问题）.　　数学算理学中的整式运算、因式分解、方程解法等问题都可以通过模仿获得技能途径，属于常规性问题；而那些不可以通过模仿获得作答路径的逆概念、逆思维、反证法等问题行为，属于反常规性问题，中高考压轴题往往突出这一特征，能很好的考查考生的思维精准度.　　鲍尔和希尔加德《学习论―学习活动规律的探索》（1981）[11]一书，论述了碰到新的陌生问题时，学习者是怎样解决的呢？刺激反应学从新旧经验的内部关系出发，认证学习者将其过去经验中与新问题有关的行为集中起来，抑或是按照新情境与以前遇到的情境的相似方面做出反应.假如这些反应不能使问题获得解决，学习者便会尝试错误，从众多的行为中发出连续的反应，直至问题得以解决.上述“梯子靠墙”章头问题，如果梯子的倾角是75，在没给定该锐角函数值的背景下，求出梯子顶端到地面的距离具有不可求解性.为此，研究者让学生通过“折纸”方式，在观察折痕的前提下，获得该角的正切值，最终实现创造性问题解决的目标.当然，“折纸→观察→推演”都是新旧经验得以组合和改造的过程，终于形成非常规问题解决产生式系统.　　奥苏泊尔从意义学习论出发，认定问题解决分为五个阶段：符号表征学习→概念学习→命题学习→概念和命题的应用→创造性解决问题.章头问题一般要经。