极限实例模型和未定式极限.doc

极限实例模型和未定式极限极限理论是微积分的基础，极限思想是微积分教学过程中 的难点.本文在数学应用性教学的背景下，根据极限的未定 式类型，对极限的实例模型进行了归纳总结.在大量的极限 模型中，体现极限思想的关于无限变化趋势的实例非常多， 经典例子如：庄子之锤、芝诺悖论、刘辉割圆术，现代例子 如金属加热、室内水温、人口预测、传染病人数、放射物衰 减等.在基于描述性定义的极限理论中，极限首先分数列极 限和函数极限.从应用性角度讲，数列极限更利于实际应用， 所以有很多关于数列极限的模型，特别是等比数列和由递推 公式给定的数列，如蛛网价格、买三送一商业促销、福利支 出、销售量稳定性等.这类模型的极限形式基本上是和式极 限，也常用单调有界原理来求解其极限.数列极限和函数极限体现了离散和连续的关系，两者在 分类和方法上可以统一.数列极限可视为特殊的函数极限. 一般地，在教学过程中，函数极限主要用以处理七种未定式 极限，本文根据该分类对极限模型进行比较分析和总结.一、比值类型00, 88在很多实际问题中，常考虑自变量趋向于无穷时函数的 稳定性，或从长远角度分析函数值的变化，而这些极限往往 属于88的比值类型极限.如实例模型：1) 药物注射后的血液中的药物浓度随时间变化函数C (t)=0. 2tt2+l,其中时间 t (小时)，浓度 C (t)(mg/cm3),随着时间推移，血液中浓度稳定水平即为(t) =limt->oo0. 2tt2+l=0.2) 票房收入C (t)(百万)随时间t (月)的函数为 T (x) =120x2x2+4,于是票房总收入即时间趋向于无穷时的 极限值，即 limt—8T (x) =limx—8120x2x2+4=120.3) 逆流而上的游鱼的耗能函数为E (v) =aLv3v-u,鱼 速v,路程L,水流u,与实际生活一致，鱼速有两个无限耗 能情形如 limv—u+E (v) =8, limv—8E (v) =.以上三例是88的极限类型，而00类型的极限，常分 析自变量无限接近某个点时的函数值的变化趋势，函数的导 数、物理中瞬时速度、曲线切线斜率、经济学中边际与弹性 就是这类模型的典型实例.一般教材在引入导数时，都应用 两个有重要意义的实例，用平均速度无限接近瞬时速度，用 割线斜率无限接近切线斜率.4) 瞬时速度：v (t0) =limt^t0v (t) tOs (t) -s (tO) t-tO,5) 切线斜率：k (xO) =limx->x0k (x) =limx—x0f (x) -f (xO) x~x0.二、积与差类型从数学形式上说，七种未定式可以相互转化•积与差的 未定式可以由上面的比值类型换个看法即可得.但要体现数 学应用性，从实际函数模型上讲，最好能说明原始的函数模 型就更能体现极限的分类形式.0・8形式，说明目标函数中 两个因子随自变量的某个无限变化过程时相互抑制，理论上 讲，要构造符合此种无限变化的目标函数比较容易.如对护 城河治理模型合理构造得到如下0 • 8类型极限.6) 在城市发展过程中，某城市从某年开始注重对护城 河的治理，初始污泥量为A,因治理水平提高，污泥量每年 减少到90%,另外由于城市扩张，第n年又是前一年的nnT 倍，则第n年的污泥量为Sn=A • 0. 9n • ni=2ii-l=A・0. 9n • n,当n—8时，o. 9n—0,所以Sn的变化趋势属于0 • , 最终的稳定量水平即分析极限limn— 8Sn=limn— A , 0. 9n • n=0.对于8一8极限类型，要求目标函数是同类型的两项， 随自变量的某个无限变化过程而趋向无穷，从而分析两者之 间的差距的稳定性.如：7) 产品利润问题:若产量为X时的成本为C(x)=10+l+x2, 售价5美元，则产量为x时，增加单位产量的利润增长额为 I (x) =5+l+x2T+ (1+x) 2,当产量无限增长时，利润增长 额是否会达到一个稳定值，即分析极限limx—+8【(x) =limx—+8 [5+1+x2T+ (1+x) 2] =4.三、慕指类型18, 00, 8极限理论中，极限limn—8 (1+ln) n=e称重要极限， 该极限可视为关于n的慕指函数，其它属于18类型的极限, 都可以通过变形成该重要极限来求解.学生在学习此类极限 时，难于理解其未定性，受1的任何次矗仍为1的结论影响, 并没意识到自变量在1附近的变化时，对极限值的影响是很 大的.在幕指函数的极限实例模型中，18是最为常见的，典 型的有连续复利的计算，人口预测等.有如下模型：8) C02的吸收模型：空气通过盛有吸收剂C02的圆柱型 器皿，已知吸收C02的量与C02的百分浓度及吸收层厚度成 正比.通过极限的方式，该模型可以建立起空气中C02的浓 度关于厚度的函数关系，设初始空气含C02浓度为a,先将 空气层分成n层，于是通过第n层后的浓度为cn=a (1-kdn) n, k为比例系数，再将吸收层无限细等分，即n — 8,则有 C (d) =limn->oocn=limn->ooa (1-kdn) n=ae-kd.对于00, 80这样两种未定式，纯数学形式熟悉的有 limn-*nln=l, limx-*0+xsinx=l,对于这两种未定式，与 18 —样，容易仅考虑底数的无限变化，没有意识到指数的 无限变化与底数相互抑制.在数学的实际应用中，目标函数 是蓦指函数比较少见，所以在一般教材和文献中该类型极限 模型几乎没有出现，还有待于探索和构造.利用极限实例模型进行极限理论的教学，体现数学应用 性教学的思想，特别是基于描述性定义的极限概念，运用实 例模型教学，可以提高学生对极限的直观理解和客观认识， 是极限理论教学的有益补充.同样地，也可从极限模型建立 的方法角度去探讨极限实例模型的类别，从而可以得到更多 的有利于实践教学的实例模型.。