《3.3幂函数》教案与同步练习.docx
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《第三章 函数的概念与性质》《3.3幂函数》教案【教材分析】幂函数是在继一次函数、反比例函数、二次函数之后，又学习了单调性、最值、奇偶性的基础上，借助实例，总结出幂函数的概念，再借助图像研究幂函数的性质.【教学目标与核心素养】课程目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的图象；2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数；2.逻辑推理：常见幂函数的性质；3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；4.数据分析：比较幂函数大小；5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题教学重难点】重点：常见幂函数的概念、图象和性质；难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练教学过程】 一、情景引入数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”．这样“幂”就转译为若干个相同数之积．大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个相同数的乘积．直到17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分开来表示的趋势．1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他用罗马数字表示指数，写在底数的右上角，如“A4”写作“AⅣ”，这种记法与现在相比较，除了数字采用罗马数字外，其余完全一样．一年以后，法国数学家笛卡儿将其进行了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子．此后由英国数学家渥里斯(Wallis,1616～1703)、牛顿等人分别引入负指数幂和分数指数幂的概念及符号，从而使幂的概念及符号发展得更完备了．那么，什么是幂？幂与an又有什么关系呢？二、新知导学(1)一般地形如__y＝xα(α为常数)__的函数叫做幂函数．[知识点拨] 幂函数与指数函数的区别与联系函数表达式相同点不同点指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)右边都是幂的形式指数是自变量，底数是常数幂函数y＝xα(α∈R)底数是自变量，指数是常数(2)对于幂函数，我们只讨论α＝1,2,3，，－1时的情形．(3)图象：在同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图．[知识点拨] 幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边．(4)五种常见幂函数的性质，列表如下：定义域值域奇偶性单调性公共点y＝x__R__R__奇__在R上是__增函数__都过(1,1)点__y＝x2R__[0，＋∞)偶在(－∞，0)上是__减函数__；在[0，＋∞)上是增函数y＝x3RR__奇__在R上是__增函数__y＝x[0，＋∞)__[0，＋∞)非奇非偶在[0，＋∞)上是__增函数__y＝x－1__(－∞，0)∪(0，＋∞)__(－∞，0)∪(0，＋∞)__奇__在(－∞，0)和(0，＋∞)上均是__减函数__三、课前自测1．下列函数为幂函数的是( D )A．y＝2x4 B．y＝2x3－1C．y＝ D．y＝x2[解析] y＝2x4中，x4的系数为2，故A不是幂函数；y＝2x3－1不是xa的形式，故B不是幂函数；y＝＝2x－1，x－1的系数为2，故C不是幂函数，故只有D是幂函数．2．已知幂函数f(x)的图象过点(2,2)，则f(4)的值为( B )A．4 B．8C．2 D．[解析] 设f(x)＝xα，∴2＝2α，∴α＝.∴f(x)＝x.∴f(4)＝4＝(22) ＝23＝8.3．若f(x)＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n等于( C )A．1 B．2C．3 D．4[解析] 由题意，得，∴∴m＋n＝3.4．已知α∈{－2，－1，－，，1,2,3}，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝__－1__.[解析] ∵α∈{－2，－1，－，，1,2,3}，且函数f(x)＝xα为奇函数，∴α＝－1,1,3，又∵f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＝－1.5．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时， f(x)：(1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数．[解析] (1)∵f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－.此时m2－m－1≠0，故m＝－.(3)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，则m＝－，此时m2－m－1≠0，故m＝－.(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.四、互动探究命题方向1 ⇨幂函数的概念典例1 已知函数f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．[思路分析] 本题将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一起考查，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：(1)正比例函数y＝kx(k≠0)；(2)反比例函数y＝(k≠0)；(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(4)幂函数y＝xα(α是常数)，转化为系数和指数的取值问题．[解析] (1)若f(x)为正比例函数，则，∴m＝1.(2)若f(x)为反比例函数，则，∴m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则，∴m＝.(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1.『规律方法』 形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．〔跟踪练习1〕有下列函数：①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－；④y＝；⑤y＝x；⑥y＝2x.其中，是幂函数的有__④⑤__(只填序号)．[解析] ①中，x2的系数为3，故不是幂函数；②中，y＝x2＋1不是xα的形式，故不是幂函数；③中，y＝－＝－(x－1)，系数是－1，故不是幂函数；④中，y＝＝x－1是幂函数；⑤中，y＝x是幂函数；⑥中，y＝2x是指数函数．命题方向2 ⇨幂函数的图象典例2 如图所示的曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图象，已知α∈{－4，－，，4}．相应曲线C1，C2，C3，C4的α值依次是( B )A．－4，－，，4 B．4，，－，－4C．－，－4,4， D．4，，－4，－[思路分析] 利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质，结合所给图象分析并判断C1，C2，C3，C4的α值的大小．[解析] 由图象知C1、C2为增函数，因此其指数应为正，所以只能是B或D正确，又当x＝时，()－＝(2－4)－＝2，()－4＝(2－4)－4＝216，显然216>2，于是在x＝处y＝x－4的图象应在y＝x－的图象的上方，因此由图可知C3应为y＝x－，C4应为y＝x－4，故选B．『规律方法』 认识幂函数的图象重点在于掌握其特征．对于y＝xα，当α<0时，在第一象限内为双曲线的一支；当0<α<1时，在第一象限内为“抛物线”形，且开口向右；当α>1时，在第一象限内为“抛物线”形，且开口向上．〔跟踪练习2〕(1)函数y＝x的图象大致是( B )(2)当α∈{－1，，1,3}时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第__二、四__象限．[解析] (1)函数y＝x＝是定义域为R的奇函数，且此函数在定义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除A，C．另外，因为y＝()＝()＜，y＝1＝1，y＝2＝22＞2，所以当x∈(0,1)时，函数y＝x的图象在直线y＝x的下方；当x∈(1，＋∞)时，函数y＝x的图象在直线y＝x的上方．故选B．(2)幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象分布在第一、三象限，y＝x的图象分布在第一象限．所以幂函数y＝xα(α＝－1，，1,3)的图象不可能经过第二、四象限．命题方向3 ⇨幂函数的简单性质典例3 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性：(1)y＝x；(2)y＝x－；(3)y＝x－2.[思路分析] (1)当函数解析式中含有分数指数时，怎样求对应函数的定义域？(2)当函数解析式的幂指数为负数时，怎样求对应函数的定义域？[解析] (1)函数y＝x，即y＝，其定义域为R，是偶函数，它在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减．(2)函数y＝x－，即y＝，其定义域为(0，＋∞)，它既不是奇函数，也不是偶函数，它在(0，＋∞)上单调递减．(3)函数y＝x－2，即y＝，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是偶函数，它在区间(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．『规律方法』 (1)在判断幂函数的单调性和奇偶性时，可根据相应幂函数的图象进行分析．(2)幂函数y＝xα在第一象限内图象的画法如下：①当α＜0时，其图象可类似y＝x－1画出；②当0＜α＜1时，其图象可类似y＝x画出；③当α＞1时，其图象可类似y＝x2画出．〔跟踪练习3〕已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象．[解析] 由已知，得m2－2m－3≤0，所以－1≤m≤3.又因为m∈Z，所以m＝－1,0,1,2,3.当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不合题意；当m＝－1或m＝3时，y＝x0，符合题意；当m＝1时，y＝x－4，其图象如图所示，符合题意，即m＝1或－1或3.用幂函数的单调性解题时忽略了不同单调区间的讨论 典例4 已知幂函数y＝xm2－2m－3 (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－<(3－2a) －的a的取值范围．[错解] ∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1
